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1、中考数学压轴题及解答1、( 2010 年北京市) 24. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= 41mx245mx m23m2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2 ,n) 在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标; (2) 点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD( 当P点运动时,C点、D点也随之运动 ) 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1 个单位,同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每
2、秒2 个单位 ( 当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动) 。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长QF 到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN( 当Q 点运动时,M点,N点也随之运动 ) 。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值。【解答】24. 解:(1) 拋物线y= 41mx245mx m23m2 经过原点,m23m2=0,解得m1=1,m2=2,由题意知m1,m=2,拋物线的解析式为y= 41x225x,点B(2,n) 在拋物线y= 41x225x上,n=4,B点的坐标为 (2 ,4) 。 (
3、2) 设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为y=2x,A点是拋物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标为 (10 , 0),设P点的坐标为 (a,0),则E点的坐标为 (a,2a) ,根据题意作等腰直角三角形PCD,如图 1。可求得点C的坐标为 (3a,2a) ,由C点在拋物线上,得 2a= 41(3a)2253a,即49a2211a=0,解得a1=922,a2=0 (舍去 ) ,OP=922。依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x b,由点A(10 ,0) ,点B(2 , 4) ,求得直线AB的解析式为y= 21x5,当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形
4、分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:第一种情况:CD与NQ在同一条直线上。如图2 所示。可证DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。PQ=DP=4t,x y O 1 1 O A B C D E P y x 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页t4t2t=10,t=710。第二种情况:PC与MN在同一条直线上。如图3 所示。可证PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、 2t个单位。OQ=10 2t,F点在直线AB上,FQ=t,MQ=2t,
5、PQ=MQ=CQ=2t,t2t2t=10,t=2。第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4 所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。t2t=10,t=310。综上,符合题意的t值分别为710,2,310。2、( 2010 年北京市)25. 问题:已知ABC中,BAC=2ACB,点D是ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。请你完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当BAC=90 时,依问题中的条件补全右图。观察图形,AB与AC的数量关系为;当推出DAC=15 时,可进一步推出DBC的
6、度数为;可得到DBC与ABC度数的比值为; (2) 当BAC90 时,请你画出图形,研究DBC与ABC度数的比值是否与 (1) 中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。【解答】25. 解: (1) 相等; 15 ;1:3。(2) 猜想:DBC与ABC度数的比值与 (1) 中结论相同。证明:如图2,作KCA=BAC,过B点作BK/AC交CK于点K,连结DK。BAC90 ,四边形ABKC是等腰梯形,CK=AB,DC=DA,DCA=DAC,KCA=BAC,KCD= 3,KCDBAD,2=4,KD=BD,KD=BD=BA=KC。BK/AC,ACB=6,KCA=2ACB,5=ACB,5=6,KC=KB,K
7、D=BD=KB,KBD=60 ,ACB=6=601,BAC=2ACB=12021,1 (601) (12021)2=180 ,2=21,DBC与AB C度数的比值为1:3。A C B E x O A B C y P M Q N F D 图 2 x y O A M(C) B(E) D P Q F N 图 3 图 4 y x B O Q(P) N C D M E F D A C B 图 1 B A C D K 1 2 3 4 5 6 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页3、( 2010 年安徽省芜湖市)23(本小
