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1、优秀学习资料欢迎下载初 中 几 何 证 明 题经 典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CDAB ,EFAB ,EGCO求证: CD GF (初二)证明:过点G 作 GHAB 于 H,连接 OE EGCO,EFAB EGO=90, EFO=90 EGO+EFO=180E、G、 O、 F四点共圆 GEO=HFG EGO=FHG=90 EGO FHG FGEO=HGGOGH AB,CDAB GH CD CDCOHGGOCDCOFGEOEO=CO CD=GF 2、已知:如图,P是正方形ABCD 内部的一点,PAD PDA15。求证: PBC 是正三角形 (初二)证明:作正
2、三角形ADM ,连接 MP MAD=60 , PAD=15 MAP= MAD+ PAD=75 BAD=90 , PAD=15 BAP= BAD- PAD=90-15=75 BAP= MAP MA=BA ,AP=AP MAP BAP BPA=MPA,MP=BP 同理 CPD=MPD ,MP=CP PAD PDA 15PA=PD, BAP= CDP=75BA=CD BAP CDP BPA=CPD BPA=MPA, CPD= MPD MPA= MPD=75 BPC=360 -75 4=60MP=BP, MP=CP BP=CP BPC 是正三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
3、纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载3、已知:如图,在四边形ABCD 中, AD BC,M、N 分别是 AB、CD 的中点, AD 、BC 的延长线交MN于 E、F求证: DEN F证明 :连接 AC,取 AC 的中点 G,连接 NG、MG CN=DN ,CG=DG GN AD ,GN=21AD DEN= GNM AM=BM ,AG=CG GM BC,GM=21BC F=GMN AD=BC GN=GM GMN= GNM DEN= F 经 典题(二)1、已知: ABC 中, H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM BC 于 M(1)求证: AH
4、2OM ;(2)若 BAC 600,求证: AH AO (初二)证明:(1)延长 AD 交圆于 F,连接 BF,过点 O 作 OG AD 于 G OG AF AG=FG AB=AB F=ACB 又 AD BC, BEAC BHD+ DBH=90 ACB+ DBH=90 ACB= BHD F=BHD BH=BF 又 AD BC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2( GH+DH )=2GD 又 AD BC, OM BC,OGAD 四边形 OMDG 是矩形OM=GD AH=2OM (2)连接 OB、OC BAC=60 BOC=120 OB=OC ,O
5、MBC BOM=21BOC=60 OBM=30 BO=2OM 由( 1)知 AH=2OM AH=BO=AO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载2、设 MN 是圆 O 外一条直线,过O 作 OA MN 于 A,自 A 引圆的两条割线交圆O 于 B、C 及 D、E,连接 CD 并延长交MN 于 Q,连接 EB 并延长交MN 于 P. 求证: APAQ 证明:作点E 关于 AG 的对称点F,连接 AF、CF、 QF AG PQ PAG=QAG=90 又 GAE= GAF PAG+GAE= QAG+ GAF
6、 即 PAE=QAF E、F、C、D 四点共圆 AEF+ FCQ=180EFAG ,PQAG EFPQ PAF=AFE AF=AE AFE= AEF AEF= PAF PAF+QAF=180 FCQ=QAF F、 C、A、Q 四点共圆 AFQ= ACQ 又 AEP= ACQ AFQ= AEP 3、设 MN 是圆 O 的弦,过MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE ,设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证: APAQ (初二)证明:作 OFCD 于 F,OGBE 于 G,连接 OP、OQ、OA、AF、 AG C、D、B、E 四点共圆 B=D, E=C ABE ADC DFBGFD2BG2D
7、CBEADAB ABG ADF AGB= AFD AGE= AFC AM=AN ,OA MN 又 OGBE, OAQ+ OGQ=180O、A、Q、E 四点共圆 AOQ= AGE 同理 AOP=AFC AOQ= AOP 又 OAQ= OAP=90, OA=OA OAQ OAP AP=AQ 在 AEP 和 AFQ 中AFQ= AEP AF=AE QAF= PAE AEP AFQ AP=AQ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载4、如图 ,分别以 ABC 的 AB 和 AC 为一边 ,在 ABC 的外侧作
8、正方形ABFG 和正方形ACDE ,点 O 是 DF的中点, OPBC 求证: BC=2OP(初二)证明:分别过F、A、 D 作直线 BC 的垂线,垂足分别是L、M、N OF=OD ,DNOPFL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位线DN+FL=2OP ABFG 是正方形 ABM+ FBL=90 又 BFL+ FBL=90 ABM= BFL 又 FLB= BMA=90 , BF=AB BFL ABM FL=BM 同理 AMC CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP 经 典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形, DEAC ,AEAC, AE 与 CD
