2022年八年级因式分解难题

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1、第1页（共 31页）2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2一填空题（共10 小题）1已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2） （x4） ，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：3若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是4分解因式： 4x24x3=5利用因式分解计算： 2022+202196+982=6ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则 ABC的形状是7计算： 1222+

2、3242+5262+ 1002+1012=8定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2）=3ab=ba若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，则 a=1或 b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 9如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多项式 x26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值是二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（ n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除12因式分解： 4x2y4xy+y13因式分解精选学习资料 - - - - - - -

3、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页第2页（共 31页）（1）a3ab2（2） （xy）2+4xy14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知ABC的三边长 a，b，c都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+| 3c| =0，请问 ABC是怎样形状的三角形？15 如果一个正整数能表示为两个连续偶

4、数的平方差，那么称这个正整数为 “ 和谐数” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为16如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形的纸片精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页第3页（共

5、 31页）（1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系， 将多项式 a2+3ab+2b2分解因式（2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形17 （1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积；由此，

6、你可以得出的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图18已知 a+b=1，ab=1，设 s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页第4页（共 31页）（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算 s3的过程：因为 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s2（ 1）=s2+

7、1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4（3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s619 （1）利用因式分解简算： 9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式： 4a（a1）2（1a）20阅读材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（

8、2）已知 ABC的三边长 a、b、c都是正整数，且满足a2+b26a8b+25=0，求ABC的最大边 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c=21仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3） ，求另一个因式以及m的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页第5页（共 31页）解：设另一个因式为 （x+n） ， 得 x24x+m= （x+3）（x+n） ， 则 x24x+m=x2+ （n+3）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一个因式

9、为（ x7） ，m 的值为 21问题：（1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2） （x+a） ，则 a=；（2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1） （x+5） ，则 b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5xk 有一个因式是（2x3） ，求另一个因式以及k 的值22分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）223已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，试确定三角形的形状24分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab2

10、25图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为；（2）观察图请你写出三个代数式（m+n）2、 （mn）2、mn 之间的等量关系是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页第6页（共 31页）（3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2=（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了（5）试画出一个几何图形， 使它的面积能表示 （m+n） （m+3n）=m2+4mn+3n226已知 a、b、c 满足 ab=8，a

11、b+c2+16=0，求 2a+b+c 的值27已知：一个长 方体 的长 、宽 、 高分别 为正 整数 a、 b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积28 （x24x）22（x24x）1529阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x） 1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次（2） 若分解 1+x+x （x+1） +x （x+1）2+ +x （x+1）2004， 则需应用上述方法次，结果是（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ +x

12、（x+1）n（n 为正整数）30对于多项式 x35x2+x+10，如果我们把 x=2代入此多项式，发现多项式x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x2） （注：把 x=a 代入多项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页第7页（共 31页）式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（ xa） ） ，于是我们可以把多项式写成： x35x2+x+10=（x2） （x2+mx+n） ，（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x32x213x10 的因式精选学习资料 -

13、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页第8页（共 31页）2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一填空题（共10 小题）1 （2016 秋?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160【分析】 首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可【解答】 解： x+y=10，xy=16，x2y+xy2=xy（x+y）=1016=160故答案为： 160【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式， 正确找出公因式是解题关键2 （2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因

14、式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x2） （x4） ，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x3）2【分析】 根据多项式的乘法将2（x1） （x9）展开得到二次项、常数项；将 2（x2） （x4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2 后利用完全平方公式分解因式【解答】 解： 2（x1） （x9）=2x220x+18；2（x2） （x4）=2x212x+16；原多项式为 2x212x+182x212x+18=2（x26x+9）=2（x3）2【点评】 根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式

15、分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页第9页（共 31页）项正确3 （2015 春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是4【分析】 利用完全平方公式（ a+b）2=（ab）2+4ab、 （ab）2=（a+b）24ab计算即可【解答】 解： x2+mx+4=（x2）2，即 x2+mx+4=x24x+4，m=4故答案为： 4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键4 （2