8、题满分12 分)如图,BD是O的直径,OAOB,M是劣弧AB上一点,过点M点作O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点(1)求证:PMPN;(2) 若BD4,PA32AO, 过点B作BCMP交O于C点,求BC的长【解答】解:4、( 2010 年安徽省芜湖市)24(本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B( 33,1)、C( 33,0)、O(0,0)将此矩形沿着过E(3,1)、F(433,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B、C(1)求折痕所在直线EF的解析式;(2)一抛物线经过B、E、B三点,求此二次函数解析式;(3)能
9、否在直线EF上求一点P,使得PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 33 页【解答】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页5、( 2010 年安徽省) 22. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求,连续用20 天时间,采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。九( 1)班数学建模兴趣小组根据调查,整理出第x天(201x且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下:在此期间该养殖场每
10、天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的?假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失,且能在当天全部售出,求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式?(当天收入日销售额日捕捞成本)试说明中的函数y随x的变化情况,并指出在第几天y取得最大值,最大值是多少?【解答】6、( 2010 年安徽省) 23. 如图,已知ABC 111CBA,相似比为k(1k),且 ABC的三边长分别为a、b、c(cba),111CBA的三边长分别为1a、1b、1c。若1ac,求证:kca;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 33 页若1ac,试给
11、出符合条件的一对ABC和111CBA,使得a、b、c和1a、1b、1c进都是正整数,并加以说明;若1ab,1bc,是否存在 ABC和111CBA使得2k?请说明理由。【解答】7、(2010 年福建省德化县)25、(12 分)在 ABC中,AB=BC=2,ABC=120 , 将ABC绕点 B顺时针旋转角 (0120 ),得 A1BC1,交 AC于点 E,AC分别交 A1C1、BC于 D、F 两点(1)如图,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与 FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;(2)如图,当=30时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;(3)在( 2)的情况下,求ED的长【解答】25
12、、( 1)1EAFC ;提示证明1ABEC BF 3 分(2)菱形(证明略)7 分C1A1F E D C B A 图C1A1F E D C B A 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页(3)过点 E作 EG AB ,则 AG=BG=1 在 Rt AEG中,123coscos303AGAEA由( 2)知 AD=AB=2 2233EDADAE 12 分8、 (2010 年福建省德化县) 26、 (12 分)如图 1, 已知抛物线经过坐标原点O和 x 轴上另一点E, 顶点 M的坐标为 (2,4);矩形 ABCD 的顶点
13、A与点 O重合, AD、AB分别在 x 轴、 y 轴上,且AD=2 ,AB=3. (1)求该抛物线的函数关系式;(2)将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图1 所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点 A出发向 B匀速移动,设它们运动的时间为t 秒( 0t 3),直线 AB 与 该 抛物线的交点为N(如图 2 所示) . 当 t=25时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由; 设以 P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问 S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由【解答】26、解:( 1)xxy42 3 分(2)点 P不在直线M
14、E上7 分依题意可知:P(t,t), N(t,tt42)当30t时,以 P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD ,依题意可得:PNCPCDSSS=ODCD21+BCPN21=2321+24212ttt=332tt图 2B C O A D E M y x P N 图 1B C O ( A)D E M y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 33 页=421)23(2t抛物线的开口方向:向下,当t=23,且3230t时,最大S=421当03或t时,点 P、 N都重合,此时以P、 N 、C、D为顶点的多边形是三角形依题意
