《2022年初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1页（共 20页）初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式：形如)0(aa的式子。二次根式必须满足：含有二次根号“” ；被开方数 a 必须是非负数。非负性2、最简二次根式：满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、二次根式有关公式（1）)0()(2aaa（2）aa2（3）乘法公式)0,0(?babaab（4）除法
2、公式)0,0(bababa4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。常考题：一选择题（共14小题）1下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A B C D2式子有意义的 x 的取值范围是（）Ax且 x1 Bx1 CD3下列计算错误的是（）ABC D4估计的运算结果应在（）A6 到 7 之间B7 到 8 之间C 8 到 9 之间D9 到 10 之间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页第2页（共 20页
3、）5如果=12a，则（）AaBaCaDa6若=（x+y）2，则 xy 的值为（）A1 B1 C 2 D37是整数，则正整数n 的最小值是（）A4 B5 C 6 D78化简的结果是（）ABCD9k、m、n 为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n 的大小关系，何者正确？（）Akm=n Bm=nk Cmnk Dmkn10实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A7 B7 C 2a15 D无法确定11把根号外的因式移入根号内得（）AB C D12已知是正整数，则实数n 的最大值为（）A12 B11 C 8 D313若式子有意义，则点 P（a，b）在（）A第一象限B第二象限C 第
4、三象限D第四象限14已知 m=1+，n=1，则代数式的值为（）A9 B3 C 3 D5二填空题（共13小题）15实数 a 在数轴上的位置如图所示，则| a1|+=16计算：的结果是17化简：（）|3| =18如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=19定义运算 “ ”的运算法则为： xy=，则（ 26）8=20化简4（1）0的结果是21计算：=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页第3页（共 20页）22三角形的三边长分别为，则这个三角形的周长为cm23如果最简二次根式与能合并，那么 a=24如图，矩形内两相邻正方形的
5、面积分别是2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是 （结果保留根号）25实数p在数轴上的位置如图所示，化简=26计算：=27已知a、b 为有理数， m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则 2a+b=三解答题（共13小题）28阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）=（二）=1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=1（四）（1）请用不同的方法化简（2=；?参照（四）式得=（3）化简：+ +精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
6、 - -第 3 页，共 20 页第4页（共 20页）29计算： （1） （+1）（）2+| 1| （ 2）0+30先化简，再求值：，其中31先化简，再求值：，其中 x=1+，y=132先化简，再求值：，其中33已知 a=，求的值34对于题目 “ 化简并求值：+，其中 a=” ，甲、乙两人的解答不同甲的解答：+=+=+ a= a=；乙的解答：+=+=+a=a= 请你判断谁的答案是错误的，为什么？35一个三角形的三边长分别为、（1）求它的周长（要求结果化简） ；（2）请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值36我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，
7、即已知三角形 的 三 边 长 ， 求 它 的 面 积 用 现 代 式 子 表 示 即 为 ： （其中 a、b、c为三角形的三边长， s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试37已知：，求代数式 x2xy+y2值38计算或化简：（1）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页第5页（共 20页）（2）（a0，b0） 39先阅读下列的解答过程，然后再解答：形
8、如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：=（ab） 例如：化简解：首先把化为，这里 m=7，n=12，由于 4+3=7，43=12即+=7，=2+由上述例题的方法化简：40阅读材料：小明在学习二次根式后， 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b= （m+n）2（其中 a、 b、 m、 n 均为整数）， 则有 a+b=m2+2n2+2mna=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为
9、正整数时，若a+b=，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得： a=，b=；（2）利用所探索的结论， 找一组正整数 a、b、m、n 填空：+ =（+ ）2；（3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页第6页（共 20页）初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习 (含答案解析 ) 参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1 （2005?岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A B C D【分析】 B、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；
10、C 选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式【解答】 解：因为： B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式故选A【点评】 在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数） ，如果幂的指数等于或大于 2，也不是最简二次根式2 （2013?娄底）式子有意义的 x 的取值范围是（）Ax且 x1 Bx1 CD【分析】 根据被开方数大于等于0，分母不等于 0 列式进行计算即可得解【解答】 解：根据题意得， 2x+10 且 x10，解得 x且 x1故选 A【点评】 本
