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1、文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 1 页 共 19 页高中数学必修 (1)资料第二章 基本初等函数本章承袭第一章,包含三类基本函数,在学习过程中,会用到第一章所学的函数的性质。本章所包含的三类函数,定义域又有了新的限制条件,图像也各有不同,在解题过程中,同学们一定要习惯去画图。第一部分指数函数1根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n1 且, nN*),那么这个数叫做a 的 n 次方根也就是,若xna,则 x叫做a 的 n 次方根,其中n1 且 nN*.式子na叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数(2)根式的性质 当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是
2、一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号na表示 当 n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n 次方根用符号na表示,负的 n 次方根用符号na表示正负两个n 次方根可以合写为na(a0)nana. 当 n 为奇数时,nana;当 n 为偶数时,nan |a| aa0 a a0. 负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂的有关概念 正整数指数幂:anaa (nN*); 零指数幂: a01(a0) ; 负整数指数幂:a-p1ap(a 0, pN*); 正分数指数幂:amnnam(a0, m、 n N*,且 n1); 负分数指数幂:amn
3、1amn1nam(a 0,m、nN*且 n1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 2 页 共 19 页【注】若a0,p 是一个无理数,则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用3指数函数的图象与性质yaxa1 0a1 图象定义域R 值域(0, ) 性质过定点 (0,1) x0 时, 0y 1 x0 时, y 1. 在( , )上是减函数当 x0 时, 0y1;当 x0 时, y 1;在( , )上是增函数【注 1】当底数没有确定又涉及
4、函数的单调性问题时,要对指数函数和对数函数的底10a或1a进行讨论。【注 2】第一象限中 ,指数函数底数与图象的关系【分析考向】考向一:指数式与根式运算问题指数幂的化简与求值的原则及结果要求1化简原则(1)化负指数为正指数;(2)化根式为分数指数幂;(3)化小数为分数;(4)注意运算的先后顺序精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 3 页 共 19 页2结果要求(1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;(2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示;(
5、3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂. 专题一指数与指数幂的运算例 1(1)2)10((2)44)3((3)2)(ba例 2已知0a,将a aa化为分数指数幂的形式为_.例 3化简下列各式:(1))31()3(656131212132bababa,其中0a,0b. (2))3)(2(32213141yxyx(3)5354215658)(baba例 4计算347625223.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 4 页 共 19 页巩固练习
6、:1.有下列四个命题:其中正确的个数是()正数的偶次方根是一个正数; 正数的奇次方根是一个正数;负数的偶次方根是一个负数; 负数的奇次方根是一个负数。A.0 B.1 C.2 D.3 2.给出下列4 个等式:aa2;aa2)(;aa33;aa33)(。其中不一定正确的是()A. B. C. D. 3.化简)21)(21)(21)(21)(21(214181161321,结果是()A.1321)21(2121B.1321)21(C.32121D.)21(213214.(1)35212的平方根是.(2)52 674 364 2=_. 5.若x满足5)31(44x,则 x 的值为. 6.334433)
7、2()4()2(. 7.化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)21332121231)4()3(65bababa(2)340318)54(064.0(2)3438583213124434181)27()16()3(zyxyxzyx(4)1120322564()0.1()(3 )927精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 5 页 共 19 页专题二比较大小例 1已知3153a,2153b,2134c,则 a,b,c 三个数的大小关系是()A.bacB.abcC.cb
8、aD.cab例 2比较0.7a与0.8a的大小例 3比较221xa与22xa(0a,且1a)的大小巩固练习:1.已知 ab,ab0下列不等式(1)a2b2,(2)2a2b,(3)ba11,(4)a31b31,(5)(31)a(31)b中恒成立的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.若103aa,则 a 的取值范围为 _3.设5.014y,48. 028y,5.13)21(y,则()A. 213yyyB. 312yyyC.321yyyD. 231yyy4.比较1. 04.1与3. 09 .0的大小 . 5.122、133、166这三个数的大小关系为()A. 166133122B. 1
9、66113223C. 122133166D. 133122166精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 6 页 共 19 页专题三指数式的化简求值例 1已知3 3,a求322123( 3)9a ba bab的值。例 2已知12,27xyxy,且xy。 求11221122xyxy的值。例 3已知32121aa,求下列各式的值。(1)1aa(2)22aa(3)21212323aaaa巩固练习:1.已知221xa,求33xxxxaaaa的值。精选学习资料 - - - - -
10、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 7 页 共 19 页2.已知32121xx,求23222323xxxx的值3.已知333czbyax,且1111zyx,求证:31313131222)(cbaczbyax.专题四指数函数类型一指数函数的定义1.下列函数中指数函数的个数是()xy32;13xy;xy3 ;3xyA.0 个B.1 个C.2个D.3 个2.2(33)xyaaa是指数函数,则a的值为. 类型二指数函数过定点问题1.指数函数xay) 10(aa且恒过点 _. 2.指数函数( )f x的图
