《2022年第一章一元一次不等式复习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年第一章一元一次不等式复习(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第一章一元一次不等式 复习一、知识 点回顾1、不等式的定义:一般地,用符号“”、 “” 、 “”、 “” 、 “” 连接的式子叫做不等式。注意:要弄清不等式和等式的区别:等式有等号,而不等式没有。常用的不等号有:、。例: 判断下列哪些式子是不等式,哪些不是不等式。32;21x;21x;svt;283mx;124xx;38x;5223xx;240x;230x。解:是不等式,其余不是;是多项式,是等式,是分式。列不等式是数学化与符号化的过程,它与列方程类似,列不等式注意找到问题中不等关系的词,如:“正数 ( 0) ” ,“负数( 0) ” ,“非正数( 0) ” ,“非负数(0)
2、” ,“超过 ( 0) ” ,“不足( 0) ” ,“至少( 0) ” ,“至多( 0) ” ,“不大于(0) ” , “不小于( 0) ”除了常见不等式所表示的基本语言与含义还有:若 ab0,则 a 大于 b ;若 ab0,则 a 小于 b ;若 ab 0,则 a 不小于 b ;若 ab0,则 a 不大于 b ;若 ab0 或0ab,则 a、b 同号;若ab0 或0ab,则 a、 b 异号。不等号具有方向性,其左右两边不能随意交换:ab可转换为ba,cd可转换为dc。例: 规定一种新的运算:1ababab,比如:2323231,请你比较:3 44 3,3443。 (填不等号)练习: 1、用不
3、等式表示:a是正数:;x的平方是非负数:;a不大于b:;x的 3 倍与 2 的差是负数:;长方形的长为x cm,宽为 10cm,其面积不小于200cm2:。2、试判断237aa与32a的大小。3、如果0ab,0b,则, , , a bab的从打到小的排序是:。2、不等式的基本性质:有时,为了更好的理解新旧知识之间的异同,便以表格形式将二者进行比较。等式的基本性质不等式的基本性质一般形式两边 同时加上 (或 减去 )同一个代数式所得结果 仍是等式 。性质 1:两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。若ab,则acbc两边 同时乘以同一个数(或 除以 同一个不为 0的数)所得结果仍是等式
4、 。性质 2:两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。若ab,0c则acbc性质 3:两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。若ab,0c则acbc比如:不等式bax的解集是abx,一定会有0a。练习:用最确切的不等号填空:若 3x,则x 3;若 -2 x,则 0 x+2;若 2a8,则 a 4;若 xy,则 m2x m2y。关于 x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8 的解是负数,则m的取值范围是。如果0nm,那么下列结论中错误的是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习必备欢迎下载A9
5、9nmB. nm C. mn11D.1nm3、不等式的解和不等式的解集的定义:能使不等式成立的未知数的值(一个或几个) ,叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解 ,组成这个不等式的解集。注意:不等式的解集,包含两方面的含义:未知数 取解集 中的任何一个值时,不等式 都成立 。未知数 取解集 外的任何一个值时,不等式 都不成立 。求不等式的解集的过程叫做 解不等式 。不等式的解集可在数轴上直观表示。注意:用数轴表示不等式的解,应记住规律:大于向右画,小于向左画,有等号( 、 ) 画实心点,无等号( 、 ) 画空心圈。例如:不等式x5 的解集可以用数轴上表示5 的点的右边部分来表示,在数轴
6、上表示5 的点的位置上画空心圆圈,表示5 不在这个解集内。不等式x5 1 的解集x4 可以用数轴上表示4 的点及其左边部分来表示,在数轴上表示4 的点的位置画实心圆点,表示 4 在这个解集内。例 1:求不等式中字母的取值(实质仍是解不等式)关于不等式22xa的解集如图所示,a的值是()A、0 B、2 C 、 2 D 、 4 说明:2a222xax,则移项,得,因此2102aa,解方程,得例 2: 不等式53xx3的 正整数 解有 ( ) 【答案 C】A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个练习: 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来。11x;032x填空题: 大于 0 且小于 的整数是