9、相交于 F求证: CECF (初二)证明:连接BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形BD AC 又 EGAC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四边形又 COD=90 ODEG 是矩形EG=OD=21BD=21AC=21AE EAG=30 AC=AE ACE= AEC=75 又 AFD=90 -15=75 CFE=AFD=75 =AEC CE=CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载2、如图,四边形ABCD 为正方形, DEAC ,且 CECA ,直线
10、EC 交 DA 延长线于F求证: AEAF (初二)证明:连接BD,过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形BD AC,又 EGAC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四边形又 COD=90 ODEG 是矩形EG = OD =21BD=21AC=21CE GCE=30AC=EC 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点, PFAP,CF 平分 DCE求证: PAPF (初二)证明:过点F 作 FGCE 于 G,FHCD 于 H CD CG HCGF 是矩形 HCF= GCF FH=FG HCGF 是正方形CG=GF APFP APB+ FPG=90 APB+ B
11、AP=90 FPG=BAP 又 FGP=PBA FGP PBA FG:PB=PG:AB 4、如图, PC 切圆 O 于 C, AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线, AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证: AB DC, BCAD (初三)证明:过点E 作 EKBD,分别交AC 、AF 于 M、K,取 EF 的中点 H,连接 OH、MH 、EC EH=FH OH EF, PHO=90 又 PCOC, POC=90P、 C、H、O 四点共圆 HCO=HPO 又 EKBD, HPO=HEK HCM= HEM H、C、E、 M 四点共圆 ECM= EHM 又 ECM= EFA EHM= EFA
12、 HM AC EH=FH 设 AB= x,BP=y,CG=zz:y=(x-y+z):x 化简得( x-y) y=( x-y) zx-y0 y=z即 BP=FG ABP PGF CAE= CEA=21 GCE=15在 AFC 中 F =180-FAC- ACF =180-FAC- GCE =180-135-30=15 F= CEA AE=AF EM=KM EKBD KMODAMAOEMOBOB=OD 又 AO=CO 四边形ABCD的对角线互相平分ABCD 是平行四边形AB=DC ,BC=AD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共
13、 9 页优秀学习资料欢迎下载QCABPEPBACDECBAD经典题 ( 四) 1、已知: ABC 是正三角形, P 是三角形内一点,PA3,PB4,PC5求 APB 的度数(初二)解:将 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转60得 BCQ,连接 PQ 则 BPQ 是正三角形 BQP=60, PQ=PB=3 在 PQC 中, PQ=4, CQ=AP=3 ,PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90 BQC=BQP+PQC=60+90=150 APB= BQC=150 2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且PBA PDA 求证: PAB PCB (初二)证明:过点P 作 AD 的平行线,过
14、点A 作 PD 的平行线,两平行线相交于点E,连接 BE PEAD ,AEPD ADPE 是平行四边形PE=AD ,又 ABCD 是平行四边形AD=BC PE=BC 又 PEAD , AD BC PEBC BCPE 是平行四边形 BEP=PCB ADPE 是平行四边形 ADP= AEP 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB CD AD BCAC BD (初三)证明:在 BD 上去一点E,使 BCE= ACD CD=CD CAD= CBD BEC ADC ACBCADBEAD BC=BE AC BCE= ACD BCE+ ACE= ACD+ ACE 即 BCA= ECD BC=BC,
15、BAC= BDC BAC EDC CDACDEABAB CD=DE AC 又 ADP= ABP AEP= ABP A、E、B、P 四点共圆 BEP=PAB PAB=PCB +得 ABCD+ AD BC =DE AC+ BE AC =(DE+BE ) AC =BD AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载GDFEABCP4、平行四边形ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点, AE 与 CF 相交于 P,且AECF求证: DPA DPC (初二)证明:过点D 作 DG AE 于 G,作
