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1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二、三节第二、三节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第13章 :一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法假设定理定理 1. 正项级数正项级数收敛部分和序列有界 .假设收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数
2、则强级数证证:设对一切收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨:(1) 若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2) 若弱级数因而这说明强级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,弱级数:例例1. 讨论讨论 p- 级数级数(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 假假设设因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2) 假设机动 目录 上页
3、下页 返回 完毕 :调和级数与 p- 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :证明级数发散 .证证: 因为因为而级数发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证证: 据极限定义据极限定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :由定理 2 可知同时收敛或同时发散 ;(3) 当l = 时,即由定理2可知, 假设发散 , (1) 当0 l 时,(
4、2) 当l = 0时,由定理2 知收敛 , 假设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ;特别取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :的敛散性. 例例3. 判别级数判别级数的敛散性 .解解: 根据比较审敛法的极限形式知例例4. 判别级数判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别判别法法)设 为正项级数, 且那么(1) 当(2) 当证证: (1
5、)收敛 ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :因而所以级数发散.时(2) 当说明说明: : 当当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, p , p 级数级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :例例5. 讨论级数讨论级数的敛散性 .解解: 根据定理4可知:级数收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :对任意给定的正数 定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别判别法法)设 为正项级那么证明提示证明提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页
6、 下页 返回 完毕 :时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明说明 :但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :例例6. 证明级数证明级数收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :证证: 是单调递增有界数
7、列,又故级数收敛于S, 且故机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :收敛收敛用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数假设若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛 ,
8、令机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :例例7. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :证证: (1)而收敛 ,收敛因而绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :(2) 令因而收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8. 绝对收收敛级数不因改数不因改变项的位置而改的位置而改变其和其和. 说明说明:*定理定理9. ( 绝对收收敛级数的乘数的乘法法 )则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :内
9、容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :思考与练习思考与练习设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,收敛 ,发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :备用题备用题1. 判别级数的敛散性判别级数的敛散性:解解: (1)发散 , 故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 , 故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :2. 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析: (B) 错 ;又C机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :
