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1、九年级第 8 讲 专题精讲1 专题八折叠问题学习要点与方法点拨:出题位置:选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中,常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等;考查问题有求折点位置、求折线长、 折纸边长周长、 求重叠面积、 求角度、 判断线段之间关系等;轴对称性质 -折线,是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成,常常伴有折叠;解压轴题时,要学会将大题分解成一道道小题;那么多作折叠的选择题填空题,很有必要。基本图形:在矩形 ABCD 中,将 ABF沿 BE折叠至 FBE,可得何结论?(1)基本图形练习:如图
2、,将三角形纸片ABC沿过点 A的直线折叠,使得AC落在 AB上,折痕为AD ,展开纸片;再次折叠,使得A和 D点重合,折痕为EF,展开纸片后得到AEF,则 AEF是等腰三角形,对吗?(2)折叠中角的考法与做法:将矩形纸片ABCD 沿过点 B的直线折叠,使得A落在 BC边上的点F 处,折痕为BE (图 1);再沿过点E的直线折叠,使点D落在 BE边上的点D,折痕为EG (图 2), 再展开纸片,求图(3)中角 a 的大小。结论:( 1)全等;( 2)垂直。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲2
3、(3)折叠中边的考法与做法:如图,将边长为6cm的正方形ABCD 折叠,使点D落在 AB边中点 E处,折痕为 FH,点 C落在 Q处, EQ与 BC交于点 G,则 EBG的周长是多少?模块精讲例 1.( 2014?扬州)已知矩形ABCD 的一条边AD=8 ,将矩形ABCD 折叠,使得顶点B 落在 CD 边上的 P点处( 1)如图 1,已知折痕与边BC 交于点 O,连结 AP、OP、OA 求证: OCP PDA;若 OCP 与 PDA 的面积比为1:4,求边 AB 的长;( 2)若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点,求OAB 的度数;( 3)如图 2,擦去折痕AO、线段 OP,连结 BP
4、动点 M 在线段 AP上(点 M 与点 P、A 不重合),动点N 在线段 AB 的延长线上,且BN=PM,连结 MN 交 PB于点 F,作 MEBP于点 E试问当点M、 N 在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度解题步骤:第一步:将已知条件标在图上;第二步:设未知数,将未知数标在图上;第三步:列方程,多数情况可通过勾股定理解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲3 例 2.(2013?苏州)如图,在矩形ABCD 中,点 E 是边 CD 的中点,
5、将 ADE 沿 AE 折叠后得到 AFE,且点 F 在矩形 ABCD 内部将 AF 延长交边BC 于点 G若=,则=用含 k 的代数式表示)例 3、 (2013?苏州)如图,点O 为矩形 ABCD 的对称中心, AB=10cm ,BC=12cm,点 E、F、G 分别从 A、 B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E 的运动速度为1cm/s,点 F的运动速度为3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时,三个点随之停止运动在运动过程中, EBF 关于直线EF 的对称图形是EBF 设点 E、F、G 运动的时间为t(单位: s
6、)( 1)当 t=s时,四边形EBFB 为正方形;( 2)若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F,C,G 为顶点的三角形相似,求t 的值;( 3)是否存在实数t,使得点B 与点 O 重合?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲4 例 4、如图,已知矩形纸片ABCD ,AD=2 ,AB=4 将纸片折叠,使顶点A与边 CD上的点 E重合,折痕FG分别与 AB ,CD交于点 G,F, AE与 FG交于点 O ( 1)如图 1,求证: A,G ,E,F四点围成
7、的四边形是菱形;( 2)如图 2,当 AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段 BC的中点;( 3)如图 2,在( 2)的条件下,求折痕FG的长例 5、已知 AD BC, ABAD ,点 E,点 F 分别在射线AD,射线 BC 上若点E 与点 B 关于 AC 对称,点 E 与点 F关于 BD 对称, AC 与 BD 相交于点 G,则()A1+tanADB=B2BC=5CF C AEB+22 = DEF D4cosAGB=26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲5 课堂练习1、2、(
8、2014 连云港)如图1,将正方形纸片ABCD 对折,使 AB 与 CD 重合,折痕为EF如图 2,展开后再折叠一次,使点 C 与点 E 重合,折痕为GH,点 B 的对应点为点M,EM 交 AB 于 N,则 tanANE=_图 3 图 4 3、( 2014?徐州)如图3,在等腰三角形纸片ABC 中, AB=AC , A=50 ,折叠该纸片,使点A 落在点 B 处,折痕为 DE,则 CBE=_ 4、( 2014?扬州)如图4,ABC 的中位线 DE=5cm ,把 ABC 沿 DE 折叠,使点A 落在边 BC 上的点 F 处,若 A、F 两点间的距离是8cm,则 ABC 的面积为_cm25、( 2
9、013?扬州)如图1,在梯形 ABCD 中, AB CD, B=90 ,AB=2 ,CD=1 ,BC=m,P 为线段 BC 上的一动点,且和 B、C 不重合,连接PA,过 P 作 PEPA 交 CD 所在直线于E设 BP=x,CE=y( 1)求 y 与 x 的函数关系式;( 2)若点 P 在线段 BC 上运动时,点E 总在线段 CD 上,求 m 的取值范围;( 3)如图 2,若 m=4,将 PEC 沿 PE 翻折至 PEG 位置, BAG=90 ,求 BP 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页九年级第 8 讲 专题精
10、讲6 课后巩固习题1、( 2014?淮安)如图,在三角形纸片ABC 中, AD 平分 BAC ,将 ABC 折叠,使点A 与点 D 重合,展开后折痕分别交 AB 、AC 于点 E、F,连接 DE、DF求证:四边形AEDF 是菱形2、( 2013?宿迁)如图,在梯形ABCD 中, AB DC, B=90 ,且 AB=10 ,BC=6 ,CD=2 点 E 从点 B 出发沿 BC方向运动,过点E 作 EFAD 交边 AB 于点 F将 BEF 沿 EF 所在的直线折叠得到GEF,直线 FG、EG 分别交 AD于点 M、N,当 EG 过点 D 时,点 E 即停止运动设BE=x ,GEF 与梯形 ABCD
11、 的重叠部分的面积为y( 1)证明 AMF 是等腰三角形;( 2)当 EG 过点 D 时(如图( 3),求 x 的值;( 3)将 y 表示成 x 的函数,并求y 的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲7 3、如图 , 在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8, 把 BCD沿着对角线BD折叠 , 使点 C落在 C 处,BC 交 AD于点 G,E,F, 分别是 CD和 BD上的点 , 线段 EF交 AD于点 H,把 FDE沿着 EF折叠 , 使点 D落在 D处, 点 D 恰好与点 A重合 . ( 1)求证 : 三角形 ABG CDG ( 2)求 tan ABG的值;( 3)求 EF的长。3、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页