概率论与数理统计第二章条件概率与独立性

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1、第第2章章 条件概率与独立性条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式2.2 全概率公式全概率公式2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式2.4 事件的独立性事件的独立性2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式 2.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 2.1.1 2.1.1 条件概率条件概率 在在实实际际当当中中，我我们们常常常常碰碰到到这这样样的的问问题题，就就是是在在已已知知一一事事件件发发生生的的条条件件下下，求求另另一一事事件件发发生生的的概概率率 下面首先看一个例子下面首先看一个例子:第第2章章 条件概率与独立性条件概率与独立性 【例例2.1】设设某某

2、家家庭庭中中有有两两个个孩孩子子，已已知知其其中中有有一一个个是是男男孩孩，求求另另一一个个也也是是男男孩孩的的概概率率（假假设设男男、女女孩出生率相同）孩出生率相同） 解：解：用用g代表女孩，代表女孩，b代表男孩，代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩两个都是男孩”，在已知至少有一个男孩条件下，在已知至少有一个男孩条件下，而而 所求概率为所求概率为1/3，记为，记为 P(B|A)=1/3 ，称此概率为在事件称此概率为在事件A发生下事件发生下事件B发生的发生的条件概率条件概率2.1.1 条件概率条件概率如果我们去掉条件如果我们去掉条件A，这时

3、这时 = bb，bg，gb，gg，B = bb，从而从而 P(B)=1/4.前面已算出前面已算出 又因为又因为A = bb，bg，gb ， P(A)=3/4， P(AB)=P(B)=1/4，易得易得这这个个结结果果具具有有一一般般性性，启启发发我我们们给给出出条条件件概概率率的的如如下定义：下定义：2.1.1 条件概率条件概率 定义定义2.1 设设A与与B是同一样本空间中的两事件，是同一样本空间中的两事件， 若若P(A) 0，则称，则称 (1.2)为在为在A发生下的发生下的B的的条件概率条件概率 类类似似地地，当当P(B) 0时时，定定义义在在B发发生生下下事事件件A发发生的条件概率为生的条件

4、概率为 (1.3) 要注意要注意区分区分P(AB) 和和 P(B|A) 的不同含义的不同含义2.1.1 条件概率条件概率 注注意意，由由此此定定义义我我们们无无法法断断言言条条件件概概率率P(B|A)与与无条件概率无条件概率P(B)有什么必然的关系有什么必然的关系. 例如，我们例如，我们不能不能由定义断言由定义断言或或 事实上，当事实上，当B A时，有时，有 当当AB = 时，有时，有2.1.1 条件概率条件概率 一般地，一般地，不不难难验验证证，条条件件概概率率满满足足概概率率定定义义1.5中中的的三三条条公公理：理： (1) 非负性：对任意事件非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；

5、(2) 规范性：规范性：P( | A) = 1； (3) 可可列列可可加加性性：设设 事事件件两两两两互互不不相容，则相容，则 所所以以,条条件件概概率率P(| A)也也满满足足概概率率的的所所有有其其他他性性质质2.1.1 条件概率条件概率例如例如:2.1.1 条件概率条件概率【例例2.2】设设某某种种动动物物从从出出生生起起活活20岁岁以以上上的的概概率率为为80%，活活25岁岁以以上上的的概概率率为为40%如如果果现现在在有有一一个个20岁的这种动物，求它能活岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率岁以上的概率 解：设解：设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件，的事件

6、， B 表示表示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有所求概率为则有所求概率为由于由于B A,所以所以P(AB)=P(B),1.4.1 条件概率条件概率2.1.2 2.1.2 乘法公式乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理由条件概率公式容易得到下面定理定定理理2.1 设设A与与B是是同同一一样样本本空空间间中中的的两两个个事事件件，如果如果P(A) 0，则，则 (1.4) 如果如果P(B) 0，则，则 (1.5) 上面均称为事件概率的上面均称为事件概率的乘法公式乘法公式定定理理2.1容容易易推推广广到到求求多多个个事事件件积积事事件件概概率率的的情情况况2.1 条件概率与乘法公

