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1、名师精编优秀资料多元积分知识点小结与定积分、重积分类似，曲线积分及曲面积分也都是某种和式的极限, 并且有类似的性质，他们都是从实际问题中抽象出来而产生的数学概念. 由于他们的实际背景有差异，故曲线积分及曲面积分各分成两类：曲线积分分为对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）和对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）；曲面积分分为对面积的曲面积分（第一类曲面积分）和对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）. 需要特别指出的是，对于定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分， 这五种类型的积分的定义、性质、中值定理及物理应用都是类似的，可以把它们的定义、性质、中值定理及物理应用统一起来. 首先约定，
2、集合E的测度的含义是：如果集合E是实轴上的区间，则E的测度即为该区间的长度；如果集合E是平面上的区域，则E的测度即为该区域的面积；如果集合E是空间立体，则E的测度即为该立体的体积；等等. 1. 定 义 ： 设 函 数()fP在 集 合E上 有 定 义 ， 以 任 意 方 式 把 集 合E分 成n部 分12,nE EE， 它们的测度分别记为12,nEEE. 在iE上任取一点(1,2, )iP in，作和式1()niiif PE， 记1m a xiinE的直径. 如果不论集合E如何分法，也不论iP在iE上如何取法，极限01lim()niiif PE都存在并且是唯一的，则称函数()f P在集合E上可
3、积分，并称该极限值为函数()f P在集合E上的积分，记为()Ef P dE，即01()lim()niiEif P dEf PE. 例如，如果E是实轴上的区间 , a b，( )( )f Pf x为一元函数，则上述积分即是定积分( )baf x dx；如果E是平面上的区域D，( )( , )f Pf x y为二元函数，则上述积分即是二重积分( , )Df x y d；如果E是空间曲面，()( , , )f Pf x y z为三元函数，则上述积分即是第一类曲面积分( , , )f x y z dS；等等 . 2. 性质： 上述五种类型的积分的性质是相通的，只要在定积分的各条性质中把( )baf x
4、 dx换成()Ef P dE，则定积分的各条性质就成为二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的共性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编优秀资料例如，（1）k为常数，则()()EEkf P dEkf P dE；（2）()()Ef Pg PdE()Ef P dE()Eg P dE；（3）EdE集合E的测度；（4）如果12EEE，且12EE，则12()()()EEEf P dEf P dEf P dE；3. 中值定理： 设函数()fP在集合E上连续，则在E上至少存在一点P，使得()()Ef P dE
5、f P集合E的测度 . 例如，如果P是实轴上的区间 , a b，( )( )f Pf x为一元函数，则( )baf x dx( )()fba， , a b；如果P是平面上的区域D，()( ,)f Pf x y为二元函数，则( , )( , )Df x y df区域D的面积，( , )D；等等 . 由于考研大纲规定中值定理的考试范围只有定积分和二重积分，所以三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的中值定理不需要掌握. 4. 物理应用： 第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的功，第二类曲面积分的物理意义是流体沿曲面指定侧的流量. 除此之外，二重积分，三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分
6、在物理上的应用主要分为三个方面，分别是转动惯量 （惯性矩）、质心和引力 .因为这些物理应用都是类似的，所以我们对每个物理应用仅对上述四个积分中的部分积分作介绍 . （1）转动惯量：设质点P的质量为m，质点P绕直线L转动时，转动半径为r，则转动惯量（此处不考虑转动惯量的方向）为2Imr. 设集合E的密度为()P，在E上任取微元dE，则dE的质量为()P dE.如果dE绕直线L转动的转动半径为r，则dE绕直线L转动的转动惯量为2( , )dIrx y dE，从而E绕直线L转动的转动惯量为2( , )EIrx y dE. 如果E是平面区域D，密度为( ,)x y，相应的dEd，( , )x yd，D