15、可得,ABCDSS矩形21=3221=3 综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值421 12 分9、( 2010 年福建省福州市)21. (满分 13 分)如图,在 ABC中, C=45, BC=10 ,高 AD=8 ,矩形EFPQ的一边 QP在边上, E、F 两点分别在AB 、AC上, AD交 EF于点 H。(1)求证:AHEFADBC; (2)设 EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;(3)当矩形 EFPQ的面颊最大时,该矩形EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动(当点 Q与点 C重合时停止运动) ,设运动时间为t 秒,矩形 E
16、FPQ与 ABC重叠部分的面积为S,求 S与 t 的函数关系式。【解答】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页10、( 2010 年福建省福州市)22. (满分 14 分)如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线2yx上,过点B 作x轴的垂线,垂足为A,OA=5 。若抛物线216yxbxc过点 O 、 A两点。(1)求该抛物线的解析式;(2)若 A点关于直线2yx的对称点为C,判断点 C是否在该抛物线上,并说明理由;(3)如图 2,在( 2)的条件下, O1是以 BC为直径的圆。过原点O作 O1的切线 OP ,P为切点
17、( P与点 C不重合),抛物线上是否存在点Q ,使得以 PQ为直径的圆与O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 33 页【解答】11、( 2010 年福建省晋江市)25. ( 13 分)已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,3OC,2BC,取AB的中点M,连结MC,把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO. (1) 试直接写出点D的坐标;(2) 已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作xPQ轴于点Q,连结OP. P、Q
18、为顶点的三角形与DAO相 若 以O、似,试求出点P的坐标;物线的对称轴上是否存在一点T,使 试 问 在 抛得TBTO的 值 最大. A O x B C M y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 33 页【解答】25. (本小题13 分)解: (1) 依题意得:2,23D;( 3 分)(2) 3OC,2BC,2, 3B. 抛物线经过原点,设抛物线的解析式为bxaxy20a又抛物线经过点2, 3B与点2,23D22349, 239baba解得:32,94ba抛物线的解析式为xxy32942. (5 分)点P在抛物线上,A O
19、 x D B C M y E P T Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 33 页设点xxxP3294,2. 1) 若PQODAO,则AOQODAPQ,22332942xxx,解得:01x( 舍去 ) 或16512x,点64153,1651P. (7 分)2) 若OQPDAO,则AOPQDAOQ,23294232xxx,解得:01x( 舍去 ) 或292x,点6,29P.(9 分)存在点T,使得TOTB的值最大 . 抛 物 线xxy32942的 对 称 轴 为 直 线43x, 设 抛 物 线 与x轴 的 另 一 个 交
20、 点 为E, 则 点0,23E. (10 分)点O、点E关于直线43x对称,TETO(11 分)要使得TBTO的值最大,即是使得TBTE的值最大,根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 可 知 , 当T、E、B三 点 在 同 一 直 线 上 时 ,TBTE的 值 最大. (12 分)设过B、E两点的直线解析式为bkxy0k,023,23bkbk解得:2,34bk直线BE的解析式为234xy. 当43x时,124334y. 存在一点1,43T使得TOTB最大 . (13 分)12、(2010 年福建省晋江市)26. (13 分)如图,在等边ABC中,线段AM为BC边上的中线 .
21、动点D在直线AM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 33 页上时,以CD为一边且在CD的下方作等边CDE,连结BE. (1) 填空:_ACB度;(2) 当点D在线段AM上( 点D不运动到点A) 时,试求出BEAD的值;(3) 若8AB,以点C为圆心,以5 为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点,在点D运动的过程中( 点D与点A重合除外 ) ,试求PQ的长 . 【解答】26. (本小题13 分)(1)60 ;(3 分)(2) ABC与DEC都是等边三角形BCAC,CECD,60DCEACBBCEDCBDCBACDBCEACD
22、(5 分)ACDBCESASBEAD,1BEAD. (7分)(3) 当点D在线段AM上(不与点A重合)时,由(2) 可知ACDBCE,则30CADCBE,作BECH于点H,则HQPQ2,连结CQ,则5CQ. 在CBHRt中,30CBH,8ABBC,则421830sinBCCH. 在CHQRt中,由勾股定理得:3452222CHCQHQ,则62HQPQ. (9 分) 当 点D在 线 段AM的 延 长 线 上 时 , ABC与DEC都是 等边三角形EBMACDA B C 备用图 (1) A B C 备用图 (2) PQEBMADCHQPEBMADC精选学习资料 - - - - - - - - -
23、名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 33 页BCAC,CECD,60DCEACBDCEDCBDCBACBBCEACDACDBCESAS30CADCBE,同理可得:6PQ. (11 分)当点D在线段MA的延长线上时,ABC与DEC都是等边三角形BCAC,CECD,60DCEACB60ACEBCEACEACDBCEACDACDBCESASCADCBE30CAM150CADCBE30CBQ. 同理可得:6PQ. 综上,PQ的长是 6. (13 分)13、( 2010 年福建省龙岩市)24. ( 13 分)在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(10,0),( 2,4) . (