7、式条件概率与乘法公式事实上事实上可进一步推广如下可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义右侧的条件概率均有意义,2.1.2 乘法公式乘法公式2.1.2 乘法公式乘法公式【例例2.3】某某厂厂的的产产品品中中有有4%的的废废品品，在在100件件合合格格品品中中有有75件件一一等等品品，试试求求在在该该厂厂的的产产品品中中任任取取一一件是一等品的概率件是一等品的概率 解解：设设A = 任任取取的的一一件件是是合合格格品品，B = 任任取取的一件是一等品的一件是一等品因为因为且且B A所以所以2.1.2 乘法公式乘法公式【例例2.4】某某人人忘忘记记了了电电话话号号码码的的最最后后一一位位数数字字，

8、因因而而他他随随意意地地拨拨号号求求他他拨拨号号不不超超过过三三次次而而接接通通电电话话的的概概率率若若已已知知最最后后一一位位数数字字是是奇奇数数，那那么么此此概概率又是多少？率又是多少？ 解：解：设设Ai =“第第i次接通电话次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过拨号不超过3次接通电话次接通电话”，则事件则事件B的表达式为的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式利用概率的加法公式和乘法公式 2.1.2 乘法公式乘法公式 若已知最后一位数字是奇数，若已知最后一位数字是奇数，则则2.1.2 乘法公式乘法公式要注意要注意区分区分P(AB) 和和 P(B|A) 的不同含义的不同含义【

9、例例2.5】猎猎手手在在距距猎猎物物10米米处处开开枪枪，击击中中概概率率为为0.6若若击击不不中中，待待开开第第二二枪枪时时猎猎物物已已逃逃至至30米米远远处处，此此时时击击中中概概率率为为0.25，若若再再击击不不中中，则则猎猎物物已已逃逃至至50米米远远处处，此此时时只只有有0.1的的击击中中概概率率求求猎猎手手三三枪枪内内击击中猎物的概率中猎物的概率 解：解：以以Ai =“第第i枪击中猎物枪击中猎物”，i = 1，2，3，则所求概率则所求概率2.1.2 乘法公式乘法公式课堂练习课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破第一次落下时打破的概率为的概率为

10、1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落下打破的第二次落下打破的概率为概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三次落下打破的第三次落下打破的概率为概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率试求透镜落下三次而未打破的概率.解解 B “透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.2.1.2 乘法公式乘法公式 在在处处理理复复杂杂事事件件的的概概率率时时，我我们们经经常常将将这这个个复复杂杂事事件件分分解解为为若若干干个个互互不不相相容容的的较较简简单单的的事事件件之之和和，先先求求这这些些简简单单事事件件的的概概率率，再再利利用用有有限限可可加加性性得得到

11、到所所求求事事件件的的概概率率，这这种种方方法法就就是是全全概概率率公式公式 2.2 全概率公式全概率公式 2.2 全概率公式全概率公式2.2 2.2 全概率公式全概率公式引例：引例： 有三个罐子有三个罐子, 1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球, 2号号装有装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从某人从中中随机取一罐随机取一罐，在从中，在从中任意取出一球任意取出一球，求取得求取得红球的概率红球的概率.213如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？第第2章章 条件概率与独立性条件概率与独立性分析：分析：红球可能取自三个罐中的任何一个，如果记红球可能

12、取自三个罐中的任何一个，如果记 Ai = 取到的是取到的是 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 则则A1,A2,A3 的发生都会导致的发生都会导致B 发生，发生，并且并且A1,A2,A3 两两互不相容，于是两两互不相容，于是1232.2 全概率公式全概率公式值得注意的是，这里还有值得注意的是，这里还有 A1 + A2 + A3= 定定理理2.2 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为 , A1, A2 , An为为E的的一组事件，且满足：一组事件，且满足：(1) A1,A2,An两两两两互互不不相相容容， i = 1,2,n;(2) 则对任一事件则对任一事件B，有，有

