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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲(初三.5)对称式一、内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中,如果变量x,y,z 任意交换两个后,代数式的值不变,则称这个代数式为绝对对称式,简称对称式. 例如:代数式 x+y ,xy,x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, yx11,xyzxzxyzzyxyzyx.都是对称式 . 其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式. 2.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中,如果变量x,y,z 循环变换后代数式的值不变,则称这个代数式为轮换对称式,简称轮换式. 例如:代数式a2(bc)+b2(ca)+c2(a b),2x
2、2y+2y2z+2z2x,abccba1111,(xy+yz+zx )()111zyx,222222222111bacacbcba. 都是轮换式 . 显然,对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质1.含两个变量x 和 y 的对称式,一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍 . 2.对称式中, 如果含有某种形式的一式,则必含有, 该式由两个变量交换后的一切同型式,且系数相等. 例如:在含x,y,z 的齐二次对称多项式中,如果含有x2项,则必同时有y2,z2两项;如含有xy 项,则必同时有yz,zx 两项,且它们的系数,都分别相等.故可以表示为:m(x2+y2+z2)+n
3、(xy+yz+zx) 其中 m,n 是常数 . 3.轮换式中, 如果含有某种形式的一式,则一定含有, 该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式,且系数相等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载例如:轮换式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中,有因式ab 一项 ,必有同型式bc 和ca 两项 . 4.两个对称式 (轮换式) 的和, 差,积, 商(除式不为零) ,仍然是对称式 (轮换式) . 例如: x+y, xy 都是对称式,x+yxy,(x+y)xy,xyyx等也都是对称式. xy+yz+zx
4、和zyx111都是轮换式,zyx111xy+yz+z ,(zyx111) (xy+yz+z ). 也都是轮换式. 二、例题例 1.计算:(xy+yz+zx )()111zyxxyz()111222zyx. 分析:( xy+yz+zx ) ()111zyx是关于 x,y,z 的轮换式,由性质2,在乘法展开时,只要用 xy 分别乘以x1,y1,z1连同它的同型式一齐写下. 解:原式(zxyyzxxyz)( z+xy)+(y+z+x) (zxyyzxxyz) 2x+2y+2z. 例2.已知: a+b+c=0, abc 0. 求代数式222222222111bacacbcba的值分析:这是含a, b,
5、 c 的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式,可直接写出它的同型式 . 解:2221cba222)(1babaab21,222222222111bacacbcbaab21bc21ca21abcbac20. 例3.计算: (a+b+c)3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载分析:展开式是含字母a,b,c 的三次齐次的对称式,其同型式的系数相等,可用待定系数法 . 例4.解:设( a+b+c)3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc. (m,n,p 是待定
6、系数)令a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1;令a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得2m+2n=8 ;令a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得3m+6n+p=27. 解方程组27638221pnmnmm得631pnm( a+b+c)3a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc. 例5.因式分解:a3(bc)+b3(ca)+c3(ab);(x+y+z)5( y+zx)5( z+x y)5( x+yz)5. 解:当a=b 时, a3(bc)+b3(ca)+c3(ab) 0. 有因式ab 及其同型式bc,ca. 原式是四次齐次轮换
7、式,除以三次齐次轮换式(ab)(bc)(ca),可得一次齐次的轮换式a+b+c. 用待定系数法:得a3(bc)+b3(ca)+c3(ab) m(a+b+c)(ab) (bc)(ca) 比较左右两边a3b 的系数,得m=1. a3(bc)+b3(ca)+c3(ab) (a+b+c)(ab)(bc)(ca). x=0 时, ( x+y+z)5( y+zx)5( z+xy)5( x+yz)50 有因式x,以及它的同型式y 和 z. 原式是五次齐次轮换式,除以三次轮换式xyz,其商是二次齐次轮换式. 用待定系数法:可设( x+y+z )5( y+zx)5( z+x y)5( x+yz)5 xyzm(x
8、+y+z)+n(xy+yz+zx). 令x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数,得80=m+n;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载令x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数,得480=6m+n. 解方程组480680nmnm得080nm. ( x+y+z )5( y+zx)5( z+xy)5( x+y z)580xyz(x+y+z). 三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x3+x2y2xy2,试接着写完全代数式2.已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a3b(ab),试
9、接着写完全代数式_. 3.利用对称式性质做乘法,直接写出结果:( x2y+y2z+z2x) (xy2+yz2+zx2). ( x+y+z ) (x2+y2+z2xy yzzx). 4. 计算:(x+y)5. 5.求( x+y)(y+z)(z+x)+xyz 除以 x+y+z 所得的商 . 6.因式分解:ab(ab)+bc(b c)+ca(ca);(x+y+z)3(x3+y3+z3);(ab+bc+ca)(a+b+c)abc;a(bc)3+b(ca)3+c(ab)3. 7.已知:abccba1111. 求证: a,b,c 三者中,至少有两个是互为相反数. 8.计算:bcacabaa22cababc
10、bb22abcbcacc22. 9.已知: S21( a+b+c) . 求证:16)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba3S( Sa)(Sb)(Sc). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载10.若 x,y 满足等式x=1+y1和 y=1+x1且 xy 0,那么 y 的值是()(A)x1.(B)1x.(C)x.(D)1+x. 参考答案1.y3+z3+y2z+z2x2y2z2z2x 2. b3c+c3d+d3a(bc) (c d) (da) 3.x3+y3+z33xyz 4.设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3), a=1,b=5,c=10. 5.设原式( x+y+z) a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx) ,a=0,b=1. 6.当 a=b 时,原式 0,原式 m(a+b)(b+c)(c+a) m=1 7.由已知等式去分母后,使右边为0,因式分解8.19.一个分式化为S(Sa) (Sb)(Sc) 10. 选C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页