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1、学习必备欢迎下载第一章一元一次不等式 复习一、知识 点回顾1、不等式的定义：一般地，用符号“”、 “” 、 “”、 “” 、 “” 连接的式子叫做不等式。注意：要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。常用的不等号有：、。例： 判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。32；21x；21x；svt；283mx；124xx；38x；5223xx；240x；230x。解：是不等式，其余不是；是多项式，是等式，是分式。列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：“正数 ( 0) ” ，“负数（ 0） ” ，“非正数（ 0） ” ，“非负数（0）
2、” ，“超过 ( 0) ” ，“不足（ 0） ” ，“至少（ 0） ” ，“至多（ 0） ” ，“不大于（0） ” ， “不小于（ 0） ”除了常见不等式所表示的基本语言与含义还有：若 ab0，则 a 大于 b ；若 ab0，则 a 小于 b ；若 ab 0，则 a 不小于 b ；若 ab0，则 a 不大于 b ；若 ab0 或0ab，则 a、b 同号；若ab0 或0ab，则 a、 b 异号。不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：ab可转换为ba，cd可转换为dc。例： 规定一种新的运算：1ababab，比如：2323231，请你比较：3 44 3，3443。 （填不等号）练习： 1、用不
3、等式表示：a是正数：；x的平方是非负数：；a不大于b：；x的 3 倍与 2 的差是负数：；长方形的长为x cm，宽为 10cm，其面积不小于200cm2：。2、试判断237aa与32a的大小。3、如果0ab，0b，则, , , a bab的从打到小的排序是：。2、不等式的基本性质：有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。等式的基本性质不等式的基本性质一般形式两边 同时加上 （或 减去 ）同一个代数式所得结果 仍是等式 。性质 1：两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。若ab，则acbc两边 同时乘以同一个数（或 除以 同一个不为 0的数）所得结果仍是等式
4、 。性质 2：两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。若ab，0c则acbc性质 3：两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。若ab，0c则acbc比如：不等式bax的解集是abx，一定会有0a。练习：用最确切的不等号填空：若 3x，则x 3；若 -2 x，则 0 x+2；若 2a8，则 a 4；若 xy，则 m2x m2y。关于 x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8 的解是负数，则m的取值范围是。如果0nm，那么下列结论中错误的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载A9
5、9nmB. nm C. mn11D.1nm3、不等式的解和不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的值（一个或几个） ，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解 ，组成这个不等式的解集。注意：不等式的解集，包含两方面的含义：未知数 取解集 中的任何一个值时，不等式 都成立 。未知数 取解集 外的任何一个值时，不等式 都不成立 。求不等式的解集的过程叫做 解不等式 。不等式的解集可在数轴上直观表示。注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律：大于向右画，小于向左画，有等号( 、 ) 画实心点，无等号( 、 ) 画空心圈。例如：不等式x5 的解集可以用数轴上表示5 的点的右边部分来表示，在数轴
6、上表示5 的点的位置上画空心圆圈，表示5 不在这个解集内。不等式x5 1 的解集x4 可以用数轴上表示4 的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4 的点的位置画实心圆点，表示 4 在这个解集内。例 1：求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）关于不等式22xa的解集如图所示，a的值是（）A、0 B、2 C 、 2 D 、 4 说明：2a222xax，则移项，得，因此2102aa，解方程，得例 2： 不等式53xx3的 正整数 解有 ( ) 【答案 C】A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个练习： 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。11x；032x填空题： 大于 0 且小于 的整数是
7、；34x，则 x 的最小整数是。李强同学用若干根长度相等的火柴棒在桌面上首尾相接地摆三角形，其中三角形的一边用了3 根火柴棒，另一边用了6 根火柴棒，那么第三边最少用根火柴棒，最多用根火柴棒。不等式3x的解集在数轴上表示为（） 。【答案 B】A. B C D4、一元一次不等式的定义和解法：不等式的 左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b0 或 ax+b0， ax+b0 或 ax+b0(a 0) 解一元一次不等式的一般步骤：例：131321xx解不等式：解：去分母，得6)13(2) 13xx（不要漏乘哦！每一项都得乘）去括