11、题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数3 （2007?荆州）下列计算错误的是（）ABC D【分析】 根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断【解答】 解：A、=7，正确；B、=2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误故选D【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页第7页（共 20页）二次根式的加减运算， 先化为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，
12、根指数与被开方数不变4 （2008?芜湖）估计的运算结果应在（）A6 到 7 之间B7 到 8 之间C 8 到 9 之间D9 到 10 之间【分析】 先进行二次根式的运算，然后再进行估算【解答】 解：=4+，而 45，原式运算的结果在8 到 9 之间；故选 C【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“ 夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法5 （2011?烟台）如果=12a，则（）AaBaCaDa【分析】 由已知得 12a0，从而得出 a 的取值范围即可【解答】 解：，12a0，解得 a故选： B【点评】 本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握6 （200
13、9?荆门）若=（x+y）2，则 xy的值为（）A1 B1 C 2 D3【分析】 先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出 x、y 的值，再代入代数式即可【解答】 解：=（x+y）2有意义，x10 且 1x0，x=1，y=1，xy=1（ 1）=2故选： C【点评】 本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义7 （2012 秋?麻城市校级期末）是整数，则正整数n 的最小值是（）A4 B5 C 6 D7【分析】 本题可将 24 拆成 46，先把化简为 2，所以只要乘以 6 得出精选学习资料 - - - - -
14、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页第8页（共 20页）62即可得出整数，由此可得出n 的值【解答】 解：=2，当 n=6 时，=6，原式 =2=12，n 的最小值为 6故选： C【点评】本题考查的是二次根式的性质 本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案8 （2013?佛山）化简的结果是（）ABCD【分析】 分子、分母同时乘以（+1）即可【解答】 解：原式 =2+故选： D【点评】本题考查了分母有理化， 正确选择两个二次根式， 使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键9 （2013?台湾） k、m、n 为三整数，若=k，=15，=6
15、，则下列有关于 k、m、n 的大小关系，何者正确？（）Akm=n Bm=nk Cmnk Dmkn【分析】 根据二次根式的化简公式得到k，m 及 n 的值，即可作出判断【解答】 解：=3，=15，=6，可得： k=3，m=2，n=5，则 mkn故选： D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键10 （2011?菏泽）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A7 B7 C 2a15 D无法确定【分析】先从实数 a 在数轴上的位置，得出a 的取值范围，然后求出（ a4）和（a11）的取值范围，再开方化简【解答】 解：从实数 a 在数轴上的位置可得，5a
16、10，所以 a40，a110，则，=a4+11a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页第9页（共 20页）=7故选 A【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念11 （2013 秋?五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）AB C D【分析】 根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答【解答】 解：成立，0，即 m0，原式=故选： D【点评】 正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为012 （2009?绵阳）已知
17、是正整数，则实数n 的最大值为（）A12 B11 C 8 D3【分析】 如果实数 n 取最大值，那么 12n 有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是 1，则等于 1，从而得出结果【解答】 解：当等于最小的正整数1 时，n 取最大值，则 n=11故选 B【点评】 此题的关键是分析当等于最小的正整数1 时，n 取最大值13 （2005?辽宁）若式子有意义，则点 P（a，b）在（）A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限【分析】 根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对 a、b 的取值范围进行判断【解答】 解：要使这个式子有意义，必须有a0，ab0，a0，b0，点（ a，b）在第三象限故选
18、 C【点评】 本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号14 （2013?上城区一模）已知m=1+，n=1，则代数式的值为（）A9 B3 C 3 D5【分析】 原式变形为，由已知易得 m+n=2，mn=（1+） （1）=1，然后整体代入计算即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页第10页（共 20页）【解答】 解：m+n=2，mn=（1+） （1）=1，原式=3故选： C【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形， 用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算二填空题（共13小题）1
19、5 （2004?山西）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则| a1|+=1【分析】 根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a1 与0，a2 与 0 的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简【解答】 解：根据数轴上显示的数据可知：1a2，a10，a20，| a1|+=a1+2a=1故答案为： 1【点评】 本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简二次根式的化简规律总结：当a0 时，=a；当 a0 时，=a16 （2013?南京）计算：的结果是【分析】 先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可【解答】 解：原式 =故答案为：【点评】本题考查了二次根式的加