16、015 秋?利川市期末）分解因式：4x24x3=（2x3） （2x+1）【分析】 ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2的积 c1?c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2+bx+c=（a1x+c1） （a2x+c2） ，进而得出答案【解答】 解：4x24x3=（2x3） （2x+1） 故答案为：（2x3） （2x+1） 【点评】 此题主要考查了十字相乘法分解因式， 正确分解各项系数是解题关键5 （2015 春?东阳市期末）利用因式分

17、解计算： 2022+202196+982=90000【分析】 通过观察，显然符合完全平方公式【解答】 解：原式 =2022+2x202x98+982精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页第10页（共 31页）=（202+98）2=3002=90000【点评】 运用公式法可以简便计算一些式子的值6 （2015 秋?浮梁县校级期末） ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC的形状是等边三角形【分析】 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ ab）2+（ac）2+（bc）2=0，

18、得出： a=b=c，即选出答案【解答】 解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即 a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0，即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，解得： a=b=c，所以， ABC是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】 此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定 ABC是等边三角形7 （2015 秋?鄂托克旗校级期末）计算： 1222+3242+5262+ 1002+1012=5151【分析】 通过观察，原式变为1+（3222）+（52

19、42）+（10121002） ，进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】 解：1222+3242+5262+ 1002+1012=1+（3222）+（5242）+（10121002）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页第11页（共 31页）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+ +（101+100）=（1+101）1012=5151故答案为： 5151【点评】此题考查因式分解的实际运用， 分组分解，利用平方差公式解决问题8 （2015 秋?乐至县期末）定义运算ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2

20、（2）=3ab=ba若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，则 a=1或 b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 【分析】 根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断【解答】 解： 2（2）=（12）（ 2）=2，本选项错误；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故 ab 不一定等于 ba，本选项错误；若 a+b=0，则（ aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本选项正确；若 ab=0，即（1a）b=0，则 a=1或 b=0，本选项正确，其中正确的有故答案为【点评】此题考查了整式的混合运算， 以及有理数的混合

21、运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键9（2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2+a3=0， 代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页第12页（共 31页）0【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可【解答】 解： 1+a+a2+a3=0，a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3） ，=0+0，=0故答案是： 0【点评】 此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题

22、10 （2015 春?昆山市期末）若多项式x26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值是8【分析】 利用配方法进而将原式变形得出即可【解答】 解： x26xb=（x3）29b=（x+a）21，a=3，9b=1，解得： a=3，b=8故答案为： 8【点评】 此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（ n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除【分析】 用平方差公式展开（ n+7）2（n3）2，看因式中有没有20 即可【解答】 解： （n+7）2（n3）2=（n+7+n3） （n+7n+3）=20（n+2） ，（n+7）2（n

23、3）2的值一定能被 20 整除【点评】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2b2=（a+b） （ab） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页第13页（共 31页）12 （2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y4xy+y【分析】 先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】 解：4x2y4xy+y=y（4x24x+1）=y（2x1）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为

24、止13 （2015 秋?成都校级期末）因式分解（1）a3ab2（2） （xy）2+4xy【分析】 （1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （1）原式 =a（a2b2）=a（a+b） （ab） ；（2）原式 =x22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14 （2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26

25、n+9=0（m+n）2+（n3）2=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页第14页（共 31页）m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知ABC的三边长 a，b，c都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+| 3c| =0，请问 ABC是怎样形状的三角形？【分析】 （1）首先把x2+2y22xy+4y+4=0，配方得到（ xy）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b26a6b+18+| 3c|

26、=0，配方得到（ a3）2+（b3）2+| 3c| =0，根据非负数的性质得到a=b=c=3 ，得出三角形的形状即可【解答】 解： （1）x2+2y22xy+4y+4=0x2+y22xy+y2+4y+4=0，（xy）2+（y+2）2=0x=y=2；（2）a2+b26a6b+18+| 3c| =0，a26a+9+b26b+9+| 3c| =0，（a3）2+（b3）2+| 3c| =0a=b=c=3三角形 ABC是等边三角形【点评】此题考查了配方法的应用： 通过配方， 把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题15 （2015 秋?太和县期