24、1)若点C是点B关于 x 轴的对称点,求经过O 、C、A三点的抛物线的解析式;(2)若P为抛物线上异于C的点,且OAP是直角三角形,请直接写出点P的坐标;(3)若抛物线顶点为D,对称轴交x 轴于点M, 探究:抛物线对称轴上是否存在异于D的点Q ,使AQD是等腰三角形,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】PQEBMADC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 33 页则结合图形,可求得满足条件的 Q点坐标为 (5,541254),(5,541254) 记为 Q2(5,541254),Q3(5,541254)
25、;11分若QDQA则设Q(5,y ),由225254yy解得 y=2528, 所以满足条件的 Q点坐标为( 5,2528),记为 Q4(5,2528) 12 分所以,满足条件的点 Q有 Q1(5,254),25 41-25Q (5,)4,35 41+25Q (5,-)4,425Q (5,2-)81 3 分14、( 2010 年福建省龙岩市)25. ( 14 分)如图, 将含 30角的直角三角板ABC(A=30 )绕其直角顶点C逆时针旋转角 (09 0) , 得到 RtA B C,A C 与AB交于点D,过点D作 DEA B交CB 于点E,连结BE.易知,在旋转过程中,BDE为直角三角形 . 设
26、 BC=1,AD=x,BDE的面积为 S. (1)当30时,求x的值 . (2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 33 页(3)以点E为圆心,BE为半径作E,当 S=14ABCS时,判断E与A C的位置关系,并求相应的tan值. 【解答】过D作 DFAC 于F,则1124DFx,334AFDF333344CF3tan9DFCF. 1 2 分当32x时,31222BD,32BE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共
27、 33 页221DEBDBE1122ECDEBE 此 时E 与A C相交. 1 3 分同理可求出34tan3134. 1 4 分15、(2010 年福建省南安市)25 (13 分) 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ,其横截面如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为cxy2201且过顶点 C(0,5)(长度单位:m )(1)直接写出c 的值;(2)现因搞庆典活动,计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地毯,地毯的价格为20 元 / 2m, 求购买地毯需多少元?(3)在拱桥加固维修时,搭建的“脚手架”为矩形EFGH (H、G分别在抛物线的左右侧上),并铺设斜面EG.已知
28、矩形EFGH 的周长为27.5 m ,求斜面EG的倾斜角 GEF 的度数 . (精确到 0.1 )【解答】25(本小题13 分)解(1)c=5 3分(2)由( 1)知, OC=5 ,4分令0y,即052012x,解得10,1021xx5分地毯的总长度为:3052202OCAB,6分900205 .130(元)答:购买地毯需要900 元7分(3) 可设 G的坐标为)5201,(2mm, 其中0m,则5201,22mGFmEF 8分由已知得:5.27)(2GFEF,即5.27)52012(22mm,9分解得:35, 521mm(不合题意,舍去)10分把51m代入52012m75.3552012精选
29、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 33 页点 G的坐标是( 5,3.75 ) 11分75.3,10 GFEF在RtEFG中,375.01075.3tanEFGFGEF,12 分06.20GEF13 分16、( 2010 年福建省南安市)26. (13 分)如图1,在RtABC中,90A,ABAC,4 2BC,另有一等腰梯形DEFG(GFDE)的底边DE与BC重合,两腰分别落在AB 、AC上,且 G 、F 分别是 AB 、AC的中点(1)直接写出 AGF 与ABC的面积的比值;(2)操作:固定ABC,将等腰梯形DEFG以每秒
30、1 个单位的速度沿BC方向向右运动,直到点D与点C重合时停止设运动时间为x秒,运动后的等腰梯形为DEF G(如图 2)探究 1:在运动过程中,四边形FFCE能否是菱形?若能,请求出此时x的值;若不能,请说明理由探究 2:设在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式【解答 】26(本小题13 分)解:( 1) AGF与 ABC的面积比是1:3分(2)能为菱形4分由于 FCFE,CE FF,四边形FFCE是平行四边形5分当221ACCFCE时,四边形FFCE为菱形, 6 分此时可求得2x当2x秒时,四边形FFCE为 7 分分两种情况:当02 2x时,如图 3 过点
31、G作GMBC于MABAC,90BAC,4 2BC,G为AB中点,2GMA F G (D)B C(E)图 1 F G A FGB D C E 图 2 A F G (D)B C(E)图 3 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 33 页又GF,分别为ABAC,的中点,12 22GFBC 8 分方法一:1(2242)262DEFGS梯形等腰梯形DEFG的面积为62GM,2BDG GSx 9 分重叠部分的面积为:62yx当02 2x时,y与x的函数关系式为62yx10 分方法二:2 2FGx,4 2DCx,2GM, 9分重叠部分