13、 (1.7) (1.7)称为称为全概率公式全概率公式称称满满足足(1)和和(2)的的A1，A2，An为为完完备备事事件件组组或或样本空间的一个划分样本空间的一个划分2.2 全概率公式全概率公式证明：证明：因为因为由于由于A1，A2，An两两互不相容，两两互不相容，由有限可加性由有限可加性由假设及乘法公式得到由假设及乘法公式得到 利利用用全全概概率率公公式式求求事事件件B的的概概率率，关关键键是是寻寻求求完完备事件组备事件组A1，A2，An; 寻寻求求完完备备事事件件组组A1，A2，An相相当当于于找找导导致致事事件件B发生的所有互不相容的事件发生的所有互不相容的事件2.2 全概率公式全概率公式

14、 有有三三个个罐罐子子,1号号装装有有 2 红红 1 黑黑球球 , 2号号装装有有 3 红红 1 黑黑球球，3号号装装有有 2 红红 2 黑黑球球. 某某人人从从中中随随机机取取一一罐罐，再再 从从 中中 任任 意意 取取 出出 一一 球球 ，求求 取取 得得 红红 球球 的的 概概 率率.解解 记记 Ai = 取到的是取到的是 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 代入数据计算得：代入数据计算得：P( (B) ) 0.639 . 再看引例再看引例 依题意依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4,P(B|A3 )=1/2,P( Ai )=1/3, i

15、=1, 2, 32.2 全概率公式全概率公式【例例1.15】假假设设有有3箱箱同同种种型型号号零零件件，里里面面分分别别装装有有50件件、30件件、40件件，而而且且一一等等品品分分别别有有20件件、12件件和和24件件，现现在在任任取取一一箱箱，从从中中不不放放回回地地先先后后取取出出两两个零件，试求个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率；先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率两次取出的零件均为一等品的概率 解解: 设设Ai =“任取的一箱为第任取的一箱为第i箱零件箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第第j次取到的是一等品次取到的是一等品”，j =

16、 1，2 由题意知由题意知 A1、A2和和A3构成完备事件组，构成完备事件组， 且且2.2 全概率公式全概率公式 (1)由全概率公式得由全概率公式得 2.2 全概率公式全概率公式 (2) 因为因为由全概率公式得由全概率公式得2.2 全概率公式全概率公式引例：引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这是“已知结果求已知结果求原因原因”的问题求的也的问题求的也是一个条件概率是一个条件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式

17、公式2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 2.3 2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式定定理理1.3 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为 ，B为为事事件件，A1，A2，An为完备事件组，且为完备事件组，且P(B) 0，P(Ai) 0，i = 1，2，n，则，则 (1.8) (1.8)式称为式称为贝叶斯公式贝叶斯公式 2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式证明证明该公式用于在观察到事件该公式用于在观察到事件B已发生的条件下，通已发生的条件下，通过计算导致过计算导致B发生的每个原因的概率，来推断可能的发生的每个原因的概率，来推断可能的原因原因.由由条件概率公式条件概率公式、乘法公式乘法公式及及全概率公式全概率公式知：知

18、：2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.再看引例再看引例 解解 记记 i = 取到第取到第 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球取得红球 1,2,3是完备事件组是完备事件组代入数据计算得：代入数据计算得：213其中其中P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4,P(|3 )=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,32.3 贝叶斯公式贝叶斯公式特别有：特别有：设事件设事件A、B为试验为试验E的两事件，由于的两事件，由于A和和是一个完备事件组，若是一个完备事件组，若P

19、(A) 0，P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为，贝叶斯公式的一种常用简单形式为2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例例1.16】玻玻璃璃杯杯成成箱箱出出售售，每每箱箱20只只，假假设设各各箱箱含含0，1，2只只残残次次品品的的概概率率分分别别是是0.8，0.1和和0.1，某某顾顾客客欲欲购购一一箱箱玻玻璃璃杯杯，在在购购买买时时，售售货货员员随随即即取取出出一一箱箱，顾顾客客开开箱箱随随机机地地查查看看四四只只，若若无无残残次次品品，则则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率顾客买下该箱的概率 ； (2) 在在顾顾客客买买下下的的一一