8、号，得62633xx（注意符号，不要漏乘! ）移项，得23663xx（移项要变号）合并同类项，得73x（计算要正确）系数化为1， 得37x（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载审题，找出不等关系；设未知数；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合题意的值；作答。练习： 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。41233523xx；3252132xxx某商
9、品原来的价格为6 元/ 件，涨价x% 后仍不高于9 元/ 件，求x的最大值。5、一元一次不等式与一次函数利用函数图象求解不等式，通过直接观察图象，得到不等式的解集，并用解不等式方法加以验证；借助于函数关系建立不等式，即先建立函数模型，再建立不等式模型。解一元一次不等式与解一元一次方程的区别从 表达含义 来看：一元一次不等式表示的是不等关系 ，一元一次方程表示的是相等关系 。从 解法 来看：解法的5 个步骤相同，但是“去分母”“系数化为1”时，如果 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变。从 解的情况 来看：不等式有无数个解 ，而一元一次方程只有唯一解 。一次函数与一元一次方
10、程、一元一次不等式之间的互相转化作用令一次函数y=kx+b(k 0)中的 y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式例： 一次函数312yx中， x 为何值时，0y，0y，0y。解：0y，即3120x，有4x；0y，即3120x，有4x；0y，即3120x，有4x。练习： 已知函数3211xy，132xy，求当 x 为何值时，21yy，21yy，21yy。甲现有存款600 元，乙现有存款2000 元，从本月起甲每月存500 元，乙每月存200 元。问几个月后甲的存款开始超过乙的存款额？某电视厂要印刷产品宣传材料。甲印刷厂提出每份材料手1 元
11、印刷费，另收1500 元制版费；乙印刷厂提出每份材料收2.5 元印刷费，不收制版费。假如你是电视机厂的厂长，选择哪家印刷厂较合算？6、一元一次不等式组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载关于同一个未知数的几个 一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。可以利用数轴来找。一元一次不等式组解集图示语言表达bxax（ba）bxab同大取大bxax（
12、ba）axab同小取小bxax（ba）bxaab大小小大中间取bxax（ba）无解ab大大小小无解答例 1： 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来23112.2xxx，解：解不等式，得2x解不等式，得1x不等式组的解集为：21x；解集在数轴上表示为：例 2： 求不等式组中字母的取值已知不等式组3210xxa，无解，则a的取值范围是记住：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了！【 （1a）别忘等号 】7、列不等式（组）解应用题的一般步骤：弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数找出能表示题目全部含义的一个（多个）不等关系。根据这个不等关系列出所需要的代数式，从而列出不等式（组）解
13、这个不等式（组） ，求出解集写出符合实际意义的解。例 1：将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5 个苹果，则还剩12 个苹果；若每个小朋友分8 个苹果，则有一个小朋友分不到5 个苹果。问有多少苹果多少小朋友？解：设有x 个小朋友，则苹果为（5x+12）个，依题意，得5)1(81250xx化简有15320,52030xx即：。故3205x，因为 x 取整数，所以6x, 42125x，所以有6 个小朋友， 42 个苹果。【注意：只有1x个小朋友够8 个苹果】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载例 2
14、：某工厂现有甲种原料280 kg ，乙种原料190 kg ，计划用这两种原料生产A、B两种产品50 件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg，乙种原料3kg，可获利 400 元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利 350 元； （1）请问工厂有哪几种生产方案？（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？分析：这种问题，列表更方便！甲种280 kg 乙种 190 kg 获利A x7x3x400xB x503（x50）5（x50）350 （x50）解： 设生产 A产品x件，则生产B产品（x50）件。依题意，得190)50(53280)50(37xxxx解得，5.3230x，因
15、x取正整数，所以x取 30，31， 32，故有 3 种方案： A30件， B20件； A31件， B19件； A32 件， B18 件；设生产 A、B两种产品总获利为元y，则1750050)50(35040xxxy因为050k，所以的增大而增大随xy, 当x=32 时，y取得最大值，元）(19100y练习： 1、解下列不等式组（1）12322xxx（ 2）253(2)123xxxx2、用若干辆载重量为8 吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4 吨，则剩下20 吨货物；若每辆汽车装满8 吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？3、一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；