32、的面积为:(2 2)(4 2)2622xxyx当02 2x时,y与x的函数关系式为62yx10 分当2 24 2x时,设FC与DG交于点P,则45PDCPCD90CPD,PCPD,作PQDC于Q,则1(42)2PQDQQCx1 1 分重叠部分的面积为:221111(42)(42)(42)2 282244yxxxxx综上,当02 2x时,y与x的函数关系式为62yx;当2 24 2x时,822412xxy13 分17、( 2010 年福建省南平市)25( 14 分)如图 1,在 ABC中, AB=BC ,P为 AB边上一点,连接CP ,以 PA 、PC为邻边作APCD ,AC与 PD相交于点E,
33、已知 ABC= AEP= (0 90) . (1)求证: EAP= EPA ;(2)APCD 是否为矩形?请说明理由;F G A FGB C E 图 4 Q D P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 33 页(3)如图 2,F 为 BC中点,连接FP,将 AEP绕点 E顺时针旋转适当的角度,得到MEN (点 M 、N分别是 MEN 的两边与 BA 、FP延长线的交点). 猜想线段EM与 EN之间的数量关系,并证明你的结论. 【解答 】25、(1) 证明:在 ABC和 AEP中ABC= AEP ,BAC= EAP ACB=
34、 APE在 ABC中, AB=BC ACB= BAC EPA= EAP(2) 答: APCD是矩形四边形 APCD 是平行四边形 AC=2EA, PD=2EP 由( 1)知EPA= EAP EA=EP则 AC=PD APCD 是矩形(3) 答: EM=EN EA=EP EPA=90 12EAM=180 - EPA=180 - (90 - 12)=90 +12由( 2)知 CPB=90 ,F是 BC的中点, FP=FBFPB= ABC= EPN= EPA+ APN= EPA+ FPB=90 - 12 +=90+12 EAM= EPN AEP绕点 E顺时针旋转适当的角度,得到MEN AEP= ME
35、N AEP - AEN= MEN - AEN 即MEA= NEP图 1 A B D C E P 图 2 A B D C E P M N F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 33 页 EAM EPN EM=EN18、(2010 年福建省南平市)26.(14 分 ) 如图 1,已知点B(1,3)、C(1,0),直线 y=x+k 经过点 B ,且与x轴交于点 A,将 ABC沿直线 AB折叠得到 ABD. (1)填空: A点坐标为( _,_), D点坐标为( _,_);(2)若抛物线y= 13x2+bx+c 经过 C、D两点,
36、求抛物线的解析式;(3)将( 2)中的抛物线沿y 轴向上平移,设平移后所得抛物线与y 轴交点为E,点 M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM x轴. 若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由. (提示:抛物线y=ax2+bx+c(a 0) 的对称轴是x=b2a,顶点坐标是(b2a,4a c b24a)【解答 】26. 解:( 1) A(-2,0) ,D(-2,3) (2) 抛物线y= 13x2+bx+c 经过 C(1,0), D(-2,3) 代入,解得: b=- 23 ,c= 13 所求抛物线解析式为:y= 13x2 23x+13
37、(3)答:存在解法一:设抛物线向上平移H个单位能使EM x轴,则平移后的解析式为:y= 13x2 23x+13 +h =31(x -1)2 + h此时抛物线与y 轴交点 E(0,31+h) 当点 M在直线 y=x+2 上,且满足直线EM x轴时则点 M的坐标为(hh31,35)又 M 在平移后的抛物线上,则有31+h=31(h-35- 1)2+hO y x A D B C 图 1 O y x A B C 备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 33 页解得: h=35或 h=311(? )当 h=35时,点 E(0,2)
38、,点 M的坐标为( 0,2)此时,点E,M 重合,不合题意舍去。(ii )当 h=311时, E(0,4)点 M的坐标为( 2,4)符合题意综合( i )( ii )可知,抛物线向上平移311个单位能使EM x 轴。解法二:当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时,仅当M,E重合时,它们的纵坐标相等。EM不会与x轴平行当点 M在抛物线的右侧时,设抛物线向上平移H个单位能使EM x轴则平移后的抛物线的解析式为y=31x2x32+31+h =31(x - 1)2 + h 抛物线与Y轴交点 E(0,31+h)抛物线的对称轴为:x=1 根据抛物线的对称性,可知点M的坐标为( 2,31+h) 时,直
39、线EM x轴将( 2,31+h)代入 y=x+2 得,31+h=2+2 解得: h=311 抛物线向上平移311个单位能使EM x轴19、(2010 年福建省宁德市)25(本题满分13 分)如图,四边形ABCD 是正方形, ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含 B点)上任意一点,将BM绕点 B逆时针旋转60得到 BN ,连接 EN 、AM 、CM. 求证: AMB ENB ; 当 M点在何处时,AM CM的值最小;当 M点在何处时, AM BM CM的值最小,并说明理由; 当 AM BM CM的最小值为13时,求正方形的边长. 【解答 】25(满分13 分)解:ABE是等边三角形,BA
40、BE , ABE 60. MBN 60, MBN ABN ABE ABN. 即 BMA NBE. 又 MB NB, AMB ENB (SAS ). 5 分当 M点落在 BD的中点时, AM CM 的值最小 . 7 分E A D B C N M F E A D B C N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 33 页如图,连接CE ,当 M点位于 BD与 CE的交点处时,AM BM CM的值最小 . 9 分理由如下:连接MN.由知, AMB ENB ,AM EN. MBN 60, MB NB , BMN 是等边三角形.
