2022年文科数学主干知识与基础知识归类

《2022年文科数学主干知识与基础知识归类》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年文科数学主干知识与基础知识归类（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思文科数学主干知识与基础知识归类一. 集合与简易逻辑集合表示集合中的关系集合运算，命题形式四种命题关系充分、必要条件1. 注意区分集合中元素的形式. 如：|lg x yx 函数的定义域；|lg y yx函数的值域。2. 集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集, 记为 AA . 空集是任何集合的子集, 记为A . 空集是任何非空集合的真子集；注意: 条件为 AB ,在讨论的时候不要遗忘了A的情况，如：012|2xaxxA, 如果AR, 求a的取值 .( 答：0a) ()UUUCABC AC B,()UUUCABC AC B；ABCABC（）（）；ABCABC

2、（）（）. ABAABBUUABC BC AUAC BUC ABR. AB元素的个数：()()card ABcardAcardBcard AB. 含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集 ( 非空子集 ) 个数为 21n；非空真子集个数为22n. 3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如： 已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间 1 , 1上至少存在一个实数c, 使0)(cf, 求实数p的取值范围 .( 答：32( 3, ) 4. 原命题 : pq；逆命题: qp；否命题: pq；逆否命题: qp；互为逆否的两个命题是等价的. 如： “sinsin”是“”的条件

3、 .( 答：充分非必要条件) 5. 若 pq 且 qp , 则p是q的充分非必要条件( 或q是p的必要非充分条件). 6. 注意命题pq的 否定形式 与它的 否命题 的区别 : 命题 pq 的否定形式是 pq ；否命题 是pq. 命题 “p或q”的否定是 “p且q” ； “p且q”的否定是“p或q”. 如： “若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数 ,则ba是奇数”否定是“若a和b都是偶数 , 则ba是奇数” . 7. 常见结论的否定形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页读书之法 ,在循序而

4、渐进 ,熟读而精思二. 函数函数概念函数图象函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）特殊函数图象与性质应用（内部应用、应用题）1. 映射f:AB是：“一对一或多对一”的对应；集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象( 即象集B ). 一一映射f:AB： “一对一” 的对应； A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象. 2. 函数f: AB 是特殊的映射. 特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点, 但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3. 函数的三要素： 定义域 , 值域 ,

5、对应法则 . 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则 . 4. 求定义域 : 使函数解析式有意义( 如: 分母0; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0, 底数0且1；零指数幂的底数0) ；实际问题有意义；若( )f x定义域为 , a b, 复合函数 ( )f g x定义域由( )ag xb解出；若( )f g x定义域为 , a b,则( )f x定义域相当于 , xa b时( )g x的值域 . 5. 求值域常用方法: 配方法 ( 二次函数类 ) ；逆求法 ( 反函数法 ) ；换元法( 特别注意新元的范围). 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域；不等式法

6、； 单调性法； 数形结合： 根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）：导数法 ( 一般适用于高次多项式函数 ). 6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法( 已知所求函数的类型)； 代换 ( 配凑) 法；方程的思想 -对已知等式进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个 也 没有都是不都是至多有一个至少 有 两个大于不大于至少有n个至多有1n个小于不小于至多有n个至少有1n个对 所 有x, 成立存 在 某x, 不成立p或qp且q对 任 何x, 不成立存 在 某x, 成立p且qp或q精选学习资料 - - - - -

7、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若( )f x是偶函数 , 那么( )()(|)f xfxfx；定义域含零的奇函数必过原点(0)0f) ； 判 断 函 数 奇 偶 性 可 用 定 义 的 等 价 形 式 ：( )()0f xfx或()( )1( ( )0)fxf xf x；注意： 若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个( 如( )0f x定义域关于原点对称即可).

8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题 )等. 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如： 函数122log (2 )yxx的单调递增区间是_ .( 答：(1,2) 8. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对x而言） ；上 下 平 移 -“ 上 加 下 减 ” ( 注 意 是 针 对( )f x而 言 ). 翻 折 变 换 ：( )|( )|f xf x；( )(|)f xfx. 对称变换：证明函数图像的对称性, 即证图像上任意点关

9、于对称中心( 轴) 的对称点仍在图像上. 证明图像1C与2C的对称性 , 即证1C上任意点关于对称中心( 轴 ) 的对称点仍在2C上 , 反之亦然 . 函数( )yf x与()yfx的图像关于直线0x(y轴 ) 对称；函数( )yf x与函数()yfx的图像关于直线0y(x轴) 对称；若函数( )yf x对 xR 时，()()f axf ax或( )(2)f xfax恒成立 , 则( )yf x图像关于直线xa对称；若( )yfx对xR时 ,()()f axf bx恒成立 , 则( )yf x图像关于直线2abx对称； 函 数()yf ax,()yf bx的 图 像 关 于 直 线2bax对

