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1、第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型 绝大多数物理系统在参数某些范围绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相对每个系统都应研究其线性特性和相应的线性工作范围应的线性工作范围。第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化线性系统具有叠加性和齐次性。线性系统具有叠加性和齐次性。 叠加性：叠加性：x x1 1(t)(t)y y1 1(t)(t)x x2 2(t)(t)则则 y y
2、2 2(t)(t)x x1 1(t)+x(t)+x2 2(t) (t) y y1 1(t)+y(t)+y2 2(t) (t) y=xy=x2 2 二阶系统是非线性的二阶系统是非线性的因为它不满足叠加性因为它不满足叠加性齐次性：齐次性：为常数为常数 x(tx(t) )y(ty(t) )则则 x(tx(t) ) y(ty(t) ) y=y=mx+bmx+b 系统也不是线性的，因为它不满系统也不是线性的，因为它不满足齐次性。足齐次性。第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化y=y=mx+bmx+b 对在工作点对在工作点(x(x0,0,y,y0 0) )附近作小范围变附近作小范围变化的变量化的变量
3、x x和和y y而言，而言，则是线性的。则是线性的。非线性系统非线性系统 设设又又 则则 x=xx=x0 0+ +x xy=yy=y0 0+ +y yy y0 0=mx=mx0 0+ +by y0 0+ +y=y=y=y=mx+bmx+b=mx=mx0 0+b+m+b+mxy=y=m mx x 大部分非线性系统在一定的条件下大部分非线性系统在一定的条件下可近似看成线性系统。可近似看成线性系统。第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化y(ty(t)=)=gx(tgx(t)线性化：线性化：设非线性元件为设非线性元件为: :系统的正常工作点为系统的正常工作点为x x0 0 有条件地把非线性数学模
4、型近有条件地把非线性数学模型近似处理成线性数学模型。似处理成线性数学模型。 若非线性函数连续，且各阶导数存若非线性函数连续，且各阶导数存在，可在工作点附近按泰勒级数展开在，可在工作点附近按泰勒级数展开.=g(x=g(x0 0)+)+ +dgdgdxdxx=xx=x0 0d d2 2g gdxdx2 2x=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )2 22!2!x-xx-x0 01!1! 当当(x- xx- x0 0) )小范围波动时，略去高于小范围波动时，略去高于一次的小增量项，方程可简化为一次的小增量项，方程可简化为 ： y(ty(t)=g(x)=g(x0 0)+)+dgdgdxdxx=xx
5、=x0 0(x-x(x-x0 0) )=y=y0 0+m(x-x+m(x-x0 0) ) m为工作点处的斜率。最后可改写为工作点处的斜率。最后可改写成下列线性方程：成下列线性方程：y= =m mx x(y-y(y-y0 0)=m(x-x)=m(x-x0 0) )或或 第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化例例 将液位控制系统非线性微分方程线性化将液位控制系统非线性微分方程线性化.dh(tdh(t) )dtdth(th(t) )+a+a= =q qi i(t(t) )解：解： 按泰勒级数展开为按泰勒级数展开为 d d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(th(t) )h hd d
6、2 2dhdh2 22!2!+ +1 1h h0 0(h-h(h-h0 0)+)+h h(h-h(h-h0 0) )2 2略去高于一次的增量项得略去高于一次的增量项得h hd d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(th(t) )h hh h2 2+ +1 1h h0 0= =h h0 0得：得： = =q qioio+ +q qi i+a(+a(dtdtd(hd(h0 0+ +h)h)A Ah h0 0h)h)2 2+ +1 1h h0 0由于由于 = =dtdtd(hd(h0 0+ +h)h)A Adhdh0 0+ +dtdtd dh hdtdt= =d dh hdtdtq qo
7、0o0=a=ah h0 0=q=qi0i0得得 = =q qioio+ +q qi i+a+adtdtd dh hA Ah h0 0h h2 2+ +a ah h0 01 1= =q qi idtdtd dh hA Ah h2A2A+ +a ah h0 0即即 dh(tdh(t) )1 1= =q qi i(t(t) )dtdtA Ah(th(t) )2A2A+ +a ah h0 0第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化线性化处理中应注意以下几点：线性化处理中应注意以下几点：（1）必须确定系统处于平衡状态时各部）必须确定系统处于平衡状态时各部 件的工作点，在不同的工作点，非件的工作点，在
8、不同的工作点，非 线性曲线的斜率是不同的。线性曲线的斜率是不同的。（2）线性化是以直线代替曲线，略去了）线性化是以直线代替曲线，略去了 式中二阶以上项，如果系统工作范式中二阶以上项，如果系统工作范 围较大，将带来较大误差，所以非围较大，将带来较大误差，所以非 线性数学模型的线性化是有条件的。线性数学模型的线性化是有条件的。（3）对于某些典型非线性系统，其非）对于某些典型非线性系统，其非 线性特性是不连续的，在不连续线性特性是不连续的，在不连续 点附近不能得出收敛的泰勒级数，点附近不能得出收敛的泰勒级数， 因而就不能进行线性化，只能采因而就不能进行线性化，只能采 用非线性理论进行分析处理。用非线性理论进行分析处理。典型非线性系统典型非线性系统 第二节数学模型的线性化第二节数学模型的线性化输出输出0输入输入近似特近似特性曲线性曲线(a)饱和非线性饱和非线性 真实特真实特性曲线性曲线输出输出0输入输入(b)死区非线性死区非线性 输出输出0输入输入(c)间隙非线性间隙非线性 输出输出0输入输入(d)继电非线性继电非线性 返回返回