7、;34x,则 x 的最小整数是。李强同学用若干根长度相等的火柴棒在桌面上首尾相接地摆三角形,其中三角形的一边用了3 根火柴棒,另一边用了6 根火柴棒,那么第三边最少用根火柴棒,最多用根火柴棒。不等式3x的解集在数轴上表示为() 。【答案 B】A. B C D4、一元一次不等式的定义和解法:不等式的 左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式:ax+b0 或 ax+b0, ax+b0 或 ax+b0(a 0) 解一元一次不等式的一般步骤:例:131321xx解不等式:解:去分母,得6)13(2) 13xx(不要漏乘哦!每一项都得乘)去括
8、号,得62633xx(注意符号,不要漏乘! )移项,得23663xx(移项要变号)合并同类项,得73x(计算要正确)系数化为1, 得37x(同除负,不等号方向要改变,分子分母别颠倒了)根据实际问题列不等式并求解,主要有以下环节:3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习必备欢迎下载审题,找出不等关系;设未知数;列出不等式;求出不等式的解集;找出符合题意的值;作答。练习: 解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来。41233523xx;3252132xxx某商
9、品原来的价格为6 元/ 件,涨价x% 后仍不高于9 元/ 件,求x的最大值。5、一元一次不等式与一次函数利用函数图象求解不等式,通过直接观察图象,得到不等式的解集,并用解不等式方法加以验证;借助于函数关系建立不等式,即先建立函数模型,再建立不等式模型。解一元一次不等式与解一元一次方程的区别从 表达含义 来看:一元一次不等式表示的是不等关系 ,一元一次方程表示的是相等关系 。从 解法 来看:解法的5 个步骤相同,但是“去分母”“系数化为1”时,如果 不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数时,不等号方向改变。从 解的情况 来看:不等式有无数个解 ,而一元一次方程只有唯一解 。一次函数与一元一次方
10、程、一元一次不等式之间的互相转化作用令一次函数y=kx+b(k 0)中的 y=0,即可得一元一次方程,将一元一次方程中的等号改为不等号,一元一次方程则转化为一元一次不等式例: 一次函数312yx中, x 为何值时,0y,0y,0y。解:0y,即3120x,有4x;0y,即3120x,有4x;0y,即3120x,有4x。练习: 已知函数3211xy,132xy,求当 x 为何值时,21yy,21yy,21yy。甲现有存款600 元,乙现有存款2000 元,从本月起甲每月存500 元,乙每月存200 元。问几个月后甲的存款开始超过乙的存款额?某电视厂要印刷产品宣传材料。甲印刷厂提出每份材料手1 元
11、印刷费,另收1500 元制版费;乙印刷厂提出每份材料收2.5 元印刷费,不收制版费。假如你是电视机厂的厂长,选择哪家印刷厂较合算?6、一元一次不等式组:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页学习必备欢迎下载关于同一个未知数的几个 一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。一元一次不等式组的解法:先解出各个不等式的解集,然后再找出它们的公共部分。可以利用数轴来找。一元一次不等式组解集图示语言表达bxax(ba)bxab同大取大bxax(
12、ba)axab同小取小bxax(ba)bxaab大小小大中间取bxax(ba)无解ab大大小小无解答例 1: 解不等式组,并将其解集在数轴上表示出来23112.2xxx,解:解不等式,得2x解不等式,得1x不等式组的解集为:21x;解集在数轴上表示为:例 2: 求不等式组中字母的取值已知不等式组3210xxa,无解,则a的取值范围是记住:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了!【 (1a)别忘等号 】7、列不等式(组)解应用题的一般步骤:弄清题意和题中的数量关系,用字母表示未知数找出能表示题目全部含义的一个(多个)不等关系。根据这个不等关系列出所需要的代数式,从而列出不等式(组)解