27、末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页第15页（共 31页）那么称这个正整数为 “ 和谐数 ” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为2500【分析】 （1）利用 36=10282；20

28、16=50525032说明 36 是“ 和谐数” ，2016不是“ 和谐数 ” ；（2） 设两个连续偶数为2n，2n+2 （n 为自然数） ，则“ 和谐数 ”= （2n+2）2（2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n） （2n+22n）=4（2n+1） ，然后利用整除性可说明 “ 和谐数 ” 一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 中，最小的为： 2202=4，最大的为：502482=196，将它们全部列出不难求出他们的和【解答】 解： （1）36 是“ 和谐数 ” ，2016 不是“ 和谐数 ” 理由如下：36=10282；2016=50525

29、032；（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k） （2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1） ，4（2k+1）能被 4 整除，“ 和谐数” 一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和，S=（2202）+（4222）+（6242）+ +（502482）=502=2500精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页第16页（共 31页）故答案是： 2500【点评】 本题考查了因式分解的应用： 利用因式分解把所求的代数式进行

30、变形，从而达到使计算简化16 （2015 春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为 b 宽为 a 的长方形以及边长为b 的大正方形的纸片（1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系， 将多项式 a2+3ab+2b2分解因式（2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形

31、【分析】 （1）根据小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形与大正方形的面积之和为a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得ab 的值，从而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb） ，其中（ n、m 为正整数）由完全平方公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页第17页（共 31页）可知： （na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2因为现有三种纸片各8 张，n28

32、，m28，2mn8（n、m 为正整数）从而可知n2，m2，从而可得出答案【解答】 解： （1）如图：拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形a2+3ab+2b2=（a+2b） （a+b） ；（2）长方形的周长为34，a+b=17小正方形与大正方形的面积之和为169，a2+b2=169将 a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，2ab=289169，ab=60长方形的面积为60（3）设正方形的边长为（ na+mb） ，其中（ n、m 为正整数）正方形的面积 =（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2现有三种纸片各8 张，n28，m28，

33、2mn8（n、m 为正整数）n2，m2共有以下四种情况；n=1，m=1，正方形的边长为 a+b；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页第18页（共 31页）n=1，m=2，正方形的边长为 a+2b；n=2，m=1，正方形的边长为 2a+b；n=2，m=2，正方形的边长为 2a+2b【点评】此题考查因式分解的运用， 要注意结合图形解决问题， 解题的关键是灵活运用完全平方公式17 （2014 秋?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，

34、计算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图【分析】 （1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图【解答】 解： （1）长方形的面积 =a2+2a+1；长方形的面积 =（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；（2）如图，可推导出（ a+b）2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（2a+b） （a+2b） 精选学习资料 - - -

35、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页第19页（共 31页）【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解18 （2013 秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=1，设 s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算 s3的过程：因为 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s2（ 1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到

36、的方法计算s4（3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6【分析】 （1） （2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出Sn2+Sn1=Sn；（4）根据（ 3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页第20页（共 31页）【解答】 解： （1）S2=a2+b2=（a+b）22ab=3；（2）（ a2+b2） （a+b）=a3+ab2+a2b+b3=

37、a3+b3+ab（a+b） ，31=a3+b31，a3+b3=4，即 S3=4；S4=（a2+b2）22（ab）2=7，S4=7；（3）S2=3，S3=4，S4=7，S2+S3=S4，Sn2+Sn1=Sn；（3）Sn2+Sn1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，S5=4+7=11，S6=7+11=18【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用， 关键在于根据题意推出 S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律： Sn2+Sn1=Sn19 （2013 春?重庆校级期末）（1）利用因式分解简算： 9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式： 4a（a1）2（1a）【分析】 （1

38、）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】 解： （1）原式 =9.82+20.29.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页第21页（共 31页）（2）4a（a1）2（1a）=（a1） （4a24a+1）=（a1） （2a1）2【点评】此题考查因式分解的实际运用， 掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键20 （2013 春?惠山区校级期末） 阅读材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解：

