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1、复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 解析函数的概念与柯西解析函数的概念与柯西-黎曼方程黎曼方程第二节第二节 初等解析函数初等解析函数第三节第三节 初等多值解析函数初等多值解析函数1复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.导数导数:第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程在定义中应在定义中应注意注意:2复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1 解解即即例例2 解解3复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例3 解解4复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例4 解解5复
2、变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院2.可导与连续可导与连续: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但函数但函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.6复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院3.求导法则求导法则:7复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院4.微分微分:特别地特别地, 8复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院二、解析函数的概念二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义2. 奇点的定义奇点的定义 若函数 在点 不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为函数
3、的奇点. 9复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院根据定义可知根据定义可知:1、函数在、函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.2、函数在、函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念. （即函数在一点处可导（即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.）注意：注意：（1） 在点 解析，则 在点 的某邻域内可微；（2） 在点 解析，则 在点 可微；（3） 在区域 内解析，则 在区域 内可微；（4） 在区域 内解析，
4、则 在区域 内点点解析；P56（1,2，反之不对），反之不对）10复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1解解例例2解解课后思考题：课后思考题：答案答案: 处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .11复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院12复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院定理：定理：以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则，可知：可利用求导法则，可知：(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.13复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院 如果 是可微的， 的实部 与虚部 应当不是相互独立的，而是必须适合一定的条
5、件。 若若 在一点在一点 可微，设可微，设设设（1）则（则（1）变为：）变为：（2）三、柯西三、柯西- -黎曼方程（黎曼方程（C.-R.C.-R.方程）方程） 14复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院（2）情况一：情况一： 即变点即变点 沿平行于实轴的方向趋于点沿平行于实轴的方向趋于点 则（则（2）变为：）变为：知知 存在，有存在，有情况二：情况二： 即变点即变点 沿平行于虚轴的方向趋于点沿平行于虚轴的方向趋于点 则（则（2）变为：）变为：知知 存在，有存在，有（3）（4）15复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院由（由（3），（），（4）得：）得：-称为：称为：柯西柯西-黎曼方
6、程（黎曼方程（C.-R.方程）方程）（2） 在点在点 满足满足C.-R.方程方程.定理定理2.1 （可微的必要条件可微的必要条件）设函数）设函数在区域在区域 内有定义，且在内有定义，且在 内一点内一点 可微可微，则必有，则必有（1）偏导数）偏导数 在点在点 存在存在；16复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院（2） 在点在点 满足满足C.-R.方程方程.定理定理2.2 （可微的充要条件可微的充要条件）设函数）设函数在区域在区域 内有定义，则内有定义，则 在在 内一点内一点 可微可微的充要条的充要条件是：件是：（1）二元函数）二元函数 在点在点 可微可微；满足上述条件，满足上述条件， 在点
7、在点 的导数可以表示为下列形式之的导数可以表示为下列形式之一：一：推论推论2.3 （可微的充分条件可微的充分条件）设函数）设函数在区域在区域 内有定义，且在内有定义，且在 内一点内一点 可微可微的充分条件是的充分条件是（1） 在点在点 处处连续连续；（2） 在点在点 满足满足C.-R.方程方程.17复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院（2） 在在 内内 满足满足C.-R.方程方程.定理定理2.5 （解析的充分条件解析的充分条件）设函数）设函数在区域在区域 内内解析解析的充分条件是：的充分条件是：（1） 在在 内内连续连续；（2） 在在 内内 满足满足C.-R.方程方程.定理定理2.4
