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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修4 4 42 2判断下列各题正确与否：判断下列各题正确与否： 问题情境问题情境【复习提问复习提问】 1.1.（1）两个非零向量夹角的概念；）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积的定义；）平面向量数量积的定义；（3）“投影投影”的概念；的概念；（4）向量数量积的几何意义；）向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质）两个向量的数量积的性质若若 ，则对任一向量，则对任一向量 , ( ), ( )若若 ，则对任一向量，则对任一向量 , ( ), ( )若若 , ，则，则 ( )( )若若 ，则，则 至少有一个为
2、零向量；至少有一个为零向量； ( )( ) 若若 ，则，则 当且仅当当且仅当 时成立；时成立； ( )( ) 对任意向量对任意向量 ，有，有 ( )( ) 是否成立？是否成立？ 【提出问题提出问题】已知实数已知实数 、 、 ( )，则，则= = =学生活动学生活动【提出问题提出问题】实数的运算律有实数的运算律有ab= =ba；a( (b+ +c)=)=ab+ +ac；( (ab) )c= =a( (bc) )在向量的数量积中是否成立？在向量的数量积中是否成立？( (举例说明举例说明) ) 建构数学建构数学 数量积的运算律数量积的运算律 （1 1）交换律：）交换律：（2 2）数乘结合律：）数乘结
3、合律：（3 3）分配律：）分配律：【说明说明】 （1 1）一般地，）一般地，（2 2）（3 3）有如下常用性质）有如下常用性质 例例1 1 已知已知 都是非零向量，且都是非零向量，且 与与 垂直，垂直， 与与 垂直，求垂直，求 与与 的夹角的夹角 【例题讲解例题讲解】例例2 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 变式变式1 1：用向量方法证明：菱形对角线互相垂直：用向量方法证明：菱形对角线互相垂直 是是变式变式2. 2. 如图，如图，的三条高，的三条高， 求证：求证：相交于一点相交于一点 ABCDEFH变式变式3 3：用向量证
4、明三角形的三条角平分线相交于一点：用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点 =2=2与与是两个单位向量，其夹角为是两个单位向量，其夹角为，求向量，求向量，则，则| |=2,|=2,|- -（1 1）巩固深化，反馈矫正巩固深化，反馈矫正1.1.已知已知| |=1,|=1,|=|=， 与与垂直，则垂直，则的夹角是的夹角是_； （2 2）若）若； （3 3）若）若、 的夹角为的夹角为+ +|； 2.2.已知已知| |=1|=1， 与与之间的夹角为之间的夹角为，那么向量，那么向量-4-4的模为的模为_；-4-4| | |- -| | |3.3.设设、=2=2+ +-3-3的夹角；的夹角；4.4.对于两个非零向量对于两个非零向量（1 1）求使）求使| | |最小时的值，并求此时最小时的值，并求此时 与与的夹角；的夹角； （2）当）当的模取最小值时，的模取最小值时， 求求的值；的值；求证：求证：与与垂直垂直回顾反思回顾反思 通通过过本本节节学学习习，要要求求大大家家掌掌握握平平面面向向量量数数量量积积的的运运算算规规律律，掌掌握握两两个个向向量量共共线线、垂垂直直的的几几何何判判断断，能能利利用用数数量量积积的的重重要要性性质质解决相关问题解决相关问题. .