11、象过点)9 ,2(,则( 2)f_. 3.函数5( )26xf x恒过定点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 8 页 共 19 页类型三指数函数的单调性例 1讨论函数xxf322)(的单调性,并求其值域。例 2讨论函数xxxf22)31()(的单调性,并求其值域。例 3讨论函数2)21()41(1xxy的单调性。例 4若函数221(0xxyaaa且1)a在 1 1x上的最大值为14,求 a 的值 . 巩固练习:1.求下列函数的单调性:(1)1212xxy(2)
12、xxy422精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 9 页 共 19 页(3)1329xxy(4)xy3)31(2.已知21x,求函数xxxf9323)(1的最大值和最小值。3.已知 2, 3x,求12141)(xxxf的最小值与最大值。类型四利用单调性解不等式例 1不等式 622xx 0 , a 1 ;0,1mm). 5.两个常用的推论:(1)loglog1abba;( 2)loglogmnaanbbm(a、0b且均不为1)6.常用的结论:(1)01loga,( 2
13、)1log aa. (3)对数恒等式:如果把Nab中的 b 写成Nalog, 则有NaNalog. 三、常用对数1.我们通常将以10 为底的对数叫做常用对数为了简便 ,N 的常用对数N10log简记作 lgN例如:5log10简记作lg5 ; 5. 3log10简记作 lg3.5. 2.自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828 为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便, N 的自然对数Nelog简记作 lnN四、对数函数1.对数函数的定义:函数xyalog)10(aa且叫做对数函数,定义域为),0(2.对数函数的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
14、归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 14 页 共 19 页通过列表、描点、连线作xy2log与xy21log的图象:总结: 根据图像可知xy2log与xy21log的图象是关于x 轴对称。3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。(1)xy2log(2)xy21log(3)xy3log(4)xy31log3.对数函数的性质由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质a1 0a 1 图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.
15、5-112345678011性质定义域:( 0,+ )值域: R过点( 1,0),即当x=1 时, y=0 )1 ,0(x时,0y), 1(x时,0y)1 ,0(x时,0y),1 (x时,0y在( 0, + )上是增函数在( 0,+ )上是减函数专题一对数与指数的换算1.对数式与指数式的转化:(1)62554(2)38log2(3)16)41(232.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
16、-第 14 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 15 页 共 19 页专题二对数的运算性质1.求下列各式的值:(1)log26log23 (2)lg5lg2 (3)log53log513(4)log35log315 2.(1)求32log9log278的值 . (2)求证:zzyxyxlogloglog. 巩固练习:(1)计算5log4log85. (2)已知ba4log,3log55,求:12log25(用 a,b 表示) . 3.计算( 1)8log22_;( 2)5log22_;( 3)8log5 .02_. 巩固练习:(1)0.21 log35;(2)
17、4492log 3 log 2log32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 16 页 共 19 页4.化简(1)25log4_; (2)25log51_; (3)9lg243lg=_; (4)aalog_ (10aa且) ;(5)1loga_. 专题三对数函数的综合运算例 1计算:(1)lg14-2lg37+lg7-lg18 (2)2.1lg10lg38lg27lg巩固练习:(1)lg27lg8lg 1 000lg1.2;(2)(lg5)2lg2 lg50. 例
18、 2计算:( 1)0.21 log35;(2)4492log 3 log 2log32巩固练习:求值:(1)1log864log325log21025;(2)lg25+lg2lg50+(lg2)2 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 17 页 共 19 页例 3已知a3log2,b7log3,用a, b 表示56log42. 例 4若8log 3p,3log 5q,求lg 5例 5计算:421938432log)2log2)(log3log3(log例 6若
19、2loglog8log4log4843m,求 m 例 7已知 lga 和 lgb 是关于 x 的方程 x2xm0 的两个根,而关于x 的方程 x2(lga)x(1lga)0 有两个相等的实数根,求实数a,b 和 m 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 18 页 共 19 页例 8计算:12lg)2(lg52lg)2(lg222.例 9设1643tzyx,求证:yxz2111巩固练习:1.已知 2x3y,则xy()A.lg2lg3B.lg3lg2C.lg23D
20、.lg322.若 lg2a,lg3b,则 log512=_. 3.求值: (1)2log2)(log3log3(log9384;(2)32log9log278;(3)5log2139.4.已知18log9a,185b,求36log45(用a, b 表示)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第 19 页 共 19 页5.已知 3a5bM,且1a1b2,求 M 的值 . 6.计算:( 1)3log15.222ln1001lg25.6loge(2)2)2(lg50lg2lg25lg7.若alg、blg是方程01422xx的两个实根,求:2)(lg)lg(baab的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页