13、这个不等式(组) ,求出解集写出符合实际意义的解。例 1:将一箱苹果分给若干个小朋友,若每位小朋友分5 个苹果,则还剩12 个苹果;若每个小朋友分8 个苹果,则有一个小朋友分不到5 个苹果。问有多少苹果多少小朋友?解:设有x 个小朋友,则苹果为(5x+12)个,依题意,得5)1(81250xx化简有15320,52030xx即:。故3205x,因为 x 取整数,所以6x, 42125x,所以有6 个小朋友, 42 个苹果。【注意:只有1x个小朋友够8 个苹果】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习必备欢迎下载例 2
14、:某工厂现有甲种原料280 kg ,乙种原料190 kg ,计划用这两种原料生产A、B两种产品50 件,已知生产一件A产品需甲种原料7kg,乙种原料3kg,可获利 400 元;生产一件B产品需甲种原料3kg,乙种原料 5kg,可获利 350 元; (1)请问工厂有哪几种生产方案?(2)选择哪种方案可获利最大,最大利润是多少?分析:这种问题,列表更方便!甲种280 kg 乙种 190 kg 获利A x7x3x400xB x503(x50)5(x50)350 (x50)解: 设生产 A产品x件,则生产B产品(x50)件。依题意,得190)50(53280)50(37xxxx解得,5.3230x,因
15、x取正整数,所以x取 30,31, 32,故有 3 种方案: A30件, B20件; A31件, B19件; A32 件, B18 件;设生产 A、B两种产品总获利为元y,则1750050)50(35040xxxy因为050k,所以的增大而增大随xy, 当x=32 时,y取得最大值,元)(19100y练习: 1、解下列不等式组(1)12322xxx( 2)253(2)123xxxx2、用若干辆载重量为8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4 吨,则剩下20 吨货物;若每辆汽车装满8 吨,则最后一辆汽车不满也不空。请问:有多少辆汽车?3、一群女生住若干间宿舍,每间住 4 人,剩 19 人无房住;
16、 每房住 6 人,有一间住不满, 则有宿舍多少间?学生有多少名?二 、常见题型1、解不等式并在数轴上表示解集例 1:解不等式611012xx并把它的解集在数轴上表示出来。分析: 求一元一次不等式解集的步骤和解一元一次方程的步骤基本相同,去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。110)12(6xx去分母精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习必备欢迎下载110612xx去括号 : 161012xx移项:72x合并同类项:27x系数化为1:说明: (1)解不等式时, 常常出现和解方程类似的错误,如去分母漏乘, 移项
17、时没有改变该项的符号,这就要求我们在具体解题过程中,避免这些错误的产生,在系数化为1 的时候,首先要看清系数的符号,从而确定不等号的方向改变与否。(2)解不等式的步骤并不是一成不变的,如移项前能合并同类项,首先合并再移项。2、求与不等式有关的特殊值例 2:求不等式)1(2)4(35xx的非负整数解解:去括号,得221235xx移项,得125223xx合并同类项,得155x系数化为1,得3x故,解集3x中的非负整数解是0, 1,2,3 说明: 求不等式的非负整数解,只要先求出不等式的解集,再按要求从解集中确定非负整数即可。解这类问题时,要注意解集的完整性,如解集x3 的非负整数解是0,1, 2,
18、解集 xy2?解:法一: 在同一直角坐标系中作出两函数的图象(如图),两直线的交点坐标为(1,3) ,故当 x1 时, y1y2。法二: 由 x22x5,得 x1。当 x1 时, y1y2。说明: 法一用函数的图象法解一元一次不等式,具有直观性; 法二是直接解不等式法,比法一更准确。4、求范围例 5、点 A(m 4,12m)在第三象限,则m的取值范围是()A21m B 4m C 421m D 4m解: 第三象限中点的横坐标和纵坐标都是负数xx112345234-1-2-3-1(1,3)y1=x+2y2=-2x+53.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
19、- - - -第 6 页,共 12 页学习必备欢迎下载02m-104-m解得:421m,所以选C 。说明: 在涉及求方程组、点的坐标、一次函数中的未知数的取值范围时,常将有关代数式化成一次函数的形式,利用条件制约下形成的一元一次不等式(组)来解题。例 6: 小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形, 请写出底边y (cm)与一腰长 x ( cm)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围。解: 根据题意:xy280xx 2xy 0y=802x3 由( 1) ,解得 x4 原不等式组的解集为3x4 6、解连不等式例 8:解不等式35 由( 2) ,解得 x8 在数轴上,把不等式(1)