16、 每房住 6 人，有一间住不满， 则有宿舍多少间？学生有多少名？二 、常见题型1、解不等式并在数轴上表示解集例 1：解不等式611012xx并把它的解集在数轴上表示出来。分析： 求一元一次不等式解集的步骤和解一元一次方程的步骤基本相同，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。110)12(6xx去分母精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载110612xx去括号 : 161012xx移项：72x合并同类项：27x系数化为1：说明： （1）解不等式时， 常常出现和解方程类似的错误，如去分母漏乘， 移项
17、时没有改变该项的符号，这就要求我们在具体解题过程中，避免这些错误的产生，在系数化为1 的时候，首先要看清系数的符号，从而确定不等号的方向改变与否。（2）解不等式的步骤并不是一成不变的，如移项前能合并同类项，首先合并再移项。2、求与不等式有关的特殊值例 2：求不等式)1(2)4(35xx的非负整数解解：去括号，得221235xx移项，得125223xx合并同类项，得155x系数化为1，得3x故，解集3x中的非负整数解是0， 1，2，3 说明： 求不等式的非负整数解，只要先求出不等式的解集，再按要求从解集中确定非负整数即可。解这类问题时，要注意解集的完整性，如解集x3 的非负整数解是0，1， 2，
18、解集 xy2？解：法一： 在同一直角坐标系中作出两函数的图象（如图），两直线的交点坐标为（1，3） ，故当 x1 时， y1y2。法二： 由 x22x5，得 x1。当 x1 时， y1y2。说明： 法一用函数的图象法解一元一次不等式，具有直观性； 法二是直接解不等式法，比法一更准确。4、求范围例 5、点 A（m 4，12m）在第三象限，则m的取值范围是（）A21m B 4m C 421m D 4m解： 第三象限中点的横坐标和纵坐标都是负数xx112345234-1-2-3-1(1,3)y1=x+2y2=-2x+53.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
19、- - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载02m-104-m解得：421m，所以选C 。说明： 在涉及求方程组、点的坐标、一次函数中的未知数的取值范围时，常将有关代数式化成一次函数的形式，利用条件制约下形成的一元一次不等式（组）来解题。例 6： 小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形， 请写出底边y （cm）与一腰长 x （ cm）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。解： 根据题意：xy280xx 2xy 0y=802x3 由（ 1） ，解得 x4 原不等式组的解集为3x4 6、解连不等式例 8：解不等式35 由（ 2） ，解得 x8 在数轴上，把不等式（1）
20、 、 （2）的解集表示出来，如图所示。因此，原不等式组的解集为5x8 解法 2：3312?x5 92x115 102x16 5x8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载说明： 方法一是将连不等式化成不等式组来解决的，解法二是直接运用不等式的基本性质来解决的。7、方程组与不等式组综合例 9：已知关于x、 y 的方程组xyayx3223的解满足x1，求整数 a 的值。分析： 先由方程组求得x、y，然后由x1 求得整数a的值。解： 由方程组，解得792734ayax根据题意得：17921734aa，解这个不
21、等式组得251a所以整数a 的值是 0，1，2 8、不等式 ( 组 )的实际应用例 10： 七（）班共有50 名学生，老师安排每人制作一件A型或 B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料 36kg，乙种制作材料29kg，制作 A、 B两种型号的陶艺品用料情况如下表：需甲种材料需乙种材料1 件A型陶艺品.9kg0.3kg1 件B型陶艺品0.4kg1kg（1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数分析：（1）本题没有明显的不等关系的条件，因此很容易误认为是利用二元一次方程组来解。由于题目中并没有交代两种材料必须全部用完，因此只要所用
22、的甲、乙不要超过库存量即可，这就是本题条件所隐含的两个不等关系，列出不等式组，根据不等式组即可求出x 的取值范围。（2）根据 x 的取值范围即可写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数解： （1）由题意得：xxxx27)50(3 .0364.0)50(9 .0由得， x18，由得， x 20，所以 x 的取值得范围是18 x20（ x 为正整数）（2）制作 A型和 B型陶艺品的件数为：制作 A型陶艺品32 件，制作 B型陶艺品18 件；制作 A型陶艺品31 件，制作 B型陶艺品19 件；制作 A型陶艺品30 件，制作B型陶艺品20 件；说明： 根据题意找出题目中的不等关系或隐含的不等关系，再根
23、据相应的关系列出不等式（组）。通常不等关系的给出总是以“至少”、 “没满”、 “少于”、 “不超过”、 “怎么办可获得最大利润”等词语作为标志。而解出不等式之后，还要根据实际情境适当取舍，选出符合要求的答案。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载三 、巩固练习一、选择题：1、下面列出的不等式中，正确的是 ( ) (A)a 不是负数，可表示成a 0 (B)x不大于 3，可表示成x3 (C)m 与 4的差是负数，可表示成m-40 (D)x与 2 的和是非负数，可表示成x+20 2、下列不等式中一定成立的是
24、( ) (A)4a 3a (B)3-x4-x (C)-a-2a (D)aa233、不等式5(x+1)-3x2x+3 的解集为 ( ) (A)x -1 (B)x1 (C)无解 (D)一切实数4、如果关于x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于2 的非负数，那么(A)m=6 (B)m等于 5，6，7 (C)无解 (D)5m 7 5、不等式14x-7(3x+8) 4(2x-5) 的负整数解是 ( ) (A)-3 ，-2，-1 ，0 (B)-4，-3 ，-2 ，-1 (C)-2，-1 (D)以上答案都不对6、已知0|32|)2(2nbaa中， b 为正数，则n 的取值范围是( ) (A)n 2