10、称 ( 由axbx 确定 ) ； 函 数( )yf x,( )yAf x的 图 像 关 于 直 线2Ay对 称 ( 由( )( )2f xAf xy确定 ) ； 函 数( )yfx与()yfx的 图 像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ； 函 数( )yf x,()ynf mx的图像关于点22(, )m n对称；函数( )yf x与函数1( )yfx的图像关于直线yx对称；曲线1C：( , )0f x y, 关于yxa （ 或 yxa） 的 对 称 曲 线2C的 方 程 为(,)0f ya xa( 或(,)0fyaxa；曲线1C：( , )0f x y关于点( , )a b的对称曲线2C方

11、程为：(2,2)0faxby. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思9. 函数的周期性： 若( )yf x对xR时()()f xaf xa恒成立 , 则( )f x的周期 为2| | a；若( )yf x是偶函数 , 其图像又关于直线xa对称 , 则( )f x的周期为2|a；若( )yf x奇函数 , 其图像又关于直线xa对称 , 则( )f x的周期为4|a；若( )yf x关于点( ,0)a,( ,0)b对称 , 则( )f x的周期为2|ab；( )yf x的图象关于直线

12、xa,()xb ab对称 , 则函数( )yf x的周期为2|ab；( )yf x对 xR 时,()( )f xaf x或1( )()f xf xa, 则( )yf x的周期为2|a；10. 对 数 ： l o gl o gnnaabb(0 ,1,0 ,aabnR； 对 数 恒 等 式log(0,1,0)aNaN aaN；log ()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNMNMNMNMnM；1loglognaaMnM；对数换底公式logloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb；推论：121123logloglog1loglogloglognabcaaan

13、anbcaaaaa. (以上120,0,0,1,0,1,0,1,0nMNaabbcca aa且12,na aa均不等于1) 11. 方 程( )kf x有 解kD (D为( )f x的 值 域 ) ；( )af x恒 成 立( )af x最大值, ( )af x恒成立( )af x最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：分离参数法( 最值法 ) ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：2( )(0)f xaxbxc

14、 a；顶点式：2( )()(0)f xa xhk a； 零点式：12( )()()(0)f xa xxxxa. 15. 一元二次方程实根分布: 先画图再研究0 、轴与区间关系、 区间端点函数值符号 ; 16. 复合函数：复合函数定义域求法：若( )f x的定义域为 , a b, 其复合函数( )f g x的定义域可由不等式( )ag xb 解出；若( )f g x的定义域为 , a b, 求( )f x的定义域， 相当于 , xa b时, 求( )g x的值域； 复合函数的单调性由“同增异减”判定 . 17. 对于反函数 , 应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是

15、奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；( )yf x与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1( )yfx互为反函数,设( )f x的定义域为A,值域为B,则有1() ()ffxxxB,1( )()ff xx xA. 18. 依据单调性, 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：( )( )( )0f ug x uh x( 或0 )()aub( )0( )0f af b( 或( )0

16、( )0f af b) ；19. 函 数(0,)a xbcxdycadbc的 图 像 是 双 曲 线 ： 两 渐 近 线 分 别 直 线dcx( 由分母为零确定) 和直线acy( 由分子、分母中x的系数确定 ) ；对称中心是点(,)dacc；反函数为bdxcxay；20. 函 数(0,0)bxyaxab： 增 区 间 为(,)bbaa, 减 区 间 为,0),(0bbaa. 如：已知函数12( )axxf x在区间( 2,)上为增函数 , 则实数a的取值范围是_ ( 答：12( ,). 三. 数列数列概念数列通项、前n项和特殊数列的通项、前n项和及性质应用（内部应用、应用题）1. 由nS求na

17、,1*1(1)(2,)nnnS naSSnnN注意验证1a是否包含在后面na的公式中 , 若不符合要单独列出. 如：数列na满足111534,nnnaSSa，求na( 答：14(1)3 4(2)nnnan). 2. 等差数列1nnnaaad(d为常数 )112(2,*)nnnaaannN21122(,)(,)nnddaanb ad badSAnBn ABa；3. 等差数列的性质：()nmaanm d,mnaamnd；mnlkmnlkaaaa( 反之不一定成立) ；特别 地 , 当2mnp时 , 有2mnpaaa；若na、nb是等差数列 , 则nnkatb( k 、t是非零常数 ) 是等差数列；

18、 等 差 数 列 的 “ 间 隔 相 等 的 连 续 等 长 片 断 和 序 列 ” 即232,mmmmmSSSSS仍是等差数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思等差数列na, 当项数为2n时,SSnd偶奇,1nnSaSa奇偶；项数为 21n时 , (*)nSSaanN偶中奇,21(21)nnSna,且1SnSn奇偶；( )(21)nnnnAaBbf nfn. 首项为正 ( 或为负 ) 的递减 ( 或递增 ) 的等差数列前n 项和的最大 ( 或最小 ) 问题 ,转化为解不等式