41、BM MN. AM BM CM EN MN CM. 10 分根据“两点之间线段最短”,得EN MN CM EC最短当 M点位于 BD与 CE的交点处时, AM BM CM的值最小,即等于EC的长 . 11 分过 E点作 EF BC交 CB的延长线于F, EBF 90 60 30. 设正方形的边长为x,则 BF23x,EF2x. 在 Rt EFC中,EF2FC2EC2,(2x)2(23xx)2213. 12 分解得, x2(舍去负值). 正方形的边长为2. 13 分20、( 2010 年福建省宁德市)26. (本题满分13 分)如图,在梯形ABCD中, AD BC ,B90,BC 6,AD 3,
42、DCB 30. 点E、F同时从 B点出发,沿射线BC向右匀速移动. 已知F点移动速度是E点移动速度的2 倍,以EF为一边在CB的上方作等边EFG设 E点移动距离为x(x0). EFG的边长是 _(用含有x的代数式表示),当x2 时,点 G的位置在 _;若EFG与梯形 ABCD 重叠部分面积是y,求当 0x2时,y与x之间的函数关系式;当 2x6时,y与 x 之间的函数关系式;探求中得到的函数y 在 x 取含何值时,存在最大值,并求出最大值. B E F C A D G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 33 页【解答 】
43、26(满分13 分)解: x ,D点;3 分 当 0x2时,EFG在梯形 ABCD内部,所以y43x2;6 分分两种情况:. 当 2x3时,如图1,点 E、点 F 在线段 BC上,EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为四边形EFNM , FNC FCN 30, FNFC 62x. GN 3x6. 由于在 Rt NMG 中, G 60,所以,此时y43x283(3x6)22392398372xx. 9分. 当 3x6时,如图2,点 E在线段 BC上,点 F在射线 CH上,EFG与梯形 ABCD 重叠部分为 ECP ,EC 6x, y83(6x)2239233832xx. 11 分当 0x2时,y4
44、3x2在 x0 时, y 随 x 增大而增大,x2 时, y最大3;当 2x3时,y2392398372xx在 x718时, y最大739;当 3x6时,y239233832xx在 x6 时, y 随 x 增大而减小,x3 时, y最大839. 12 分综上所述:当x718时, y最大739. 13 分B E F C A D G N M 图 1 B E C F A D G P H 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 33 页21、( 2010 年福建省莆田市)24. (本小题满分12 分)如图 1,在 RtABC中
45、,9068ACBACBC ,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点 E,CMBD垂足为MENCD,垂足为N. (1)当AD=CD时,求证:DEAC;(2)探究:AD为何值时,BME与CNE相似?(3)探究:AD为何值时,四边形MEND与BDE的面积相等?24(本小题满分12 分)(1)证明:ADCDDACDCA2BDCDAC1 分又DE是BDC的平分线BDC=2BDEDAC=BDE2 分DEAC3 分(2)解:()当BMECNE时,得MBENCEBD=DCDE平分BDC DEBC ,BE=EC.又ACB=90 DEAC. 4 分BEBDBCAB即2211522BDABACBCAD=5
46、5 分()当BMEENC时,得EBMCEN第 24 题第 24 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 33 页ENBD又ENCD BDCD即CD是ABC斜边上的高6 分由三角形面积公式得AB CD=AC BCCD=24522185ADACCD7 分综上,当AD=5 或185时,BME与CNE相似 . (3)由角平分线性质易得12MDEDENSSDM MEBDEMENDSS四边形12BD EMDMEM即12DMBD8 分EM是BD的垂直平分线. EDB=DBE EDB=CDEDBE=CDE又DCE=BCD CDECBD 9
47、分CDCEDEBCCDBD10 分2CDBEBEBCBDBM即4BECDBM45cos4554BMBCDBE11 分由式得2258CDCEBC3943939cos85810BEBMBEB39112102105ADABBM12 分22、( 2010 年福建省莆田市)25(本小题满分14 分)如图 1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=1,OC=2,点D在边OC上且54OD. (1)求直线AC的解析式;(2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得DMC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请