20、 、 (2)的解集表示出来,如图所示。因此,原不等式组的解集为5x8 解法 2:3312?x5 92x115 102x16 5x8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习必备欢迎下载说明: 方法一是将连不等式化成不等式组来解决的,解法二是直接运用不等式的基本性质来解决的。7、方程组与不等式组综合例 9:已知关于x、 y 的方程组xyayx3223的解满足x1,求整数 a 的值。分析: 先由方程组求得x、y,然后由x1 求得整数a的值。解: 由方程组,解得792734ayax根据题意得:17921734aa,解这个不
21、等式组得251a所以整数a 的值是 0,1,2 8、不等式 ( 组 )的实际应用例 10: 七()班共有50 名学生,老师安排每人制作一件A型或 B型的陶艺品,学校现有甲种制作材料 36kg,乙种制作材料29kg,制作 A、 B两种型号的陶艺品用料情况如下表:需甲种材料需乙种材料1 件A型陶艺品.9kg0.3kg1 件B型陶艺品0.4kg1kg(1)设制作B型陶艺品x件,求x的取值范围;(2)请你根据学校现有材料,分别写出七(2)班制作A型和B型陶艺品的件数分析:(1)本题没有明显的不等关系的条件,因此很容易误认为是利用二元一次方程组来解。由于题目中并没有交代两种材料必须全部用完,因此只要所用
22、的甲、乙不要超过库存量即可,这就是本题条件所隐含的两个不等关系,列出不等式组,根据不等式组即可求出x 的取值范围。(2)根据 x 的取值范围即可写出七(2)班制作A型和B型陶艺品的件数解: (1)由题意得:xxxx27)50(3 .0364.0)50(9 .0由得, x18,由得, x 20,所以 x 的取值得范围是18 x20( x 为正整数)(2)制作 A型和 B型陶艺品的件数为:制作 A型陶艺品32 件,制作 B型陶艺品18 件;制作 A型陶艺品31 件,制作 B型陶艺品19 件;制作 A型陶艺品30 件,制作B型陶艺品20 件;说明: 根据题意找出题目中的不等关系或隐含的不等关系,再根
23、据相应的关系列出不等式(组)。通常不等关系的给出总是以“至少”、 “没满”、 “少于”、 “不超过”、 “怎么办可获得最大利润”等词语作为标志。而解出不等式之后,还要根据实际情境适当取舍,选出符合要求的答案。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习必备欢迎下载三 、巩固练习一、选择题:1、下面列出的不等式中,正确的是 ( ) (A)a 不是负数,可表示成a 0 (B)x不大于 3,可表示成x3 (C)m 与 4的差是负数,可表示成m-40 (D)x与 2 的和是非负数,可表示成x+20 2、下列不等式中一定成立的是
24、( ) (A)4a 3a (B)3-x4-x (C)-a-2a (D)aa233、不等式5(x+1)-3x2x+3 的解集为 ( ) (A)x -1 (B)x1 (C)无解 (D)一切实数4、如果关于x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于2 的非负数,那么(A)m=6 (B)m等于 5,6,7 (C)无解 (D)5m 7 5、不等式14x-7(3x+8) 4(2x-5) 的负整数解是 ( ) (A)-3 ,-2,-1 ,0 (B)-4,-3 ,-2 ,-1 (C)-2,-1 (D)以上答案都不对6、已知0|32|)2(2nbaa中, b 为正数,则n 的取值范围是( ) (A)n 2
25、 (B)n3 (C)n4 (D)n5 7、如果 0 x1,则下列不等式成立的是()A、x2x1x B、x1x2x C、 xx1x2 D、x1xx28、如图,天平右盘中每个砝码的重量都是1g,图中显示出某药品A重量的范围是()A、大于 2g;B、小于 3g;C 、大于 2g 且小于 3g; D、大于 2g 或小于 3g 9、若不等式组11xmx无解,则m的取值范围是( ) A.m 11 B.m11 C.m11 D.m11 10、函数 ykx b(k、b 为常数)的图象如图所示,则关于x的不等式kxb0的解集是()(A)x0 (B)x0 (C)x2 ( D )x2 二、填空题:1、若方程kx+1=
26、2x-1 的解是正数,则k 的取值范围是 _;已知三角形的两边为3 和 4,则第三边a的取值范围是_。2、若 2a+3 2a+3,则实数 a 的取值范围是 _。3、在下面横线上填上等号或不等号设m n,那么 m-5_n-5 ;-5m_-5n ;10m_10n;mp_np。4、有一个两位数,其个位数字比十位数字大2,已知这个两位数大于20 而小于40,则这个两位数为_5、已知 0 a15,且 ax15,则当 x_时,式子 x-a+x-15+x-a-15的值最小6、不等式 9-3x2 的非负整数解是。2、当y时,代数式2y-3 的值不大于5y-3 。7、若代数式531x与51x代数式的差是负数,那