7、绕x轴、y轴和原点的转动惯量分别为22( , ),( , )xyDDIyx y dIxx y d，22() ( , )ODIxyx y d. 如果E是空间区域，密度为( , , )x y z，相应的dEdv，( , , )x y zdv，绕x轴、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编优秀资料y轴，z轴和原点的转动惯量分别为22() ( , , ),xIyzx y z dv22() ( , , ),yIxzx y z dv22() ( , , ),zIxyx y z dv222() ( , , )OIxyzx y
8、z dv. 如果E是平面曲线L，密度为( ,)x y，相应的dEds，( ,)x yds，L绕x轴、y轴和原点的转动惯量分别为22( , ),( , )xyLLIyx y dsIxx y ds，22() ( ,)OLIxyx y ds. 当E是空间曲线时，绕x轴、y轴，z轴和原点的转动惯量与上述类似. 如果E是空间曲面，密度为( , , )x y z，相应的dEdS，( , , )x y zdS，绕x轴、y轴，z轴和原点的转动惯量分别为22()( , , ),xIyzx y z dS22() ( , , ),yIxzx y z dS22()( , , )zIxyx y z dS222() (
9、, , )OIxyzx y z dS. （ 2） 质 心 ： 设 质 点 系12,nP PP位 于 某 坐 标 系 中 相 应 于u轴 的 坐 标 分 别 为12,nu uu，质量分别为12,nm mm则该质点系的质心相应于u轴的坐标为112212nnnmum um uummm. 设集合E的密度为()P，在E上任取微元dE，dE相应的坐标为u，dE的质量为()P dE，集合E的总质量为()EP dE，则集合E的质心相应于u轴的坐标为( )( )EEuP dEuP dE. 如果E是平面区域D， 密度为( ,)x y， 相应的dEd， 则D的质心相应于x轴和y轴的坐标分别为精选学习资料 - - -
10、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编优秀资料( , )( , ),( , )( , )DDDDxx y dyx y dxyx y dx y d. 特别地，当( , )x y常数时，上式成为,DDDDxdydxydd，此即平面区域D的形心坐标 . 如果E是空间区域，密度为( , , )x y z，相应的dEdv，则的质心相应于x轴，y轴和z轴的坐标分别为( , , )( , , )( , , ),.( , , )( , )( , , )xx y z dvyx y z dvzx y z dvxyzx y z dvx y z dvx y z
11、 dv如果E是平面曲线L，密度为( , )x y，相应的dEds，则L的质心相应于x轴和y轴的坐标分别为( , )( , ),( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds. 当E是空间曲线时时，的质心相应于x轴、y轴，z轴的坐标与上述类似. 如果E是空间曲面，密度为( , , )x y z，相应的dEdS，则的质心相应于x轴，y轴和z轴的坐标分别为( , , )( , , )( , , ),.( , )( , , )( , , )xx y z dSyx y z dSzx y z dSxyzx y z dSx y z dSx y z dS（3）引力：万有引
12、力定律设有两个质点,p P，其质量分别为,m M，p与P的距离为r，则p与P之间的引力大小为2,kmMFr其中k是引力常数 . 设质点0P位于某坐标系中u轴的坐标为0u，其质量为M. 设集合E的密度为( )P，在E上任取微元dE，dE相应的坐标为u，dE的质量为()P dE，dE与0P的距离为r，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编优秀资料则dE与0P之间的引力为2( )kMP dEr，其中k是引力常数，该引力在u轴上的分力为02()uukMP dErr，从而集合E与0P之间引力在u轴上的分力大小为03() (
13、).uEkM uuP dEFr如果质点0P位于xOy平面内，其坐标为00(,)xy， 而E是平面区域D， 密度为( ,)x y，相应的dEd，( , )x yd，则D与0P之间的引力在x轴和y轴上的分力分别为00223/2223/20000() ( , )() ( ,),()() ()() xyDDkM xxx ykM yyx yFdFdxxyyxxyy. 如果质点0P位于空间直角坐标系内，其坐标为000(,)xyz，而E是空间曲面，密度为( , , )x y z，相应的dEdS，( , , )x y zdS，则与0P之间的引力在x轴、y轴和z轴上的分力分别为02223/2000() ( , , ),()()() xkM xxx y zFdSxxyyzz02223/2000()( , , ),()()() ykMyyx y zFdSxxyyzz02223/2000()( , , ).()()() zkM zzx y zFdSxxyyzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