20、箱箱中中，确确实实没没有有残残次次品品的的概率概率 2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 解解：设设B =“顾客买下该箱玻璃杯顾客买下该箱玻璃杯”，Ai =“抽到的一箱中有抽到的一箱中有i件残次品件残次品”，i = 0,1,2 (1) 事事件件B在在下下面面三三种种情情况况下下均均会会发发生生：抽抽到到的的一一箱中没有残次品、有箱中没有残次品、有1件残次品或有件残次品或有2件次品。件次品。显然显然A0，A1，A2是完备事件组是完备事件组由题意知由题意知由全概率公式得由全概率公式得2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 (2) 由贝叶斯公式由贝叶斯公式2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例例1.17】根根据据以以往往

21、的的记记录录，某某种种诊诊断断肝肝炎炎的的试试验验有有如如下下效效果果：对对肝肝炎炎病病人人的的试试验验呈呈阳阳性性的的概概率率为为0.95；非非肝肝炎炎病病人人的的试试验验呈呈阴阴性性的的概概率率为为0.95对对自自然然人人群群进进行行普普查查的的结结果果为为：有有千千分分之之五五的的人人患患有有肝肝炎炎现现有有某某人人做做此此试试验验结结果果为为阳阳性性，问问此此人人确确有有肝肝炎炎的的概概率率为多少？为多少？2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式解解: 设设A =“某人确有肝炎某人确有肝炎”， B =“某人做此试验结果为阳性某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有由已知条件有从而从而由贝叶斯公式，由

22、贝叶斯公式，2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式本题的结果表明，虽然本题的结果表明，虽然 这这两两个个概概率率都都很很高高但但是是，即即试试验验阳阳性性的的人人有有肝肝炎炎的概率只有的概率只有0.087如果不注意这一点，将如果不注意这一点，将和和 搞搞混混，将将会会得得出出错错误误诊诊断断，造造成成不不良良的的后果后果2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式因为因为P(A)=0.005比较小比较小为为什什么么 和和 都都很很高高但但是是，试试验验结结果果呈呈阳阳性性的的人人确确实实患患有有肝肝炎炎的的概概率率却却只只有有0.087这么小呢？这么小呢？ 在在贝贝叶叶斯斯公公式式中中，事事件件Ai的的概概率率P(Ai

23、)，i = 1，2，n，通通常常是是人人们们在在试试验验之之前前对对Ai的的认认知知，习习惯惯上上称称其其为为先先验验概概率率若若试试验验后后事事件件B发发生生了了，在在此信息下考察此信息下考察Ai的概率的概率 它它反反映映了了导导致致B发发生生的的各各种种原原因因的的可可能能性性大大小小，常常称为称为后验概率后验概率2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝贝叶叶斯斯公公式式是是英英国国哲哲学学家家Bayes于于1763首首先先提提出出的的。经经过过多多年年的的发发展展和和完完善善，由由这这一一公公式式的的思思想想已已经经发发展展成成为为一一整整套套统统计计推推断断方方法法，即即“Bayes方方法法”

24、，这这一一方方法法在在数数据据分分析析、模模式式识识别别、数数据据挖挖掘掘、电电子子商商务务、分分子子生生物物学学，医医学学诊诊断断等等很很多多方方面面都都有有应应用用Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式课堂练习课堂练习 有有一一台台用用来来检检验验产产品品质质量量的的仪仪器器，已已知知一一只只次次品品经经检检验验被被认认为为是是次次品品的的概概率率为为0.990.99，而而一一只只正正品品经经检检验验被被认认为为是是