8、（解析的充要条件解析的充要条件）设函数）设函数在区域在区域 内内解析解析的充要条件是：的充要条件是：（1）二元函数）二元函数 在区域在区域 内内可微可微；18复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1解解（注：由定理（注：由定理2.5知，函数知，函数 在复平面内解析）在复平面内解析）19复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :注注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。注注2 解析函数的导数形式更简洁
9、。解析函数的导数形式更简洁。20复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院四、典型例题四、典型例题解解不满足不满足C.-R.方程方程,例例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：判断下列函数在何处可导，在何处解析：四个偏导数均连续四个偏导数均连续, 但是但是 , , 0 满足满足C.-R.C.-R.方程方程时时仅当仅当= = = yx21复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例2解解P56 例例2.7 ，例，例2.8 ，例，例2.922复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例3证证: 因为因为类似可进一步证明类似可进一步证明:P91( ) .)(,5) 2( 常数则中的一个条
10、件满足如果=-zff23复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院思考题思考题：P58（1）复变函数的可微性与解析性有什么异同？（2）判断函数的解析性有哪些办法？24复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义:第二节第二节 初等解析函数初等解析函数指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式:25复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院注意：注意：1 1、满足加法定理、满足加法定理2 2、具有周期性、具有周期性3 3、极限、极限 不存在，即不存在，即 无意义无意义. .4 4、不满足罗尔定理，但满足洛必达法则、不满足罗尔定
11、理，但满足洛必达法则. .26复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1解解例例2 解解27复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院二、三角函数和双曲函数二、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义将将两式相加与相减两式相加与相减, 得得现在把它们定义推广到自变数取现在把它们定义推广到自变数取复值复值的情况：的情况：（1）（2）正弦函数正弦函数和和余弦函数余弦函数在复平面内都是在复平面内都是解析函数解析函数.（3）28复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院（4）有关）有关正弦函数和正弦函数和余弦函数的余弦函数的几组重要公几组重要公式式( (注意：这是与实函数完全不
12、同的注意：这是与实函数完全不同的) )事实上，事实上，P62 例例2.12（5） 的的零点零点 ， 的的零点零点 .（6）29复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院其它三角函数其它三角函数30复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院2. 双曲函数的定义双曲函数的定义它们的导数分别为它们的导数分别为它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,显然显然这些函数都是解析函数这些函数都是解析函数，各有其解析区域，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。,2cosh zzeez- -+ += =为为我们定义双曲余弦函数我们定义
13、双曲余弦函数31复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院思考题思考题: 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?答案答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是最大的区别是, 实变三角函数中实变三角函数中, 正余弦函数正余弦函数都是有界函数都是有界函数, 但在复变三角函数中但在复变三角函数中, 3.初等复变函数初等复变函数：基本初等复变函数经过加
14、、减、乘、：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为所形成的复变函数称为初等复变函数初等复变函数,简称为简称为复变函数复变函数.32复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院定义定义2.8(单叶函数单叶函数）设函数设函数f(z)在区域在区域D内有定义内有定义,且对且对D内任意不同内任意不同的两点的两点z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),则称函数则称函数 f(z)在在D内是内是单单叶叶的的.并且称区域并且称区域D为为f(z)的的单叶性区域单叶性区域.显然显然,区域区域D到区域到区域