19、100nnaa( 或100nnaa). 也可用2nSAnBn的二次函数关系来分析. 若,()nmam an mn, 则0m na； 若,()nmSm Sn mn,则()mnSmn；若()mnSS mn, 则 Sm+n=0； S3m=3(S2m Sm) ；m nmnSSSmnd. 4. 等比数列121111(0)(2,*)nnnnnnnnaaaq qaaannNaa q. 5. 等比数列的性质n mnmaa q,nnmmaqa；若na、nb是等比数列，则nka、nna b等也是等比数列；111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnnnqqaaaaaqqqqnaqnaqSqqq；mnmn

20、lkaaaa( 反之不一定成立) ；mnmnmnnmSSq SSq S. 等比数列中232,mmmmmSSSSS( 注：各项均不为0) 仍是等比数列. 等比数列na当项数为 2n 时 ,SSq偶奇；项数为 21n时,1SaSq奇偶. 6. 如果数列na是等差数列 , 则数列naA(naA总有意义 ) 是等比数列；如果数列na是等比数列 , 则数列log|(0,1)anaaa是等差数列；若na既是等差数列又是等比数列, 则na是非零常数数列；如果两个等差数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公

21、共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列, 由特殊到一般的方法探求其通项； 三 个 数 成 等 差 的 设 法 ：, ,ad a ad ； 四 个 数 成 等 差 的 设 法 ：3,3adadadad；三个数成等比的设法：, ,aqa aq；四个数成等比的错误设法：33,aaqqaq aq( 为什么？ ) 7. 数列的通项的求法：公式法： 等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知nS( 即12( )naaaf n) 求na用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20

22、 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思已知12( )naaaf n求na用作商法：( )(1)(1),(1),(2)nf nf nfnan.若1( )nnaaf n求na用迭加法 . 已知1( )nnaaf n, 求na用迭乘法 . 已 知 数 列 递 推 式 求na, 用 构 造 法 ( 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ) ： 形 如1nnakab,1nnnakab,1nnakaa nb(,k b为常数 ) 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后, 再求na. 形如11nnnakaba的递推数列都可以用“取倒数法”求通项 . 8. 数列求和的方法：公式法：等差数列

23、, 等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法. 公式：12123(1)nn n；222216123(1)(21)nn nn；33332(1)2123n nn；2135nn；常见裂项公式111(1)1n nnn；1111()()n nkknnk；1111(1)(1)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn。 常 见 放 缩 公 式 ：21211112()2()nnnnnnnnn. 9. “分期付款” 、 “森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题. 但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”. 对于“森林木材”既增长又

24、砍伐的问题, 则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄( 单利 ) 本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为：(1)2(1)(12 )(1)()nn nSprprpnrp nr(等差数列问题） ； 复利问题： 按揭贷款的分期等额还款( 复利 )模型：若贷款 ( 向银行借款 )p元,采用分期等额还款方式, 从借款日算起, 一期 ( 如一年 ) 后为第一次还款日, 如此下去 , 分n期还清. 如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：12(1)(1)(1)(1)nnnprxrxrxrx( 等比数列问题). 四. 三角函数1.终

25、 边 与终 边 相 同2()kkZ；终 边 与终 边 共 线()kkZ；终边与终边关于x轴对称()kkZ；终边与终边关于y轴对称2()kkZ；终边与终边关于原点对称2()kkZ；终 边 与终 边 关 于 角终 边 对 称22()kkZ. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思12200111sincos12200111sincos2. 弧长公式：|lr；扇形面积公式：21122|Slrr扇形；1弧度 ( 1rad ) 57.3 . 3. 三角函数符号 ( “正号” ) 规律记忆口诀

26、： “一全二正弦 , 三切四余弦”.注意：3tan15cot752；3tan75cot152；4. 三角函数同角关系中( 八块图 ) ：注意“正、余弦三兄妹sincosxx、 sincosxx ”的关系 . 如2(sincos )12sincosxxxx等. 5. 对于诱导公式 , 可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；( 注意：公式中始终视 为锐角)6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如 ：()；2()()；2()()；22；222()()等；“1”的变换：221sincostancot2sin30tan45xxxx；7. 重要结论：2

27、2sincossin()abaxbxx其中tanba） ；重要公式22cos1sin2；2cos1cos22；sin1cos21cossintan；21sin2222(cossin)|cossin|. 万能公式：22 tan1tansin 2；221tan1tancos2；22 tan1tantan2. 8. 正 弦 型 曲 线sin()yAx的 对 称 轴2()kxkZ； 对 称 中 心(,0)()kkZ；余 弦 型 曲 线cos()yAx的 对 称 轴()kxkZ； 对 称 中 心2(,0)()kkZ；9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘

28、三内角和等于180 , 一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sinsinsin2abcABCR；余弦定理：22222222()222cos ,cos1bcabcabcbcabcbcAA；正弦平方差公式：22sinsinsin()sin()ABABAB；三角形的内切圆半径2ABCSabcr；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思面积公式：124sinabcRSabC；射影定理：coscosabCcB . 10.ABC 中, 易得： ABC, sinsin()ABC,coscos