20、减运算，属于基础题， 关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并17 （2013?泰安）化简：（）|3| =6【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可【解答】 解：（）|3|=32（3） ，=6故答案为： 6【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键18 （2006?广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页第11页（共 20页）【分析】 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解【解答】
21、 解：最简二次根式与是同类二次根式，3a8=172a，解得： a=5【点评】 此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义19（2007?芜湖）定义运算 “ ”的运算法则为：xy=， 则 （26） 8=6【分析】 认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算【解答】 解： xy=，（26）8=8=48=6，故答案为： 6【点评】 解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算20 （2014?荆州）化简4（1）0的结果是【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2，然后合并即可【解答】 解：原式 =241=2=故答案
22、为：【点评】 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂21 （2014?广元）计算：=2【分析】 分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解【解答】 解：=2故答案为： 2【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、 二次根式的化简等运算，属于基础题22 （2013?宜城市模拟）三角形的三边长分别为，则这个三角形的周长为5cm【分析】 三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为+，化简合并同类二次根式【解答】 解：这个三角形的周长为+=2+2+3=5+2（cm） 故答案为： 5
23、+2（cm） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页第12页（共 20页）【点评】 本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题23 （2012 秋?浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a=1【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同， 然后列一元一次方程求解即可【解答】 解：根据题意得， 1+a=4a2，移项合并，得 3a=3，系数化为 1，得 a=1故答案为： 1【点评】本题考查了最简二次根式， 利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键24 （2006?宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是
24、2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是22 （结果保留根号）【分析】 根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）?=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积【解答】 解：矩形内阴影部分的面积是（+）?26=2+626=22【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系， 是解决问题的关键25 （2003?河南）实数p 在数轴上的位置如图所示，化简=1【分析】 根据数轴确定 p 的取值范围，再利用二次根式的性质化简【解答】 解：由数轴可得， 1p2，p10，p20，=p1+2p=1【点评】 此题从数轴读取 p 的取值范围是关键26 （
25、2009?泸州）计算：=2【分析】 运用二次根式的性质：=| a| ，由于 2，故=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页第13页（共 20页）【解答】 解：原式 =2+=2【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变27 （2011?凉山州）已知 a、b 为有理数， m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且 amn+bn2=1，则 2a+b=2.5【分析】 只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用a 表示再分别代入 amn+bn2=1进行计算【解答】解：因为 23，
26、所以 253，故 m=2，n=52=3把 m=2，n=3代入 amn+bn2=1得，2（3）a+（3）2b=1化简得（ 6a+16b）（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且 2a+6b=0，解得 a=1.5，b=0.5所以 2a+b=30.5=2.5故答案为： 2.5【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键三解答题（共13小题）28 （2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）=（二）=1
27、（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=1（四）（1）请用不同的方法化简（2=；?参照（四）式得=（3）化简：+ +【分析】 （1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页第14页（共 20页）理化因式； 2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是 2，分子可以出现抵消的情况【解答】 解： （1）=，=；（2）原式 =+ +=+ +=【点评】 学会分母有理化的两种方法29 （2014
28、?张家界）计算：（1） （+1）（）2+| 1| （ 2）0+【分析】 根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=519+11+2，然后合并即可【解答】 解：原式 =519+11+2=7+3【点评】 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算， 然后合并同类二次根式 也考查了零指数幂、 负整数指数幂30 （2009?广州）先化简，再求值：，其中【分析】 本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值【解答】 解：原式 =a23a2+6a=6a3，当 a=时，原式=6+33=6【点评】本题主要考查整式的运算、 平方差公式等基本知识， 考查基本的代
29、数计算能力注意先化简，再代入求值31 （2005?沈阳）先化简，再求值：，其中 x=1+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页第15页（共 20页）y=1【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解， 确定最简公分母进行通分； 做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算， 而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分【解答】 解：原式 =；当 x=1+，y=1时，原式=【点评】 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统