25、 (B)n3 (C)n4 (D)n5 7、如果 0 x1，则下列不等式成立的是（）A、x2x1x B、x1x2x C、 xx1x2 D、x1xx28、如图，天平右盘中每个砝码的重量都是1g，图中显示出某药品A重量的范围是（）A、大于 2g；B、小于 3g；C 、大于 2g 且小于 3g； D、大于 2g 或小于 3g 9、若不等式组11xmx无解，则m的取值范围是( ) A.m 11 B.m11 C.m11 D.m11 10、函数 ykx b（k、b 为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kxb0的解集是（）（A）x0 （B）x0 （C）x2 （ D ）x2 二、填空题：1、若方程kx+1=
26、2x-1 的解是正数，则k 的取值范围是 _；已知三角形的两边为3 和 4，则第三边a的取值范围是_。2、若 2a+3 2a+3，则实数 a 的取值范围是 _。3、在下面横线上填上等号或不等号设m n，那么 m-5_n-5 ；-5m_-5n ；10m_10n；mp_np。4、有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20 而小于40，则这个两位数为_5、已知 0 a15，且 ax15，则当 x_时，式子 x-a+x-15+x-a-15的值最小6、不等式 9-3x2 的非负整数解是。2、当y时，代数式2y-3 的值不大于5y-3 。7、若代数式531x与51x代数式的差是负数，那
27、么x 的范围是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载8、当x_时，代数式523x的值是非正数。 . 当m_时，不等式 (2 m)x8 的解集为mx28. 9、适合不等式23x-7 8的整数解是。10、某种商品进价150 元，标价200 元，但销量较小。为了促销，商场决定打折销售，若为了保证利润率不 底 于20%， 那 么 至 多 打 几 折 ？ 如 果 设 商 场 将 该 商 品 打x折 ， 则 可 列 出 不 等 式为：。三、解答题：1、已知 6 m 12，mnm33求 m+n的取值范围2、a 取什
28、么值时，关于x 的方程122124axax的解大于 1 3、当 x 分别为何值时，代数式)3(21x的值，(1) 不小于 1； (2)为正数4、当 x 取何值时，代数式34x的值， (1) 小于612x的值； (2) 不小于612x的值。5、当 k 取何值时，方程1)(5332kxkx的解是正数6、求不等式21429323xxx的非负整数解7、若不等式 (2x+1)-53(x-1)+4的最小整数解是方程531axx的解，求代数式1122aa的值8、3xa的整数解为1、2、 3、4，求 a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
29、10 页，共 12 页学习必备欢迎下载9、已知方程x+2m-3=3x+7 的解不小于2 且不大于10，求 m 的取值范围10、求不等式2x-1 3 的解集11、解下列不等式（组） ：、21532xx；、131142xx；、26(3)5(1)64(1)xxxx；、312323(2)0xxx12、如果 x，y 满足不等式组0503yxyxx，那么你能画出点(x，y)所在的平面区域吗? 13、将若干个练习本分给若干个学生，如果每人分4 本，那么还余20 本；如果每人分8 本，那么最后有一个学生分到的不足8 本，求学生人数和练习本个数。14、某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游。甲旅行社说
30、：如果校长买全票一张，则其余学生可以享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6 折优惠。已知两家旅行社的全票价都是 240 元，请你就学生数说明哪家旅行社更优惠。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载15、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500 辆次，其中变速车保管费是每辆0.5 元，一般车保管费是每辆03 元(1) 若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y 元，试写出y 与 x 的关系式(2)若估计前来停放的3500 辆自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40
31、%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围16、将若干只鸡放在若干个笼里,若每个笼里放4 只鸡 ,则剩下一只鸡无笼可放;若每个笼里放5 只鸡 ,则有一笼无鸡可放 .那么至少有几只鸡?多少个笼 ? 17、火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨,乙种货物1150 吨 ,现计划用50 节 A、B 两 种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A 型货厢的运费是0.5 万元 ,每节 B 节货厢的运费是0.8 万元 ;甲种货物35 吨和乙种货物 15 吨可装满一节A 型货厢 ,甲种货物 25 吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢 ,按此要求安排A、B 两种货厢的节数,共有哪几种方案?请你设计出来 ;并说明哪种方案的运费最少? 18、已知方程x+2m-3=3x+7 的解不小于2 且不大于10，那么 m的范围是。不等式组212mxmx的解集是xm2，则m的取值应为。已知方程组72315yxkyx的解满足x 小于 11，y 大于 7的条件，求k 的正整数值。已知函数y=3x+12 的图象，回答下列问题：当x为什么值时，y0？如果这个函数y的值满足 6y6，求相应的x的取值范围 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