29、()ABC,tantan()ABC. 22sincosABC,22cossinABC,22tancotABC. sinsinabABAB锐角ABC 中 ,2AB, sincos,coscosABAB ,222abc, 类比得钝角ABC 结论 . tantantantantantanABCABC . 11. 角的范围：异面直线所成角2(0,；直线与平面所成角20,；二面角和两向量的夹角0,；直线的倾斜角0,)；1l到2l的角0,)；1l与2l的夹角2(0,.注意术语 : 坡度、仰角、俯角、方位角等. 五. 平面向量向量概念向量的表示向量运算及其几何意义应用：作为工具，解决几何问题、三角问题等，关

30、键是“线段向量化”1.设11(,)axy,22(,)bxy. (1)1221/0abx yx y；(2)121200aba bx xy y. 2. 平面向量基本定理：如果1e和2e是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量a, 有且只有一对实数1、2, 使1122aee. 3. 设11(,)axy,22(,)bxy, 则1212| |cosa babx xy y；其几何意义是a b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；a在b的方向上的投影12122222|cos|x xy ya babxy. 4. 三点A、B、 C 共线AB与AC共线；与AB共线的单位向量|ABAB. 5.

31、平面向量数量积性质：设11(,)ax y,22(,)bxy,则121222221122cos| |x xy ya ba bxyxy；注意 :,a b为锐角0a b,a b不同向；,a b为直角0a b；,a b为钝角0a b,a b不反向 . 6.a b同向或有0| |abababab；a b反向或有0| |abababab；a b不共线| |ababab. 7. 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ： 若11(,)axy,22(,)bxy, 则1212a bx xy y；221212|()()ABxxyy；若( , )ax y, 则222aa axy. 精选学习资料 - - -

32、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思8. 熟记平移公式和定比分点公式. 当点P在线段21PP上时 ,0；当点P在线段21PP( 或12PP) 延长线上时,1或10 . 分点坐标公式：若12PPPP；且111(,)P xy,( , )P x y222(,)Pxy；则121211(1)xxyyxy, 中点坐标公式：121222(1)xxyyxy. 1P,P,2P三点共线存在实数、使得12OPOPOP且1. 9.三角形中向量性 质：ABAC过BC边的中点：|()()ABACABACABACABAC；13()0P

33、GPAPBPCGAGBGCG为ABC 的重心；PA PBPB PCPA PCP为ABC 的垂心；|0BC PACA PBAB PCP为ABC的内心；|()(0)ABACABAC所在直线过ABC 内心 . 设1122(,),(,)A xyB xy, 12AOBABBASx yx y. 222121|sin| |()2ABCSABACAABACAB AC. O 为ABC内一点 , 则0BOCAOCAOBSOASOBSOC. 10.(, )( , )(,)ah kP x yP x y按平移,有xxhyyk(PPa)；(, )( )()ah kyf xykf xh按平移. 六. 不等式不等式的基本性质

34、几个重要不等式不等式的证明几类不等式的解法应用（内部应用、应用题）1. 掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若0ab,ba, 则11ab. 即不等式两边同号时, 不等式两边取倒数, 不等号方向要改变 . 如果对不等式两边同时乘以一个代数式, 要注意它的正负号, 如果正负号未定,要注意分类讨论. 2. 掌握几类不等式( 一元一次、 二次、绝对值不等式、 简单的指数、 对数不等式 )的解法 , 尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法 . 3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,ba,则2222211abababab( 当且仅当ba时取等号

35、 ) 使用条件：“一正二定三相等 ” ， 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2), ,a b cR，222abcabbcca( 当且仅当abc时, 取等号 ) ；(3) 公式注意变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思Ok如：22222()abab,22()abab；(4) 若0,0abm, 则bbmaam( 真分数的性质 ) ；4. 含绝对值不等式：,a b同号或有0| |abababab；,a b异号或有0| |abababab. 5. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：

36、0ABAB . 注意：若两个正数作差比较有困难, 可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因. 基本步骤：要证需证, 只需证；反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：添加或舍去一些项, 如：21|aa；(1)n nn. 将分子或分母放大( 或缩小 ) 利用基本不等式, 如：(1)(1)2nnn n. 利用常用结论：0111121kkkkk；02211111111(1)(1)1kkkkkkkkk(程度大)；0322111111211()kkkk( 程度小 ) ；换元法：换元的目的就是减少不等式中变量, 以使问题化难为易, 化繁

37、为简 ,常用的换元有三角换元、代数换元 . 如：知222xya, 可设cos ,sinxaya；知221xy, 可 设c o sxr,sinyr( 01r) ； 知22221xyab, 可 设co s,si nxayb；已知22221xyab, 可设sec ,tanxayb. 最值法 , 如：( )af x最大值, 则( )af x恒成立 .( )af x最小值, 则( )af x恒成立. 七. 直线和圆的方程直线、圆的方程直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系曲线与方程应用1. 直线的倾斜角的范围是0,）；2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan()k( 如右图 ) ：3. 直线方程五种形

