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1、立身以立学为先,立学以读书为本生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔高等数学公式篇 平方关系sin2()+cos2()=1 tan2( )+1=sec2() cot2( )+1=csc2() 积的关系:sin =tan *cos cos=cot *sin tan =sin *sec cot =cos*csc sec=tan *csc csc =sec*cot 倒数关系:tan cot =1 sin csc =1 cos sec=1 直角三角形ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角A 的对边比
2、斜边 , 余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数:cos( +)=cos cos-sin sin cos( -)=cos cos+sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( +)=(tan+tan )/(1-tan tan ) tan( -)=(tan-tan )/(1+tan tan ) 三角和的三角函数:sin( +)=sin cos cos+cos sin cos+cos cos sin -sin sin sin cos( +)=cos cos cos-cos sin sin -sin cos sin -si
3、n sin cos tan( +)=(tan+tan +tan -tan tan tan )/(1-tan tan -tan tan -tan tan ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本 辅助角公式:Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t),其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t),tant=A/B 倍角公式:sin(2 )=2sin cos
4、=2/(tan+cot ) cos(2 )=cos2()-sin2()=2cos2( )-1=1- 2sin2() tan(2 )=2tan /1-tan2( ) 三倍角公式:sin(3 )=3sin -4sin3() cos(3 )=4cos3( )-3cos 半角公式:sin( /2)= (1-cos)/2) cos( /2)= (1+cos )/2) tan( /2)= (1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos )=(1-cos)/sin 降幂公式sin2()=(1-cos(2 )/2=versin(2)/2 cos2( )=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 t
5、an2( )=(1 -cos(2 )/(1+cos(2) 万能公式:sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1 -tan2( /2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2( /2) 积化和差公式:sin cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos sin =(1/2)sin(+)-sin( -) cos cos=(1/2)cos(+)+cos( -) sin sin =-(1/2)cos(+)-cos( -) 和差化积公式:sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( +)/2sin(-)/2
6、cos+cos=2cos( +)/2cos(-)/2 cos -cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot = -2cot2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本1+cos2 =2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2 其他:sin +sin( +2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+ +sin +2*(n-1)/n=0 cos+cos( +2/n)+cos(+2
7、*2/n)+cos(+2*3/n)+ +cos +2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算编辑本段 公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2k )sin cos(2k )cos tan(2k )tan cot (2k ) cot 公式二:设 为任意角, +的三角函数值与的三角函数值之间的关系:sin( ) sin cos( ) cos tan( )tan cot ( ) cot 公式三:任意角 与 -的三角函数值之间的关
8、系:sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot ( )cot 公式四:利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系:sin( )sin cos( ) cos tan( ) tan cot ( ) cot 公式五:利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系:sin(2 ) sin cos(2 ) cos tan(2 ) tan cot (2 )cot 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本公式六:/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的
9、关系:sin(/2 ) cos cos(/2 ) sin tan(/2 ) cot cot (/2 ) tan sin(/2 ) cos cos(/2 ) sin tan(/2 ) cot cot (/2 )tan sin(3/2 ) cos cos(3/2 )sin tan(3/2 )cot cot (3/2 ) tan sin(3/2 ) cos cos(3/2 )sin tan(3/2 )cot cot (3/2 )tan (以上 kZ) 部分高等内容编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得 ):sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix
10、)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数,ez=exp(z) 1z/1! z2/2!z3/3 !z4/4 !zn/n! 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解:对于微分方程组y=-y;y=y ,有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx ,因此也可以从此出发定义三角函数。补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。特殊三角函数值a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0
11、 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos12sinududxxtguuuxuux,一些初等函数:两个重要极限:axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxax
12、dxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin2
13、22222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本三角函数公式:诱导公式:函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 36
14、0 +sin cos tg ctg 和差角公式:和差化积公式:2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - -
15、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本倍角公式:半角公式:cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin余弦定理:Cabbaccos2222反三角函数性质:arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuv
16、uvuCuv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率:.1;0.)1 (limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本定积分的近似计算:bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式:babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数:。代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上
18、的投影:点的距离:空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号)(、抛物面:、椭球面:二次曲面
19、:参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxu
20、uxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz,隐函数,隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv
21、GuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组:微分法在几何上的应用:),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的
22、法线方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线方向导数与梯度:上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法:不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),( ,0),( ,00),(,),(,)
23、,(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本重积分及其应用:DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()()
24、,(,)0(), 0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos22
25、2222200),(0222,转动惯量:,其中重心:,球面坐标:其中:柱面坐标:曲线积分:)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况:则:的参数方程为:上连续,在设长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本。,通常设的全微分,其中:才是二元函数时,在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件
26、:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyx
27、DLDLDLLLL曲面积分:dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其中:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:精选学习资料 - - - - - - -
28、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成:因此,高斯公式又可写,通量:则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:通量与散度:高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系:dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzP
29、dydzzQyR的环流量:沿有向闭曲线向量场旋度:,关的条件:空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:kjirotcoscoscos)()()(常数项级数:是发散的调和级数:等差数列:等比数列:nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本散。存在,则收敛;否则发、定义法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:、比值审敛法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:别法):根植审敛法(柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnn
30、nnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理:的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛:时收敛时发散级数:收敛;级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中111)1(1)1 () 1()2()1 ()2()2() 1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
31、- - - - -第 14 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时,时,时,的系数,则是,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其中时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于函数展开成幂级数:nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(0
32、0)(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:一些函数展开成幂级数:)()!12() 1(! 5! 3sin) 11(!)1()1(! 2) 1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式:2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数:。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性:。,其中,0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn
33、傅立叶级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本是偶函数,余弦级数:是奇函数,正弦级数:(相减)(相加)其中,周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 , 0cos)(20sin)(3 ,2 ,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3 ,2 ,1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(0002222222
34、2222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3, 2, 1(sin)(1)2, 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(10其中,周期微分方程的相关概念:即得齐次方程通解。,代替分离变量,积分后将,则设的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。得:的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程:uxy
35、uuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程:)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:全微分方程:通解。应该是该全微分方程的,其中:分方程,即:中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyy
36、xQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程:时为非齐次时为齐次,0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,其中、写出特征方程:求解步骤:为常数;,其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页立身以立学为先,立学以读书为本式的通解:出的不同情况,按下表写、根据(*),321rr的形式,21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir,)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数;型,为常数,sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页