16、 DH FC 于 H,连接 DF、DE SADE=12AE DG,SFDC=12FC DH 又 SADE= SFDC=12S ABCDAEDG=FC DH 又 AE=CF DG=DH 点 D 在 APC 的角平分线上 DPA DPC 经 典题(五)1、设 P 是边长为1的正 ABC 内任一点, LPAPBPC, 求证:3L2证明:(1)将 BPC 绕 B 点顺时针旋转60的 BEF,连接 PE,BP=BE , PBE=60 PBE 是正三角形。PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 当 PA、 PE、EF 在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF 的值最小(如图)在
17、 ABF 中, ABP=120 AF=3L=PA+PB+PC 3(2)过点 P 作 BC 的平行线分别交AB、AC 于 D、 G 则 ADG 是正三角形 ADP= AGP,AG=DG APD AGP APD ADP AD PA又 BD+PD PBCG+PG PC+ +得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1 L2 由( 1)( 2)可知:3L2HGFDACBEP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载GFEB
18、CADPQBCADP2、已知: P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点,求PA PBPC 的最小值解:将 BCP 绕点 B 顺时针旋转60 得 BEF,连接 PE,则 BPE 是正三角形PE=PB PAPBPC=PA+PE+EF要使PA PBPC 最小,则PA、PE、EF 应该在一条直线上(如图)此时 AF= PA+PE+EF过点 F 作 FGAB 的延长线于G 则 GBF=180 -ABF=180 -150=30GF=12,BG=23AF=22AGGF=2212321=32PAPBPC 的最小值是323、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA a,PB2a,PC 3a,求正方形的边长证
19、明:将 ABP 绕点 B 顺时针旋转90得 BCQ ,连接 PQ 则 BPQ 是等腰直角三角形,PQ=2PB=22a=22a 又 QC=AP=a QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2PQC 是直角三角形 BQC=135 BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC =PB2+PA2-2PBPAcos135=4a2+a2-22aa(-22) 解得 BC=a225正方形的边长为a225精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载GFEDACB4、如图, ABC 中, ABC ACB 80, D、
20、 E 分别是 AB 、AC 上的点, DCA 30, EBA 20,求 BED 的度数解:在 AB 上取一点F,使 BCF=60 ,CF 交 BE 于 G,连接 EF、DG ABC=80 , ABE=20 , EBC=60 ,又 BCG=60 BCG 是正三角形BG=BC ACB=80 , BCG=60 FCA=20 EBA= FCA 又 A= A,AB=AC ABE ACF AE=AF AFE= AEF=12(180-A)=80又 ABC=80 =AFE EFBC EFG=BCG=60 EFG 是等边三角形EF=EG, FEG=EGF=EFG=60ACB=80 , DCA=30 BCD=50
21、 BDC=180 -BCD- ABC=180 -50-80=50 BCD= BDC BC=BD 前已证 BG=BC BD=BG BGD= BDG=12(180-ABE )=80 FGD=180 -BGD- EGF=180-80 -60=40又 DFG=180 -AFE- EFG=180-80-60=40 FGD=DFGDF=DG 又 EF=EG, DE=DE EFD EGD BED= FED=12FEG=1260=305、如图, ABC 内接于 O,且 AB 为 O 的直径, ACB 的平分线交 O 于点 D,过点 D 作 O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点P,过点 A 作 AECD 于
22、点 E,过点 B 作 BFCD 于点 F,若 AC=6,BC=8 ,求线段 PD 的长。解: ACD= BCD AD=BDAD=BDAB 为 O 的直径 ADB=90 ABD 是等腰直角三角形 ACB=90 , AC=6 ,BC=8 AB=10 AD=AB cosDAB=10 22=52又 AECD, ACD=45 ACE 是等腰直角三角形CE=AE=AC cosCAE=6 22=32在 ADE 中, DE2=AD2-AE2DE2=32232522)()(-DE=24CD=CE+DE=32+24=27 PDA= PCD, P=P PDA PCD 752725CDADPDPAPCPDPC=57PD,PA=75PD PC=PA+AC 57PD=75PD+6 解得 PD=435精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页