38、式： 点斜式 ：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx, 它不包括垂直于x轴的直线 . 斜截式 ：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k， 则直线方程为ykxb, 它不包括垂直于x轴的直线 . 两点式 ：已知直线经过111(,)P x y、222(,)P xy两点 , 则直线方程为112121yyxxyyxx, 它不包括垂直于坐标轴的直线 . 截距式 ：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b, 则直线方程为1xyab, 它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读

39、而精思不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式 ：任何直线均可写成0AxByC(,A B 不同时为 0) 的形式 . 提醒 ：直线方程的各种形式都有局限性.( 如点斜式不适用于斜率不存在的直线 , 还有截距式呢？) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0 . 直线两截距相等直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 截距不是距离, 截距相等时不要忘了过原点的特殊情形 . 4. 直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系 ：平行12210A BA B( 斜率 ) 且12

40、210B CB C( 在y轴上截距 ) ；相交12210A BA B；(3) 重合12210A BA B且12210B CB C. 5. 直线系方程：过两直线1l：1110A xB yC,2l：2220A xB yC. 交点 的 直 线 系 方 程 可 设 为111222()0A xB yCA xB yC； 与 直 线:0lAxByC平行的直线系方程可设为0()AxBymmc；与直线:0lAxByC垂直的直线系方程可设为0BxAyn. 6. 到角和夹角公式：1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角,(0,)且2112121tan(1)kkk kk k；1l与2l

41、的夹角是指不大于直角的角2,(0,且2112121tan|(1)kkk kk k. 7. 点00(,)P xy到直线0AxByC的距离公式0022AxByCdAB；两条平行线10AxByC与20AxByC的距离是1222CCdAB. 8. 设 三 角 形ABC三 顶 点11(,)A x y,22(,)B xy,33(,)C xy, 则 重 心123123(,)33xxxyyyG；9. 有关对称的一些结论 点( , )a b关 于x轴 、y轴 、 原 点 、 直 线yx的 对 称 点 分 别 是( ,)ab,(, )a b,(,)ab,( , )b a. 曲 线( ,)0fx y关 于 下 列

42、点 和 直 线 对 称 的 曲 线 方 程 为 ： 点( , )a b：(2,2)0faxby；x轴：( ,)0fxy；y轴：(, )0fx y；原点：(,)0fxy；直线yx：( , )0f y x；直线yx：(,)0fyx；直线xa：(2, )0fax y. 10. 圆的标准方程：222()()xaybr. 圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF.特别提醒：只有当2240DEF时, 方程220xyDxEyF才表示圆心为22(,)DE, 半径为22142DEF的圆( 二元二次方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12

43、页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思220AxBxyCyDxEyF表示圆0AC,且220,40BDEAF). 圆的参数方程：cossinxarybr(为参数 ), 其中圆心为( , )a b, 半径为r. 圆的参 数 方 程 主 要 应 用 是 三 角 换 元 ：222c o s,s i nxyrxryr；222cos ,sin (0)xytxryrrt. 以11(,)A xy、22(,)B xy为直径的圆的方程1212()()()()0xxxxyyyy；11. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法( 计算圆心到直线距离). 点00(,)P xy及圆的方程222()()xayb

44、r. 22200()()xaybr点P在圆外；22200()()xaybr点P在圆内；22200()()xaybr点P在圆上 . 12. 圆上一点的切线方程：点00(,)P xy在圆222xyr上,则过点P的切线方程为：200x xy yr；过圆22()()xaybr上一点00(,)P xy切线方程为200()()()()xaxaybybr. 13. 过圆外一点作圆的切线, 一定有两条 , 如果只求出了一条, 那么另外一条就是与x轴垂直的直线. 14. 直线与圆的位置关系, 通常转化为圆心距与半径的关系, 或者利用垂径定理,构 造 直 角 三 角 形 解 决 弦 长 问 题 . dr相 离 d

45、r相 切dr相交15. 圆与圆的位置关系, 经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系. 设两圆的圆心距为d , 两圆的半径分别为, r R ：dRr两圆相离； dRr两圆 相 外 切 ；|RrdRr两 圆 相 交 ；|dRr两 圆 相 内 切 ；|dRr两圆内含；0d两圆同心 . 16. 过圆1C：221110xyD xE yF,2C：222220xyD xE yF交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0xyD xE yFxyD xE yF.1时为两圆相交弦所在直线方程. 17. 解决直线与圆的关系问题时, 要充分发挥圆的平面几何性质的作用( 如半径、半弦长、弦心距构成直角