15、G的单叶满变换的单叶满变换w=f(z)就是就是D 到到G的一一变换的一一变换.f(z)=z2不是不是C上的单叶函数上的单叶函数. f(z)=z3是是C上的单叶函数上的单叶函数第三节 初等多值函数33复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院一、根式函数一、根式函数定义：根式函数定义：根式函数 是幂函数是幂函数 的反函数（的反函数（n n是大于是大于1 1的整的整数）数）. .1、幂函数、幂函数 的性质的性质 (1) 在在w平面上单值解析，且平面上单值解析，且 (2) 在在w平面上单值多叶平面上单值多叶. (3) 的变换性质的变换性质. 扩充扩充 平面平面 扩充扩充 平面平面， 射线射线 射线
16、射线 圆周圆周 圆周圆周 ， 角形角形 角形角形 .令令 ， ，则：，则：34复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院特别地，变换变换 把把 平面上的角形平面上的角形 平面除去平面除去原点及负实轴的区域原点及负实轴的区域：一般，变换一般，变换 把张度为把张度为 的的n n个角形个角形pqp) 12() 12+-kk（除去原点及负实轴的区域除去原点及负实轴的区域35复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院2 2、幂函数、幂函数 的单叶性区域的单叶性区域（1） 的单叶性区域的一种分法的单叶性区域的一种分法.即即 都是都是 的单叶性区域的单叶性区域. .（2）判断区域是单叶性区域的办法）判断
17、区域是单叶性区域的办法定理：定理： 是是 的单叶性区域的单叶性区域36复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院3 3、根式函数、根式函数 的单值解析分支的单值解析分支当当 时，根式函数时，根式函数 （1 1）根式函数多值原因）根式函数多值原因： 自变量自变量 确定后，其幅角确定后，其幅角 并不惟一确定，可以相差并不惟一确定，可以相差 的整数倍，即可以随意绕原点转整圈，从而使根式函数的整数倍，即可以随意绕原点转整圈，从而使根式函数 是多值函数是多值函数. .37复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院（2 2）分出）分出 的单值解析分支的单值解析分支 P67-68P67-68因此，在区域
18、因此，在区域 内，对每一个内，对每一个 ，得到，得到 的的 个不同个不同的单值的单值连续连续分支函数：分支函数： 又又 在在 内解析，且内解析，且 故故 也是也是 的的 个不同的单值个不同的单值解析解析分支函数分支函数. .38复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院定义定义1 设设 为多值函数，为多值函数， 为一定点，作小圆周为一定点，作小圆周 ，若变点，若变点 沿沿 转一周，回到出发点时，转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称函数值发生了变化，则称 为为 的的支点支点，如，如就是其一个支点，这时绕就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点转一周也可看作绕点转一周，故点转一周，故点
19、 也是其一个支点也是其一个支点. 4 4、 的支点及支割线的支点及支割线注：一般地，多值函数的支点是这样的点，使当变点注：一般地，多值函数的支点是这样的点，使当变点 绕这绕这点一周时，多值函数从其一支变到另一支点一周时，多值函数从其一支变到另一支. .39复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院定义定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支的割线，称为多值函数的支割线支割线.(如如 可以以负实轴为支割线可以以负实轴为支割线.)注注 a) 支割线可以有两岸支割线可以有两岸,单值分支在两岸取不同的值单值分支在两岸取不同的值
20、.c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.上岸下岸(e)每一单值分支在支割线上是每一单值分支在支割线上是不连续的不连续的.d) 对对 ，当以负实轴为支割线时，当，当以负实轴为支割线时，当 时取时取正值的那个分支称为正值的那个分支称为主值支主值支.b)支割线的不同做法，分支也就不同支割线的不同做法，分支也就不同; 但但 仍互不相交而填满仍互不相交而填满整个整个 平面平面.(f)包含或包围原点包含或包围原点 的区的区域域 内，不可能把内，不可能把 分成分成 个独立的单值解析分支个独立的单值解析分支.40复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育
21、学院例例2.15 2.15 设设 确定在从原点确定在从原点 起沿负实轴割破了的起沿负实轴割破了的 平面上，并且平面上，并且 . .试求试求 的值的值. . 解解 设设 ，则，则（1）由已知条件定）由已知条件定 时时要要 必必或者：直接由或者：直接由 的幅角的幅角 ，合于，合于 看出看出 ，因而，因而 .(2)求求因因 故故 注：定支求值法注：定支求值法41复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院二、对数函数二、对数函数定义：对数函数是指数函数的反函数。满足方程定义：对数函数是指数函数的反函数。满足方程 则复数则复数 称为复数称为复数 的的对数对数，记为：，记为：1、 是一个无穷多值函数是一
22、个无穷多值函数.42复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院2、 的一般值的一般值 的主值（主值支）的主值（主值支） 注注： w=Lnz是指数函数是指数函数ew=z的反函数，的反函数，Lnz一般不能写成一般不能写成lnz,43复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1 解解注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对数函数是实变数而复变数对数函数是实变数对数函数的推广对数函数的推广. 例例2 例例3 44复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例4解解3. 对数函数的性质对数函数的性质45复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院4 4、指数函