39、m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（2）已知 ABC的三边长 a、b、c都是正整数，且满足a2+b26a8b+25=0，求ABC的最大边 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c=7【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为0 求出 x与 y 的值，即可求出xy 的值；（2）将已知等式 25

40、 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由 ab=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 b 与 c的值，进而求出 a 的值，即可求出 ab+c 的值【解答】 解： （1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页第22页（共 3

41、1页）（x+y）2+（y+1）2=0x+y=0 y+1=0解得 x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a26a+9）+（b28b+16）=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得 a=3，b=4三角形两边之和第三边ca+b，c3+4c7，又 c 是正整数，c 最大为 6；（3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（b+4）b+c26c+13=0，整理得： （b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且 c3=0，即 b=2，c=3，a=2，则 ab+c=2（ 2）+3=7故答案为： 7【点评】此题考查了因式分解的应用， 以及非负

42、数的性质， 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键21 （2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3） ，求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为 （x+n） ， 得 x24x+m= （x+3）（x+n） ， 则 x24x+m=x2+ （n+3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页第23页（共 31页）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一个因式为（ x7） ，m 的值为 21问题：（1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2

43、） （x+a） ，则 a=3；（2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1） （x+5） ，则 b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5xk 有一个因式是（2x3） ，求另一个因式以及k 的值【分析】 （1）将（x2） （x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（2） （2x1） （x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n） ，得 2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x3n，可知 2n3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式【解答】 解： （1）（ x2） （x+

44、a）=x2+（a2）x2a=x25x+6，a2=5，解得： a=3；（2）（ 2x1） （x+5）=2x2+9x5=2x2+bx5，b=9；（3）设另一个因式为（ x+n） ，得 2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x3n，则 2n3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页第24页（共 31页）故另一个因式为（ x+4） ，k 的值为 12故答案为：（1）3； （2 分） （2）9； （2分） （3）另一个因式是 x+4，k=12（6分） 【点评】 本题考

45、查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算， 二者是一个式子的不同表现形式22 （2012 春?郯城县期末）分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）2【分析】 （1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ xy）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可【解答】 解： （1）2x2x=x（2x1） ；（2）16x21=（4x+1） （4x1） ；（3）6xy29x2yy3

46、，=y（9x26xy+y2） ，=y（3xy）2；（4）4+12（xy）+9（xy）2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页第25页（共 31页）= 2+3（xy）2，=（3x3y+2）2【点评】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（ 3） ，提取公因式 y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解23 （2012 春?碑林区校级期末） 已知 a， b， c 是三角形的三边， 且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，试确定三角形的形状【分析】 将已知等式利用配方法变形，

47、利用非负数的性质解题【解答】 解：（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b22ab+b2+c22bc+a2+c22ac=0，即（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，ab=0，bc=0，ca=0，a=b=c，故ABC为等边三角形【点评】 本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题24 （2011 秋?北辰区校级期末）分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab2【分析】 （1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式

48、提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （1）2x44x2y2+2y4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页第26页（共 31页）=2（x42x2y2+y4）=2（x2y2）2=2（x+y）2（xy）2；（2）2a34a2b+2ab2=2a（a22ab+b2）=2a（ab）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底25 （2011 秋?苏州期末）图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形

49、（1）图中的阴影部分的面积为（mn）2；（2）观察图请你写出三个代数式（m+n）2、 （mn）2、mn 之间的等量关系是（m+n）2（mn）2=4mn（3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2=9（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了（m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2（5）试画出一个几何图形， 使它的面积能表示 （m+n） （m+3n）=m2+4mn+3n2【分析】 （1）可直接用正方形的面积公式得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页第27页（共 31页）（2）掌握完全

50、平方公式，并掌握和与差的区别（3）此题可参照第（ 2）题（4）可利用各部分面积和 =长方形面积列出恒等式（5）可参照第（ 4）题画图【解答】 解： （1）阴影部分的边长为（ mn） ，阴影部分的面积为（ mn）2；（2） （m+n）2（mn）2=4mn；（3） （xy）2=（x+y）24xy=7240=9；（4） （m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：【点评】 本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形26 （2009 秋?海淀区期末） 已知 a、b、c 满足 ab=8，ab+c2+1