46、三角形, 切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 18. 求解线性规划问题的步骤是：(1) 根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域 , 写出目标函数( 判断几何意义) ；(3) 确定目标函数的最优位置, 从而获得最优解 . 八. 圆锥曲线方程1. 椭圆焦半径公式：设00(,)P xy为椭圆22221(0)xyabab上任一点 , 焦点为1(,0)Fc,2( ,0)Fc, 则1020,PFaexPFaex( “左加右减”) ；2. 双曲线焦半径：设00(,)P xy为双曲线22221(0,0)xyabab上任一点 , 焦点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

47、结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思为1(,0)Fc,2( ,0)Fc, 则：当P点在右支上时,1020|,|PFaexPFaex；当P点在左支上时 ,10|PFaex,20|PFaex； (e为 离 心 率 ).另 ： 双 曲 线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为22220xyab. 3. 抛物线焦半径公式：设00(,)P xy为抛物线22(0)ypx p上任意一点 ,F为焦点 , 则02|pPFx；22(0)ypx p上任意一点 ,F为焦点，则02|pPFx. 4. 共渐近线bayx的双曲线标准方程为2222xyab(为

48、参数 ,0 ). 5. 两个常见的曲线系方程：过曲线1( , )0fx y,2( , )0fx y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为 参 数 ). 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程22221xyakbk, 其中22max,kab.当22min,kab时,表示椭圆；当2222min,max,abkab时, 表示双曲线 . 6. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式221212()()ABxxyy或2121|ABkxx2212112221(1)()41|kxxx xyyk( 弦端点1122(,),(,)A xyB xy, 由方程

49、( , )0ykxcbF x y消去y得到02cbxax,0,k为斜率 ). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；7. 椭圆、双曲线的通径( 最短弦 ) 为22ba, 焦准距为2bcp, 抛物线的通径为2p,焦准距为p；双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到渐近线的距离为b；8. 中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆, 双曲线方程可设为221AxBy( 对于椭圆0,0AB) ；9. 抛 物 线22(0)ypx p的 焦 点 弦 （ 过 焦 点 的 弦 ） 为AB,11(,)A xy、22(,)B xy, 则有如下结论：12|ABxxp；2124px x,212y yp； 112|pAFB

50、F. 10. 椭 圆22221(0)xyabab左 焦 点 弦12|2()ABae xx, 右 焦 点 弦12|2()ABae xx. 11. 对于22(0)ypx p抛物线上的点的坐标可设为200(,)2yyp, 以简化计算 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思12. 圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理” 或“点差法” 求解 .在椭圆22221xyab中, 以00(,)P xy为中点的弦所在直线斜率2020b xka y；在双曲线22221xyab中 , 以

51、00(,)P xy为 中 点 的 弦 所 在 直 线 斜 率2020b xka y； 在 抛 物 线22(0)ypx p中, 以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率0pyk. 13. 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成( , )0F x y, 是求轨迹的最基本的方法 . 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数, 代回所列的方程即可.代入法 ( 相关点法或转移法). 定义法： 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义, 则可由曲线的定义直接写出方程. 交轨法 ( 参数法 ) ：当动点( , )P x y坐标之间的关系不易直接找到,

52、 也没有相关动点可用时, 可考虑将x、y均用一中间变量( 参数 ) 表示 , 得参数方程 , 再消去参数得普通方程. 14. 解析几何与向量综合的有关结论：给出直线的方向向量(1, )uk或(, )um n. 等于已知直线的斜率k或nm；给出OBOA与AB相交 ,等于已知OBOA过AB的中点；给出0PNPM, 等于已知P是MN的中点 ; 给出()APAQBPBQ, 等于已知QP,与AB的中点三点共线; 给出以下情形之一：ACAB/；存在实数, 使ABAC； 若存在实数, 且1；使OCOAOB, 等于已知CBA,三点共线 . 给 出1O AO BOP, 等 于 已 知P是AB的 定 比 分 点

53、,为 定 比 , 即PBAP 给 出0MBMA, 等 于 已 知MBMA, 即AMB是 直 角 , 给 出0mMBMA, 等于已知AMB是钝角或反向共线, 给出0mMBMA, 等于已知AMB是锐角或同向共线. 给出|()MAMBMAMBMP, 等于已知MP是AMB的平分线 . 在 平 行 四 边 形ABC D中 , 给 出0)()(ADABADAB, 等 于 已 知ABC D是菱形 . 在平行四边形ABCD中, 给出| |ABADABAD, 等于已知ABCD是矩形. 在ABC中, 给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心 ( 三角形的外心是外接圆的圆心, 是三角形三边垂直平分线的交点)

54、. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在ABC中, 给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心 ( 三角形的重心是三角形三条中线的交点). 在ABC中,给出OAOCOCOBOBOA， 等于已知O是ABC的垂心 (三角形的垂心是三角形三条高的交点). 在ABC中 , 给出OAOP|()ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心 . 在ABC中, 给出, 0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的内心( 三角形内切圆的圆心 , 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