48、说明理由. 第 24 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 33 页(3)抛物线2yx经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D和点E(点E在y轴正半轴上) ,且ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O处?【解答 】25(本小题满分14 分)解:( 1)OA=1,OC=2 则A点坐标为( 0, 1),C点坐标为( 2,0)设直线 AC的解析式为y=kx+b 0120bkb解得121kb直线AC的解析式为112yx2 分(2)123555(0)(0)(0( 52)384PPP, ,或35(0)4( 52)P,(正确一个得2 分)
49、 8 分(3)如图,设( 1)O x,过O点作O FOC于F222251()4O DO FDFx由折叠知ODO D第 25 题第 25 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 33 页22551()( )44x12x或 2 10 分23、( 2010 年福建省泉州市)25( 12 分)我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形. 你可以利用这一结论解决问题. 如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转 度角后的图形 . 若它与反比例函数xy3的图象分别交于第一、三象限的点
50、B、D,已知点)0,( mA、)0 ,(mC. (1)直接判断并填写:不论取何值,四边形ABCD的形状一定是 ; (2)当点B为)1 ,(p时,四边形ABCD是矩形,试求p、 、和m有值;观察猜想:对中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个? ( 不必说理 ) (3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能, 直接写出B点的坐标 , 若不能 , 说明理由 . 【解答 】25. (本小题12 分)解:( 1)平行四边形( 3 分)(2)点)1 ,( pB在xy3的图象上,p313p(4 分)过B作ExBE轴于,则13,BEOE在BOERt中,3331tanOEBE=30(5 分)2OB又
51、点 B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,点 B、 D关于原点 O成中心对称(6 分)OB=OD=2四边形ABCD为矩形,且)0,( mA)0,(mC2ODOCOBOA(7 分)2m;(8 分)能使四边形ABCD为矩形的点B共有 2 个; (9 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 33 页(3)四边形ABCD不能是菱形 . (10 分)法一:点A、C的坐标分别为)0,( m、)0,(m四边形ABCD的对角线AC在x轴上 . 又点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. 对角线AC与BD不可能垂直 .
52、 四边形ABCD不能是菱形法二:若四边形ABCD 为菱形,则对角线AC BD ,且 AC与 BD互相平分,因为点 A、C的坐标分别为(-m,0)、( m , 0)所以点 A、C关于原点O对称,且 AC在 x 轴上 . (11 分)所以 BD应在 y 轴上,这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,所以四边形ABCD 不可能为菱形. (12 分)24、(2010年福建省泉州市) 26. (14分) 如图所示,已知抛物线kxxy241的图象与y轴相交于点)1,0(B,点(, )C m n在该抛物线图象上,且以BC为直径的M恰好经过顶点A. (1)求k的值 ; (2)求点C的坐标;(3)若点P的纵坐标
53、为t,且点P在该抛物线的对称轴l上运动,试探索:当12SSS时,求t的取值范围(其中:S为PAB的面积,1S为OAB的面积,2S为四边形 OACB 的面积);当t取何值时,点P在M上. (写出t的值即可)【解答 】26. (本小题14 分)解:( 1)点 B(0,1)在kxxy241的图象上,k004112(2 分)k=1(3 分)( 2)由( 1)知抛物线为:22)2(41141xyxxy即顶点 A为( 2,0)( 4 分) OA=2 ,OB=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 33 页过 C( m ,n)作 CD