25、次次品品的的概概率率0.0050.005，已已知知产产品品的的次次品品率率为为，若若一一产产品品经经检检验验被被认认为为是是次次品品，求它确为次品的概率求它确为次品的概率解解2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式由贝叶斯公式，所求概率为由贝叶斯公式，所求概率为由题设知由题设知2.3 贝叶斯公式贝叶斯公式 2.42.4事件的独立性事件的独立性1两个事件的独立性两个事件的独立性 我我们们知知道道条条件件概概率率P(B|A)与与无无条条件件概概率率P(B)不不一一定相等，定相等，但是在一些特殊情况下它们相等但是在一些特殊情况下它们相等 例如例如则有则有第第2章章 条件概率与独立性条件概率与独立性 一般地，有下

26、面定义：一般地，有下面定义： 定定义义1.7 设设A，B是是两两个个事事件件，如如果果P(AB)= P(A)P(B)，则称，则称A与与B相互独立相互独立 显显然然，当当P(A)0时时，A与与B相相互互独独立立当当且且仅仅当当P(B|A) = P(B) 显显然然，当当P(B)0时时，A与与B相相互互独独立立当当且且仅仅当当P(A|B) = P(A)2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性请看例子请看例子可见可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不是互不相容的！不是互不相容的！请思考请思考: :两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容二者之间二者之间的关系？的关系？2

27、.4 2.4 事件的独立性事件的独立性可见可见两事件两事件互不相容互不相容但但不独立不独立.再看例子再看例子所以，所以，相互独立相互独立和和互不相容互不相容是两个不同的是两个不同的概念，概念，不要把它们相容相混淆不要把它们相容相混淆2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性事实上：事实上：当当P(A)P(B) 0时时， A与与B独独立立等等价价于于P(B|A)=P(B)且且P(|)= P()，说说明明, B是是否否发发生生互互相相没没有有影影响响。因因此此A与与B独独立立一一定定不不是是互互不不相相容容的的，反反之之A与与B互不相容一定不独立互不相容一定不独立当当A，B之之一一为为时时， P(A

28、B) = P(A)P(B)与与B 同时成立，即独立与互不相容并存同时成立，即独立与互不相容并存两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性【例例1.19】证证明明若若事事件件A与与B相相互互独独立立，则则下下列列各各对对事件也相互独立：事件也相互独立：A与与 ，B与与 ， 与与 证证：因为：因为 所以所以 即即A与与 相互独立相互独立由此可推出由此可推出 与与 相互独立，相互独立，再由再由 又推出又推出B与与 相互独立相互独立2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性 2 2多个事件的独立性多个事件的独立

29、性定义定义1.8 设设A,B,C 为三个事件，如果等式为三个事件，如果等式P(AB ) = P( A )P( B )P(BC ) = P( B )P(C )P(AC ) = P(A)P(C )P(ABC ) = P(A )P(B )P(C )都成立，则称事件都成立，则称事件A，B，C相互独立相互独立另另外外, 仅仅由由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既既不不能能保保证证A、B、C两两相互独立两两相互独立, 更不能保证三事件相互独立更不能保证三事件相互独立 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性【例例1.2

30、01.20】一一个个均均匀匀的的正正四四面面体体， 其其第第一一面面染染成成红红色色，第第二二面面染染成成黄黄色色 ， 第第三三面面染染成成蓝蓝色色，而而第第四四面面同同时时染染上上红红、黄黄、蓝蓝三三种种颜颜色色. .现现以以 A A ，B B，C C 分分别别记记投投一一次次四四面面体体出出现现红红、黄黄、蓝蓝颜颜色色朝朝下下的的事事件，件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面，由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面， 因此因此又由题意知又由题意知伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性故有故有因此因此 A，B，C 不相

31、互独立不相互独立.则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性【例例1.21】设设一一口口袋袋中中有有100个个球球，其其中中有有7个个是是红红的的，25个个是是黄黄的的，24个个是是黄黄蓝蓝两两色色的的，1个个是是红红黄黄蓝蓝三三色色的的，其其余余43个个是是无无色色的的现现从从中中任任取取一一个个球球，以以A、B、C分分别别表表示示取取得得的的球球有有红红色色的的、有有黄色的、有蓝色的事件黄色的、有蓝色的事件2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性 显然显然, 故故P(ABC) = P(A)P(B)P(C)显然又有显然又有 P(AB)