55、在ABC中, 给出12()ADABAC, 等于已知AD是ABC中BC边的中线.九. 直线、平面、简单几何体平面基本性质空间的平行关系空间的垂直关系求空间的几何量（角、距、面积、体积）解立几问题方法：几何法、向量法1. 从一点 O 出发的三条射线OA 、OB 、OC . 若AOBAOC , 则点A在平面BOC 上的射影在BOC 的平分线上；2. 立平斜三角余弦公式：( 图略 )AB和平面所成的角是1, AC 在平面内 , AC 和AB的射影1AB成2,设3BAC, 则123coscoscos；3. 异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点 ,作另一条的平行线. 补形法：

56、把空间图形补成熟悉的或完整的几何体, 如正方体、平行六面体、长方体等, 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4. 直线与平面所成角： 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段, 是产生线面角的关键 . 5. 二面角的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影法：利用面积射影公式cosSS射斜其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6. 空间距离的求法：两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线, 所以一般先利用垂直作出公垂，然后再进行计算. 求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. 求点到平面的距离, 一是用垂面法 , 借助面面垂直的性质来作. 因此 , 确定已知面的垂面是关键；二是

57、不作出公垂线, 转化为求三棱锥的高, 利用等体积法列方程求解. 7. 用向量方法求空间角和距离：求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线a、b 的方向向量 , 则两异面直线所成的角| |arccosa bab. 求线面角 ： 设l是 斜 线 l 的 方 向 向 量 ,n是 平 面的 法 向 量 , 则 斜 线 l 与 平 面所 成 的 角| |arcsinlnln.求二面角 ( 法一 ) 在内al,在内bl, 其方向如图( 略), 则二面角l的平面角| |arccosa bab.( 法二 ) 设1n,2n是二面角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

58、- - -第 16 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思l的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧, 另一个指向外侧, 则二面角l的平面角1212| |arccosnnnn.（4)求点面距离： 设n是平面的法向量 , 在内取一点B,则A到的距离|cos|AB ndABn( 即AB在n方向上投影的绝对值).8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等, 记为, 则cosSS侧底. 9. 正四面体 ( 设棱长为a) 的性质：全面积23Sa；体积3212Va；对棱间的距离22da；相邻面所成二面角13arccos；外接球半径64Ra；内切球半径612ra；正四面体内任一点到各面距离之和

59、为定值63ha. 10. 直角四面体的性质：( 直角四面体三条侧棱两两垂直的四面体). 在直角四面体 OABC中 ,OA OB OC 两两垂直 , 令,OAa OBb OCc , 则底面三角形ABC 为锐角三角形； 直 角 顶 点O 在 底 面 的 射 影H为 三 角 形ABC的 垂 心 ； 2BOCBHCABCSSS；2222AOBBOCCOAABCSSSS； 22221111O Habc； 外 接 球 半 径22212abcR. 11. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；13. 球的体积公式343VR, 表面积公式24SR；掌握球面上两点A、B间的距离求法：计算线段AB的长；计

60、算球心角AOB 的弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长 . 十. 排列组合和概率、统计计数原理排列组合二项式定理概率与计算统计应用（应用题）1. 排 列 数 公 式 :!()!(1)(1)(,*)mnnmnmAn nnmmn m nN, 当mn时为全排列!nnAn. 2. 组合数公式：(1)(1)()!(1) (2)3 2 1mmnnAnnnmCmnmmmm,01nnnCC. 3. 组合数性质：mn mnnCC；11rrrnnnCCC. 4. 排列组合主要解题方法：优先法 ：特殊元素优先或特殊位置优先；捆绑精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

61、第 17 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思法 (相邻问题 ) ；插空法 （不相邻问题） ； 间接扣除法； ( 对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）多排问题单排法; 相同元素分组可采用隔板法 （适用与指标分配，每部分至少有一个）； 先选后排 , 先分再排 ( 注意等分分组问题 ) ；涂色问题 ( 先分步考虑至某一步时再分类). 分组问题 ：要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成n组问题别忘除以!n .5.常用性质：!(1)!n nnn；即11nnnnnnnAAA；111(1)rrrrrrnnCCCCrn；6. 二项式定理：掌握二项展开式的

62、通项：1(0,1,2,.,)rn rrrnTC abrn；注意第 r 1 项二项式系数与第r 1 项系数的区别 . 7. 二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等；若n为偶数 , 中间一项( 第21n项) 的二项式系数最大； 若n为奇数 , 中间两项 ( 第121n和121n项)的二项式系数最大.0122nnnnnnCCCC；021312nnnnnCCCC. 8. 二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如( )()nf xaxb展开式的各项系数和为(1)f, 奇数项系数和为12(1)( 1)ff, 偶数项的系数和

