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1、初二数学（下）应知应会的知识点二次根式1二次根式：一般地，式子)0a(,a叫做二次根式. 注意： （1）若0a这个条件不成立，则a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a0. 2重要公式： （1）)0a(a)a(2,（2）)0a(a)0a(aaa2；注意使用)0a()a(a2. 3 积的算术平方根：)0b,0a(baab， 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求 . 4二次根式的乘法法则：)0b,0a(abba. 5二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平
2、方，然后比大小. 6 商的算术平方根：)0b,0a(baba，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7二次根式的除法法则：（1）)0b,0a(baba；（2）)0b,0a(baba；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式 . 8常用分母有理化因式：aa 与，baba与，bnambnam与，它们也叫互为有理化因式 . 9最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 被开方数的因数是整数，因式是整式， 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数
3、、分数，字母因式次数低于 2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页10二次根式化简题的几种类型： （1）明显条件题； （2）隐含条件题； （3）讨论条件题. 11同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算
4、律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简， 例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等 . 四边形几何 A级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于 360 ；（2）四边形的外角和等于 360 . 几何表达式举例：(1) A+ B+C+ D=360 (2) 1+2+3+4=360 2多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180 ；（2）任意多边形的外角和等于 360 . 几何表达式举例：略ABCD1234ABCD精
5、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3平行四边形的性质：因为 ABCD 是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（几何表达式举例：(1) ABCD 是平行四边形AB CD AD BC (2) ABCD 是平行四边形AB=CD AD=BC (3) ABCD 是平行四边形ABC= ADC DAB= BCD (4) ABCD 是平行四边形OA=OC OB=OD (5) ABCD 是平行四边形CDA+ BAD=180 4.平行四边形的判定：是平行四
6、边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD54321. 几何表达式举例：(1) AB CD AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形(2) AB=CD AD=BC 四边形 ABCD 是平行四边形(3) ABDOCABDOC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页5.矩形的性质：因为 ABCD 是矩形.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（(2) (1)(3) 几何表达式举例：(1) (2) ABCD 是矩形A= B=C
7、= D=90 (3) ABCD 是矩形AC=BD 6. 矩形的判定：边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形 ABCD 是矩形. (1)(2) (3) 几何表达式举例：(1) ABCD 是平行四边形又A=90 四边形 ABCD 是矩形(2) A= B=C= D=90 四边形 ABCD 是矩形(3) 7菱形的性质：因为 ABCD 是菱形.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（几何表达式举例：(1) (2) ABCD 是菱形AB=BC=CD=DA (3) ABCD 是菱形AC BD ADB= CDB 8菱形的判定：边形）
8、对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD是菱形. 几何表达式举例：(1) ABCD 是平行四边形DA=DC 四边形 ABCD 是菱形CDBAOCDAOADBCADBCADBCOADBCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页(2) AB=BC=CD=DA 四边形 ABCD 是菱形(3) ABCD 是平行四边形AC BD 四边形 ABCD 是菱形9正方形的性质：因为 ABCD 是正方形.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边
9、形的所（CDAB（1）ABCDO（2） （3）几何表达式举例：(1) (2) ABCD 是正方形AB=BC=CD=DA A= B= C= D=90 (3) ABCD 是正方形AC=BD AC BD 10正方形的判定：一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形 ABCD 是正方形. (3) ABCD 是矩形又AD=AB 四边形 ABCD 是正方形几何表达式举例：(1) ABCD 是平行四边形又AD=AB ABC=90 四边形 ABCD 是正方形(2) ABCD 是菱形又ABC=90 四边形 ABCD 是正方形11等腰梯形的性质：几何表达式举例：CDAB精选学习
10、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页因为 ABCD 是等腰梯形.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（(1) ABCD 是等腰梯形AD BC AB=CD (2) ABCD 是等腰梯形ABC= DCB BAD= CDA (3) ABCD 是等腰梯形AC=BD 12等腰梯形的判定：对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321四边形 ABCD 是等腰梯形 (3)ABCD 是梯形且 AD BC AC=BD ABCD 四边形是等腰梯形几何表达式举例：(1) ABCD 是梯形且 AD BC 又A
11、B=CD 四边形 ABCD 是等腰梯形(2) ABCD 是梯形且 AD BC 又ABC= DCB 四边形 ABCD 是等腰梯形13平行线等分线段定理与推论：（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其它直线上截得的线段也相等；（2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰； （如图）（3）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 .（如图） (2) (3) 几何表达式举例：(1) (2) ABCD 是梯形且 AB CD 又DE=EA EF AB CF=FB (3) AD=DB 又DE BC AE=EC 14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半