32、 P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C)即即A、B、C不不是是两两两两相相互互独独立立的的更更不不是是相相互互独独立立的的.2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性 定定义义推推广广：如如果果事事件件A1,A2,An（n 2）中中任任意意k（2 k n）个个事事件件积积事事件件的的概概率率都都等等于于各各个个事事件的概率之积，则称件的概率之积，则称A1,A2,An相互独立相互独立；如如果果A1,A2,An中中任任意意两两个个事事件件相相互互独独立立，则则称称A1,A2,An两两独立两两独立 n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互

33、独立2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性两个结论两个结论2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性 在在实实际际应应用用中中，事事件件的的独独立立性性常常常常根根据据事事件件的实际意义去判断的实际意义去判断 一一般般情情况况下下，若若各各事事件件之之间间没没有有关关联联或或关关联联很弱，就可以认为它们是相互独立的很弱，就可以认为它们是相互独立的2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性【例例1.22】设设某某地地区区某某时时间间每每人人的的血血清清中中含含有有肝肝炎炎病病毒毒的的概概率率为为0.4%，混混合合100个个人人的的血血清清，求求血血清清中含有肝炎病毒的概率中含有肝炎病毒的概率 解解

34、：设设Ai =“第第i人人的的血血清清中中含含有有肝肝炎炎病病毒毒”，i = 1, 2, , 100，可可以以认认为为诸诸Ai是是相相互互独独立立的的，从从而而诸诸 也也是是相相互互独独立的，且立的，且 则要求的概率为则要求的概率为2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性【例例1.23】从从1至至9这这9个个数数字字中中，有有放放回回地地取取3个个数数字字，每每次次任任取取1个个，求求所所取取的的3个个数数之之积积能能被被10整整除除的概率的概率 解解法法一一：设设A =“所所取取的的3个个数数之之积积能能被被10整整除除”，A1 =“所所取取的的3个个数数中中含含有有数数字字5”，A2 =“

35、所所取取的的3个数中含有偶数个数中含有偶数”，则则A = A1A2，所以所以考虑到三次取数相互独立考虑到三次取数相互独立2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性所以所以2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性解法二：解法二：设设Ak表表示示“第第k次次取取得得数数字字5”，Bk表表示示“第第k次次取得偶数取得偶数”，k = 1，2，3，则，则A = (A1A2A3) (B1B2B3)，由于由于所以所以2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性由由于于是是有有放放回回的的取取数数，所所以以各各次次抽抽取取结结果果相相互互独独立立，并且并且因此因此2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性 解解【例例

36、1.24】2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性1342问题问题： 在例在例1.24的条件下，求如下系统的可靠的条件下，求如下系统的可靠性，并在所有性，并在所有 的情况下比较两者的大小的情况下比较两者的大小【例例1.25】 如图，如图，1、2、3、4、5表示继电表示继电器触点器触点,假设每个触点闭合的概率为假设每个触点闭合的概率为p,且各继且各继电器接点闭合与否相互独立，求电器接点闭合与否相互独立，求L至至R是通路是通路的概率。的概率。设设A-L至至R为通路为通路,Ai-第第i个继电器通个继电器通,i=1,2,5由全概率公式由全概率公式 【例例1.26

37、】某某一一治治疗疗方方法法对对一一个个病病人人有有效效的的概概率率为为0.9 ，今今对对3个个病病人人进进行行了了治治疗疗，求求对对3个个病病人人的的治治疗疗中中，至至少少有有一一人人是是有有效效的的概概率率.设设对对各各个个病病人人的治疗效果是相互独立的的治疗效果是相互独立的.2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性解法二解法二2.4 2.4 事件的独立性事件的独立性 2.5.1 2.5.1 试验的独立性试验的独立性定定义义1.9 如如果果第第一一次次试试验验的的任任一一结结果果，第第二二次次试试验验的的任任一一结结果果，第第n次次试试验验的的任任一一结结果果都都是是相相互互独独立立的的事事