54、x 轴于 D,则 CD=n ,OD=m , AD=m-2 由已知得 BAC=90 (5 分) CAD+ BAO=90 ,又 BAO+ OBA=90 OBA= CAD RtOAB RtDCA 212nm,OACDOBAD即( 或 tan OBA= tanCAD 212mn,ADCDOBOA即) ( 6 分) n=2(m-2) ;又点 C( m,n)在2)2(41xy上,2)2(41mn2)2(41)2(2mm,即0)10)(2(8mmm=2或 m=10 ;当 m=2时, n=0, 当 m=10时, n=16;(7 分)符合条件的点C的坐标为( 2,0)或( 10,16)( 8 分)(3)依题意得
55、,点C (2,0)不符合条件,点C为( 10,16)此时1211OBOAS212ACDBODCSSS(9 分)又点 P在函数2)2(41xy图象的对称轴x=2 上, P(2,t ), AP= APAPOAS21= (10 分)21SSS当 t 0 时, S=t, 1t 21. (11 分)当 t 0 时, S=-t , -21t -1 t 的取值范围是:1t 21 或 -21t -1 ( 12 分)t=0, 1,17. (14 分)25、( 2010 年福建省漳州市)25(满分13 分)如图,在ABC中, C=90 , AC=4cm ,BC=5cm ,点 D在 BC上,且CD=3cm 动点 P
56、、 Q分别从 A、C两点同时出发,其中点P以 1cm/s 的速度沿AC向终点 C 移动;点Q以54cm/s 的速度沿 CB向终点 B移动过P作 PE CB交 AD于点 E,设动点的运动时间为x 秒(1)用含x 的代数式表示EP ;(2)当 Q在线段 CD上运动几秒时,四边形PEDQ 是平行四边形;(3)当 Q在线段 BD(不包括点B、点 D)上运动时,求四边形EPDQ 面积的最大值t t 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 33 页【解答 】25解:( 1) PE CB , AEP= ADC 又 EAP= DAC , AE
57、P ADC 2 分APEPACDC,34EPx 3 分34EPx4 分(2)由四边形PEDQ1是平行四边形,可得 EP=DQ1. 5 分即35344xx,所以1.5x6分0 x 2.47 分当 Q在线段 CD上运动 1.5 秒时,四边形PEDQ 是平行四边形 . 8分(3)21 35(3) (4)2 44Sxxx四边形 EPDQ9 分21162xx10 分又 2.4 x 4 ,12 分当114x时, S取得最大值,最大值为2516. 13 分26、( 2010 年福建省漳州市)26(满分14 分)如图,直线33yx分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B两点, AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得
58、到 DOC ,抛物线2yaxbxc经过 A、B、 C三点(1)填空: A(,)、 B(,)、 C(,);(2)求抛物线的函数关系式;(3)E为抛物线的顶点,在线段DE上是否存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与DOC 相似?若存在,请求出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 33 页点 P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答 】26. (满分 14 分)(1)A( 1,0), B(0, 3), C(3,0)3 分(2)抛物线2yaxbxc经过 B点, c=3. 又抛物线经过A,C两点,30,9330.abab解得1,2
59、.ab5 分223yxx6 分(3)解:过点E作 EFy 轴垂足为点F. 由( 2)得2223(1)4yxxxE(1, 4)。tan EDF=13,tan DCO=13. EDF= DCO 7 分 DCO+ ODC=90 , EDF+ ODC=90 . EDC=90 , EDC= DOC. 8 分当OCODCDDP时, ODC DPC ,则3110DP, DP=1039 分过点 P作 PG y 轴,垂足为点G. tan EDF=13PGDG,设 PG=x,则 DG=3x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 33 页在 Rt DGP 中, DG2+PG2=DP2. 221099xx,1211,33xx(不合题意,舍去)10 分又 OG=DO+DG=1+1=2, P(13,2)11 分当OCODDPCD时, ODC DCP ,则3110DP DP=3 10. DE=21 310, DP=3 10(不合题意,舍去)13 分综 上所 述, 存在点P,使 得以C、 D、 P 为 顶点 的三 角形 与 DOC 相似 ,此 时点P 的坐 标为P(13,2)14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 33 页