51、6=0，求 2a+b+c的值【分析】本题乍看下无法代数求值， 也无法进行因式分解； 但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口由ab=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c 的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页第28页（共 31页）【解答】 解：因为 ab=8，所以 a=b+8 （1 分）又 ab+c2+16=0，所以（ b+8）b+

52、c2+16=0 （2分）即（b+4）2+c2=0又（b+4）20，c20，则 b=4，c=0 （4 分）所以 a=4， （5分）所以 2a+b+c=4 （6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法27 （2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积【分析】我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为 （a+1） （b+1） （c+1）1，就得（1+b） （c+1） （a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数， 所以

53、（a+1） 、（b+1） 、（c+1） 也为正整数，而 2007只可分解为 33223， 可得 （a+1） 、（b+1） 、（c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、2、222就可求出长方体体积 abc了【解答】 解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+11=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）1=2006，（1+b） （a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b） （c+1+a+ac）=2007，（1+b） （c+1） （a+1）=2007，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

54、- - -第 28 页，共 31 页第29页（共 31页）2007 只能分解为 33223（a+1） 、 （b+1） 、 （c+1）也只能分别为 3、3、223a、b、c 也只能分别为 2、2、222长方体的体积 abc=888【点评】本题考查了三次的分解因式， 做题当中用加减项的方法， 使式子满足分解因式28 （2007 秋?普陀区校级期末）（x24x）22（x24x）15【分析】 把（x24x）看作一个整体，先把 15 写成 3（5） ，利用十字相乘法分解因式，再把3 写成（ 1）（ 3） ，5 写成 1（5） ，分别利用十字相乘法分解因式即可【解答】 解： （x24x）22（x24x）1

55、5，=（x24x+3） （x24x5） ，=（x1） （x3） （x+1） （x5） 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时， 要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底29 （2007 春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x） 1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次（2）若分解 1+x+x （x+1）+x （x+1）2+ +x （x+1）2004，则需应用上述方法2004精选学习

56、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页第30页（共 31页）次，结果是（1+x）2005（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ +x（x+1）n（n 为正整数）【分析】此题由特殊推广到一般， 要善于观察思考， 注意结果和指数之间的关系【解答】 解： （1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2 次（2）需应用上述方法 2004 次，结果是（ 1+x）2005（3）解：原式 =（1+x） 1+x+x（x+1）+x（x+1）3+ +x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+ +x（x+1）n

57、，=（1+x）3+x（x+1）3+ +x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1【点评】 本题考查了提公因式法分解因式的推广， 要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广30 （2007 春?射洪县校级期末）对于多项式x35x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式， 发现多项式 x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式 （x2）（注： 把 x=a代入多项式能使多项式的值为0， 则多项式含有因式（xa） ） ，于是我们可以把多项式写成：x35x2+x+10=（x2） （x2+mx+n） ，（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解

58、的方法叫试根法，用试根法分解多项式x32x213x10 的因式【分析】 （1）根据（ x2） （x2+mx+n）=x3+（m2）x2+（n2m）x2n，得出有关 m，n 的方程组求出即可；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页第31页（共 31页）（2） 由把 x=1 代入 x32x213x10， 得其值为 0， 则多项式可分解为 （x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案【解答】 解： （1）方法一：因（ x2） （x2+mx+n）=x3+（m2）x2+（n2m）x2n，=x35x2+x+10，

59、（2 分）所以，解得： m=3，n=5（5 分） ，方法二：在等式 x35x2+x+10=（x2） （x2+mx+n）中，分别令 x=0，x=1，即可求出： m=3，n=5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=1 代入 x32x213x10，得其值为 0，则多项式可分解为（ x+1） （x2+ax+b）的形式，（7 分）用上述方法可求得： a=3，b=10， （8 分）所以 x32x213x10=（x+1） （x23x10） ， （9 分）=（x+1） （x+2） （x5） （10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息， 是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页