38、件件，则则称称这这n次次试试验验相相互互独独立立，如如果果这这n次次独独立立试试验验还还是是相相同同的的，则则称称为为n重重独独立立重重复复试试验验，如如果果在在n重重独独立立重重复复试试验验中中，每每次次试试验验的的可可能能结结果果为为两个：两个：A或或 ，则称这种试验为，则称这种试验为n重伯努利试验重伯努利试验 例例如如 掷掷n枚枚硬硬币币，从从一一大大批批产产品品中中抽抽查查n个个产产品品是是否合格等，都是否合格等，都是n重独立重复试验重独立重复试验2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式 在在n重重伯伯努努

39、利利试试验验中中，若若事事件件A在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概率率均均为为P(A) = p，(0 p 0是是一一个个常常数数，n是是任任意意正正整整数数，设设np = （p与与n有有关关），则则对对于于任任一一非非负负整数整数k，有，有 2.2.2 常用离散型分布常用离散型分布 定定理理的的条条件件np = （常常数数）意意味味着着当当n很很大大时时p必必定定很很小小因因此此，当当n很很大大p很很小小，有有下下面面近近似似计计算算公公式式 该该公公式式说说明明，在在计计算算二二项项概概率率公公式式时时，如如果果n很很大大（n10），p很很小小（p0.1）或或者者很很大大（p0.9 ）

40、，可可以以用用参参数数为为 = np的的泊泊松松定定理理中中的的概概率率值值来来做做近近似计算似计算 2.2.2 常用离散型分布常用离散型分布Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSimon Poisson泊松泊松泊松定理于泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！年由法国数学家泊松引入！下面给出一个利用泊松分布作近似计算的例子下面给出一个利用泊松分布作近似计算的例子2.2.2 常用离散型分布常用离散型分布【例例2.8】已已知知某某种种疾疾病病的的发发病

41、病率率为为0.001，某某单单位位共共有有5000人人，问问该该单单位位患患有有这这种种疾疾病病的的人人数数不不超超过过5人的概率为多少？人的概率为多少？ 解解：设设A=“该该单单位位患患有有这这种种疾疾病病的的人人数数不不超超过过5人人”，则所求概率为，则所求概率为取取 = np = 5，用泊松分布近似计算并查附表，用泊松分布近似计算并查附表1得得2.2.2 常用离散型分布常用离散型分布 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产配备少了又要影响生产),现有同现有同类型设备类型设备30

42、0台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概发生故障的概率都是率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工问至少需配备多少工人人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?2.2.2 常用离散型分布常用离散型分布课堂练习课堂练习由泊松定理得由泊松定理得故有故有个工人个工人, 才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备82

43、.2.2 常用离散型分布常用离散型分布所需解决的问题是确定所需解决的问题是确定使得使得解解:【补补充充例例】 甲甲、乙乙、丙丙三三人人同同时时对对飞飞机机进进行行射射击击, 三三人人击击中中的的概概率率分分别别为为 0.4, 0.5, 0.7, 飞飞机机被被一一人人击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为0.2 ,被被两两人人击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为 0.6 , 若若三三人人都都击击中中飞飞机机必必定定被被击击落落, 求求飞飞机机被被击落（记为击落（记为H）的概率）的概率.解解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 2.5 重复独立试验、二项

44、概率公式重复独立试验、二项概率公式2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式因而因而2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式解解“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;【补充例补充例】2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式“甲甲乙乙甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲甲甲”, “甲甲甲甲乙乙甲甲”;2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式2.5 重复独立试验、二项概率公式重复独立试验、二项概率公式 2.6 Excel数据分析功能简介数据分析功能简介 Excel是是微微软软公公司司Office套套件件中中的的一一款