12、. 几何表达式举例：AD=DB AE=EC DE BC且 DE=21BC EFDABCEDCBAEDCBAABCDOABCDO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页15梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 几何表达式举例：ABCD 是梯形且 AB CD 又DE=EA CF=FB EF AB CD 且 EF=21(AB+CD) 几何 B级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中
13、心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二定理：中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形 . 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 . 3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 . 三 公式：1S菱形 =21ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为 c 边上的高）2S平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h为 a 上的高）3S梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L 为梯形的中位线）四 常识：1若 n是多边形的
14、边数，则对角线条数公式是：2)3n(n. 2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似” . 3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系 . 4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 . 注意：线段有两条对称轴. EFDABC平行四边形矩形菱形正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页5梯形中常见的辅助线：ABEFDECABDCABDCABDC中点中点EFFABDCABDCABDC
15、ABDC中点中点GFEEEE6几个常见的面积等式和关于面积的真命题：如图： 若 ABCD 是平行四边形，且 AE BC ，AF CD 那么：AE BC=AF CD. 如图：若ABC 中，ACB=90 ，且 CDAB ，那么：AC BC=CDAB. 如图：若 ABCD 是菱形，且 BE AD ，那么：AC BD=2BEAD. 如图：若ABC 中，且 BEAC ，AD BC ，那么：AD BC=BE AC. 如图：若 ABCD 是梯形，E、F是两腰的中点，且 AG BC ，那么：EF AG=21（AD+BC ）AG. 如图：DCBDSS21. 如图：若 AD BC ，那么：（1）S ABC =S
16、BDC ；（2）S ABD =S ACD. 相似形几何 A级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）BACDS1S2BDACABDCGFEBAECDBAEFCDOBAECDBACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页1“平行出比例”定理及逆定理：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；（2）如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 . （1） （3）（2）几何表达式举例：(1) DE BC ECAEDBAD(
17、2) DE BC ABAEACAD(3) ECAEDBADDE BC 2比例的性质：（1）比例的基本性质： a:b=c:d dcba ad=bc ；abcdcdabbadcdcba交叉换位：上下换位：左右换位：那么若（2）合比性质：如果dcba那么ddcbba；（3）等比性质：如果nmdcba那么bandbmca. 3定理： “平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. BACDE几何表达式举例：DE BC ADE ABC 4定理： “AA ”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 几何表达式举
18、例：A=A 又AED= ACB ADE ABC 5定理： “SAS ”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相几何表达式举例：ACABAEAD又A=A ACDEBACDEBBACDEBACDEABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页等，那么这两个三角形相似. ADE ABC 6 “双垂” 出相似及射影定理：（1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；（2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项. 几
19、何表达式举例：(1) AC CB 又CD AB ACD CBDABC (2) AC CB CDAB AC2=AD AB BC2=BD BA DC2=DA DB 7相似三角形性质：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；（3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方 . (1) ABC EFG EGACFGBCEFABBAC= FEG (2) ABC EFG 又AD 、EH是对应中线EFABEHAD(3) ABC EFG 2EFGABCEFABSS几何 B级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念
20、：成比例线段、第四比例项、比例中项、黄金分割、相似三角形、相似比 . 二定理：1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例 . 2 “平行”出比例定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 . ACDBEABFCDGH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页3 “SSS ”出相似定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似. 4 “HL ”出相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
21、角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 .三常识：1三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线 . 2证线段成比例的题中，常用的分析方法有：（1）直接法：由所要求证的比例式出发，找对应的三角形（一对或两对） ，判断并证明找到的三角形相似，从而使比例式得证；（2）等线段代换法：由所证的比例式出发，但找不到对应的三角形，可利用图形中的相等线段对所证比例式中的线段（一条或几条）进行代换，再利用新的比例式找对应的三角形证相似或转化；（3）等比代换法（即中间比法） ：用上述的直接法或间接法都无法解决的证比例线段的问题，且题目中有两对或两对以上的相似形，可考虑用等比代换法，两对相似形的公共边或图形中的相等线段往往是中间比，即要证dcba时，可证feba且fedc从而推出dcba；（4）线段分析法：利用相似形的对应边成比例列方程，并求线段长是常见题目，这类题目中如没有现成的比例式，可由题目中的已知线段和所求线段出发，找它们所围成的三角形，若能证相似，即可利用对应边成比例列方程求出线段长 . 3相似形有传递性；即：122313精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