30、一为乘法运算32 （2010?莱芜）先化简，再求值：，其中【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值本题注意x2 看作一个整体【解答】 解：原式 =（x+4） ，当时，原式=【点评】 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算33 （2008?余姚市校级自主招生）已知a=，求的值【分析】 先化简，再代入求值即可【解答】 解： a=，a=21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页第16页（共 20页）
31、原式 =a1=a1+=21+2+=41=3【点评】 本题考查了二次根式的化简与求值， 将二次根式的化简是解此题的关键34 （2002?辽宁）对于题目 “ 化简并求值：+，其中 a=” ，甲、乙两人的解答不同甲的解答：+=+=+ a= a=；乙的解答：+=+=+a=a= 请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为 a=时，a=5=40，所以a，故错误的是乙【解答】 解：甲的解答： a= 时，a=5=40，所以=a，正确；乙的解答：因为 a= 时，a= 5=40，所以a，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的【点评】 应熟练掌握二次根式的性质：=a（a0） 35 （2011?上城区二模）一个
32、三角形的三边长分别为、（1）求它的周长（要求结果化简） ；（2）请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值【分析】把三角形的三边长相加， 即为三角形的周长 再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页第17页（共 20页）【解答】 解： （1）周长=+=，（2）当 x=20时，周长 =，（或当 x= 时，周长 =等）【点评】 对于第（ 2）答案不唯一，但要注意必须符合题意36 （2005?台州）我国古代数学家秦九韶
33、在 数书九章 中记述了 “ 三斜求积术 ” ，即 已 知 三 角 形 的 三 边 长 ， 求 它 的 面 积 用 现 代 式 子 表 示 即 为 ： （其中 a、b、c为三角形的三边长， s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试【分析】 （1）代入计算即可；（2） 需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变， 构成完全平方公式，再进行计算【解答】 解： （1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又 s=；（2）=（）=，精
34、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页第18页（共 20页）=（c+ab） （ca+b） （a+b+c） （a+bc） ，=（2p2a） （2p2b）?2p?（2p2c） ，=p（pa） （pb） （pc） ，=（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】 考查了三角形面积的海伦公式的用法， 也培养了学生的推理和计算能力37 （2009 秋?金口河区期末）已知：，求代数式x2xy+y2值【分析】 观察，显然，要求的代数式可以变成x，y 的差与积的形式，从而简便计算【解答】 解：，xy= 2=，xy=原
35、式 =（xy）2+xy=5+ =【点评】 此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算38 （2010 秋?灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a0，b0） 【分析】 （1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算【解答】 解： （1）原式=6126=618；（2）原式 =3a2b2=a2b【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待39 （2013 秋?故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：精选学习资料 - - - - - - - -
36、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页第19页（共 20页）形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：=（ab） 例如：化简解：首先把化为，这里 m=7，n=12，由于 4+3=7，43=12即+=7，=2+由上述例题的方法化简：【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为 42再判断是选择加法，还是减法【解答】 解：根据，可得 m=13，n=42，6+7=13，67=42，=【点评】 解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式40 （2013?黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后， 发现一些含根号的式子可以写成
37、另一个式子的平方，如3+=（1+）2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b= （m+n）2（其中 a、 b、 m、 n 均为整数）， 则有 a+b=m2+2n2+2mna=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若a+b=，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得： a=m2+3n2，b=2mn；（2）利用所探索的结论， 找一组正整数 a、b、m、n 填空：4+ 2= （1+ 1）2；（3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？【分析】 （1）根据完全平方公式
38、运算法则，即可得出a、b 的表达式；（2）首先确定好 m、n 的正整数值，然后根据（ 1）的结论即可求出 a、b 的值；（3）根据题意， 4=2mn，首先确定 m、n 的值，通过分析 m=2，n=1 或者 m=1，n=2，然后即可确定好a 的值【解答】 解： （1）a+b=，a+b=m2+3n2+2mn，a=m2+3n2，b=2mn故答案为： m2+3n2，2mn（2）设 m=1，n=1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页第20页（共 20页）a=m2+3n2=4，b=2mn=2故答案为 4、2、1、1（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn4=2mn，且 m、n 为正整数，m=2，n=1 或者 m=1，n=2，a=22+312=7，或 a=12+322=13【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式， 解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