45、款办办公公软软件件，其其超超强强的的电电子子表表格格功功能能使使其其成成为为最最受受大大众众喜喜欢欢的的软软件件之之一一，同同时时其其具具有有的的数数据据分分析析功功能能已已经经越越来来越受到人们关注越受到人们关注 Excel除除了了可可以以执执行行简简单单的的加加、减减、乘乘、除除等等算算术术运运算算外外，还还能能进进行行较较为为复复杂杂的的函函数数运运算算，为为各各种种统统计计数数据据制制作作图图表表其其种种类类繁繁多多的的统统计计计计算算函函数数以以及及附附带带的的数数据据分分析析工工具具可可以以为为数数理理统统计计带带来来极极大大的便利的便利第第2章章 条件概率与独立性条件概率与独立性

46、2.6.1 2.6.1 统计函数简介统计函数简介 Excel的的超超强强计计算算功功能能源源自自其其拥拥有有的的庞庞大大函函数数库，其中常用的数学与统计函数见表库，其中常用的数学与统计函数见表1-2(略略)表表1-2只只给给出出函函数数的的功功能能简简介介，函函数数格格式式、参参数数的含义及具体用法可在的含义及具体用法可在Excel的帮助中看到的帮助中看到【实验实验1-1】用用Excel计算例计算例1-7中的概率中的概率即求即求和和 实验准备：实验准备： (1) 函数函数FACT的使用格式：的使用格式：FACT(number) 功功能能：返返回回数数number的的阶阶乘乘，如如果果输输入入的

47、的number不是整数，则截尾取整不是整数，则截尾取整2.6.1 统计函数简介统计函数简介(2) 函数函数POWER的使用格式：的使用格式：POWER(number, power) 功功能能：返返回回给给定定数数字字的的乘乘幂幂其其中中number为为底底数，数，power为指数为指数2.6.1 统计函数简介统计函数简介 (3) 函数函数COMBIN的使用格式：的使用格式：COMBIN(number, number_chosen) 功能：返回从给定数目的对象集合中提取若干对功能：返回从给定数目的对象集合中提取若干对象象 的的 组组 合合 数数 number为为 对对 象象 的的 总总 数数 量

48、量 ，number_chosen为每一组合中对象的数量为每一组合中对象的数量2.6.1 统计函数简介统计函数简介实验步骤实验步骤： 1) 在在单单元元格格B1中中计计算算输输入入公公式式：=FACT(10)/FACT(3)/POWER(10,7) 2) 在单元格在单元格B2中计算输入公式：中计算输入公式：=POWER(8,7)/POWER(10,7) 3) 在单元格在单元格B3中计算输入公式：中计算输入公式：=COMBIN(7,2)*POWER(9,5)/POWER(10,7)结果：结果：2.6.1 统计函数简介统计函数简介2.6.2 2.6.2 数据分析工具简介数据分析工具简介 Micros

49、oft Excel提提供供了了一一组组数数据据分分析析工工具具，称称为为“分分析析工工具具库库”，在在建建立立复复杂杂统统计计或或工工程程分分析析时时可可节节省省步步骤骤只只需需为为每每一一个个分分析析工工具具提提供供必必要要的的数数据据和和参参数数，该该工工具具就就会会使使用用适适当当的的统统计计或或工工程程宏宏函函数数，在在输输出出表表格格中中显显示示相相应应的的结结果果其其中中有有些些工工具具在生成输出表格时还能同时生成图表在生成输出表格时还能同时生成图表表表1-3 给出了给出了“分析工具库分析工具库”中包括的常用工具中包括的常用工具(略略)若若要要使使用用这这些些工工具具，可可以以选选择择“工工具具”菜菜单单中中的的“数数据据分分析析”如如果果没没有有显显示示“数数据据分分析析”命命令令，则需要加载则需要加载“分析工具库分析工具库”加载此项程序加载此项程序2.6.2 数据分析工具简介数据分析工具简介