27、么x 的范围是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页学习必备欢迎下载8、当x_时,代数式523x的值是非正数。 . 当m_时,不等式 (2 m)x8 的解集为mx28. 9、适合不等式23x-7 8的整数解是。10、某种商品进价150 元,标价200 元,但销量较小。为了促销,商场决定打折销售,若为了保证利润率不 底 于20%, 那 么 至 多 打 几 折 ? 如 果 设 商 场 将 该 商 品 打x折 , 则 可 列 出 不 等 式为:。三、解答题:1、已知 6 m 12,mnm33求 m+n的取值范围2、a 取什
28、么值时,关于x 的方程122124axax的解大于 1 3、当 x 分别为何值时,代数式)3(21x的值,(1) 不小于 1; (2)为正数4、当 x 取何值时,代数式34x的值, (1) 小于612x的值; (2) 不小于612x的值。5、当 k 取何值时,方程1)(5332kxkx的解是正数6、求不等式21429323xxx的非负整数解7、若不等式 (2x+1)-53(x-1)+4的最小整数解是方程531axx的解,求代数式1122aa的值8、3xa的整数解为1、2、 3、4,求 a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
29、10 页,共 12 页学习必备欢迎下载9、已知方程x+2m-3=3x+7 的解不小于2 且不大于10,求 m 的取值范围10、求不等式2x-1 3 的解集11、解下列不等式(组) :、21532xx;、131142xx;、26(3)5(1)64(1)xxxx;、312323(2)0xxx12、如果 x,y 满足不等式组0503yxyxx,那么你能画出点(x,y)所在的平面区域吗? 13、将若干个练习本分给若干个学生,如果每人分4 本,那么还余20 本;如果每人分8 本,那么最后有一个学生分到的不足8 本,求学生人数和练习本个数。14、某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游。甲旅行社说
30、:如果校长买全票一张,则其余学生可以享受半价优惠;乙旅行社说:包括校长在内全部按全票的6 折优惠。已知两家旅行社的全票价都是 240 元,请你就学生数说明哪家旅行社更优惠。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习必备欢迎下载15、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500 辆次,其中变速车保管费是每辆0.5 元,一般车保管费是每辆03 元(1) 若设一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 与 x 的关系式(2)若估计前来停放的3500 辆自行车中,变速车的辆次不小于25%,但不大于40
31、%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围16、将若干只鸡放在若干个笼里,若每个笼里放4 只鸡 ,则剩下一只鸡无笼可放;若每个笼里放5 只鸡 ,则有一笼无鸡可放 .那么至少有几只鸡?多少个笼 ? 17、火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨,乙种货物1150 吨 ,现计划用50 节 A、B 两 种型号的车厢将这批货物运至北京,已知每节A 型货厢的运费是0.5 万元 ,每节 B 节货厢的运费是0.8 万元 ;甲种货物35 吨和乙种货物 15 吨可装满一节A 型货厢 ,甲种货物 25 吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢 ,按此要求安排A、B 两种货厢的节数,共有哪几种方案?请你设计出来 ;并说明哪种方案的运费最少? 18、已知方程x+2m-3=3x+7 的解不小于2 且不大于10,那么 m的范围是。不等式组212mxmx的解集是xm2,则m的取值应为。已知方程组72315yxkyx的解满足x 小于 11,y 大于 7的条件,求k 的正整数值。已知函数y=3x+12 的图象,回答下列问题:当x为什么值时,y0?如果这个函数y的值满足 6y6,求相应的x的取值范围 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页