23、数、指数函数 的变换性质的变换性质令令则则成为：成为： 平面平面 平面平面 水平直线水平直线射线射线线段线段圆周圆周带形带形角形角形特别，变换特别，变换 把把 平面上的带形平面上的带形 变成变成 平面上除去原点及平面上除去原点及负实轴的区域负实轴的区域 .46复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院5 5、指数函数、指数函数 的单叶性区域的单叶性区域（1）变换）变换 把宽为把宽为 的带形的带形都变成都变成 平面上除去原点及负实轴的区域平面上除去原点及负实轴的区域. P77 图图2.10 （2）判断区域是单叶性区域的办法）判断区域是单叶性区域的办法的点的点 不属于不属于 . 对于区域对于区域
24、 内任一点内任一点 ，满足条件，满足条件 （ 为非零整数）为非零整数） 47复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院6 6、对数函数、对数函数 的单值解析分支的单值解析分支就是一个就是一个单值连续分支函数单值连续分支函数，记为：，记为：（1）在）在 平面上割破负实轴的区域平面上割破负实轴的区域 内：内：每取定一个每取定一个 值，值，（2） 在区域在区域 内解析，有内解析，有故故 有无穷多个单值解析分支有无穷多个单值解析分支.7 7、对数函数、对数函数 的支点和支割线的支点和支割线支点：支点：0和和（特别地，（特别地， 的支点：的支点： 和和 ）支割线：连接支割线：连接 和和 的简单曲线的简
25、单曲线.（如负实轴）（如负实轴）48复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1 1 设设 定义在沿负实轴割破的平面上，且定义在沿负实轴割破的平面上，且解：解：求值：求值： （是下岸相应点的函数值）求（是下岸相应点的函数值）求 的值的值. .注：定支求值法注：定支求值法49复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院三、一般幂函数与一般指数函数三、一般幂函数与一般指数函数1、定义：、定义： （ 为复常数）为复常数）称为称为 的的一般幂函数一般幂函数. 注：注：（1 1）是实数域中）是实数域中 （ 为实数）在复数域为实数）在复数域中的推广中的推广. .（2） 取整数取整数 或分数或分数 时
26、，则分别为时，则分别为 （3）其中，其中， 是多值函数，所以是多值函数，所以 也是多值函数也是多值函数;而而 是是 所所有的值中的一个有的值中的一个.50复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院讨论讨论 的三种情形：的三种情形：（1） 为一为一整数整数 时，有时，有 ， 为单值为单值. （2） 为为 （有理数有理数），有），有 ,只能取只能取 个不同的值，即当个不同的值，即当 时的对应值时的对应值.（3） 是一是一无理数或虚数无理数或虚数，则，则 所有值各不相同，所有值各不相同， 就有无限多解就有无限多解. 注：注： 是多值函数，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面是多值函数，它的各个分
27、支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，有内是解析的，有51复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院2、定义：、定义： （ 为一复常为一复常数）称为数）称为 的的一般指数函数一般指数函数. 注：它是无穷多个独立的、在注：它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。平面上单值解析的函数。52复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例1 1求求 的主值的主值. .解解的主值为的主值为例例2 2求求 的主值的主值. .解解的主值为的主值为53复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例3 3解解的主值为：的主值为：故故幅角的主值为：幅角的主值为：54复变函数论复变函数论广西教育学院广
28、西教育学院四、具有有限个支点的情形四、具有有限个支点的情形设有任意设有任意N次多项式：次多项式：分别为分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为的一切相异零点，对应重数为且有且有则函数则函数的支点有以下结论：的支点有以下结论：(1) 的可能支点为的可能支点为 和和 ；(2) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；(3) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；(4) 若若 能整除能整除 中若干个之和，则中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后
29、，函沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变数值不变.55复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院例例 考查下列函数有哪些支点考查下列函数有哪些支点. .解：解：（1 1）支点为）支点为（2 2）支点为）支点为（3 3）可能支点为）可能支点为 ，就可将，就可将0 0与与1 1，2 2与与3 3，分别用直线联结成割线，抱成两个团，余下，分别用直线联结成割线，抱成两个团，余下4 4与点与点 联结成一条割线联结成一条割线. . （4 4）可能支点为）可能支点为 ，就可将，就可将0 0与与1 1，2 2用用直线联结成一条割线，抱成一个团，余下将直线联结成一条割线，抱成一个团，余下将3 3，4 4与点与点 联结成一条割线联结成一条割线. . 56复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院1. 反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数57复变函数论复变函数论广西教育学院广西教育学院2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义例例1 1解解58