63、为12(1)( 1)ff. 9. 等可能事件的概率公式：( )nmP A； 互斥事件有一个发生的概率公式为：()P AB( )()P AP B；相互独立事件同时发生的概率公式为()( ) ()P ABP A P B；独立重复试验概率公式( )(1)kkn knnP kC pp；如果事件A与B互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1()1() ( )P ABP A P B； （6）如果事件A与B相互独立，那么事件A与B至少有一个发生的概率是1()1( ) ()P A BP A P B. 10. 掌握抽样的两种方法：简

64、单随机抽样( 包括抽签法和随机数表法) ；分层抽样 ( 按比例抽样 ), 常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形. 它们的 共同点： 都是等概率抽样. 对于简单随机抽样的概念中, “每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等” . 如从含有 N 个个体的总体中, 采用随机抽样法, 抽取n个个体 , 则每个个体第一次被抽到的概率为1N, 第二次被抽到的概率为1N, , 故每个个体被抽到的概率为nN, 即每个个体入样的概率为nN. 5. 总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地 , 样本容量越大, 这种估计就越精确, 要求能画出频率分布表和频率分布直方图；学会用样本平

65、均数121()nnxxxx去估计总体平均数；会用样本方差222121()()nSxxxx2() nxx去估计总体方差。十一 . 导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思导数的意义导数公式导数应用（极值最值问题、曲线切线问题）1.导数的定义：( )f x在点0x处的导数记作00000()()()limxxxf xxf xxyfx.2.函 数( )yf x在 点0x处 的 导 数 的 几 何 意 义 是 指 ： 曲 线( )yf x在 点00(,()P xf x处切线的斜率, 即曲

66、线( )yf x在点00(,()P xf x处的切线的斜率是0()fx, 切线方程为000()()()yf xfxxx. 3.常见函数的导数公式:0C( C 为常数 ) ；1()()nnxnxnQ. 4.导数的四则运算法则：()uvuv5. 导数的应用：(1) 利用导数判断函数的单调性：设函数( )yf x在某个区间内可导, 如果( )0fx, 那么( )f x为增函数；如果( )0fx, 那么( )f x为减函数；如果在某个区间内恒有( )0fx, 那么( )f x为常数；(2) 求可导函数极值的步骤：求导数)(xf；求方程0)(xf的根；检验)(xf在方程0)(xf根的左右的符号，如果左正

67、右负, 那么函数( )yf x在这个根处取得极大值；如果左负右正 ,那么函数( )yf x在这个根处取得极小值；(3) 求可导函数最大值与最小值的步骤：求( )yf x在( , )a b内的极值；将( )yf x在各极值点的极值与( )f a、( )f b比较 , 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值. 十二 . 注意答题技巧训练1. 技术矫正： 考试中时间分配及处理技巧非常重要, 有几点需要必须提醒同学们注意：按序答题 , 先易后难 . 一定要选择熟题先做、有把握的题目先做. 不能纠缠在某一题、某一细节上, 该跳过去就先跳过去, 千万不能感觉自己被卡住 , 这样会心慌，影响下面做题的

68、情绪. 避免 “回头想” 现象 , 一定要争取一步到位, 不要先做一下 , 等回过头来再想再检查 , 高考时间较紧张, 也许待会儿根本顾不上再来思考. 做某一选择题时如果没有十足的把握, 初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记 , 有时间再推敲, 不要空答案 , 否则要是时间来不及填写答案只能增加错误的概率 . 2. 规范化提醒： 这是取得高分的基本保证. 规范化包括： 解题过程有必要的文字说明或叙述 , 注意解完后再看一下题目, 看你的解答是否符合题意, 谨防因解题不全或失误 , 答题或书写不规范而失分. 总之 , 要吃透题“情” , 合理分配时间, 做到一准、二快、三规范. 特别是要注

69、意解题结果的规范化. 解与解集：方程的结果一般用解表示( 除非强调求解集) ；不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间 ) 表示 . 三角方程的通解中必须加kZ . 在写区间或集合时 , 要正确地书写圆括号、方括号或大括号, 区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开. 带单位的计算题或应用题, 最后结果必须带单位, 解题结束后一定要写上符合题意的“答”. 分类讨论题 , 一般要写综合性结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思任何结果要最简. 如2,2211422等.

70、排列组合题 , 无特别声明 , 要求出数值 . 函数问题一般要注明定义域( 特别是反函数 ). 参数方程化普通方程, 要考虑消参数过程中最后的限制范围. 轨迹问题： 轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示, 轨迹则需要说明图形形状. 有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x或y的范围 . 分数线要划横线, 不用斜线 .3. 考前寄语： 先易后难 , 先熟后生；一慢一快：审题要慢, 做题要快；不能小题难做 , 小题大做 , 而要小题小做, 小题巧做； 我易人易我不大意, 我难人难我不畏难；考试不怕题不会,就怕会题做不对；基础题拿满分, 中档题拿足分, 难题力争多得分, 似曾相识题力争不失分；对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目 , 力争高上水平, 有时“放弃”是一种策略. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页