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1、1 / 7 第十三章全等三角形13.3 角的平分线的性质目标导航1、能够利用三角形全等,证明角平分线的性质和判定。2、会用尺规作已知角的平分线。3、能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算,解决一些实际问题。4、进一步发展我们的的推理证明意识和能力。名师引领1角的平分线的性质:定理 1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。2三角形的三条角平分线交于三角形内一点,并且这个点到三角形三边的距离相等师生互动共解难题例 1:三角形的三条角平分线交于一点,你知道这是为什么吗?分析:我们知道两条直线是交于一点的,因此可以想办法证明第三条角平
2、分线通过前两条角平分线的交点。已知:如图, ABC 的角平分线 AD与 BE交于点 I ,求证:点 I 在ACB 的平分线上。证明:过点 I 作 IHAB 、IGAC 、IF BC ,垂足分别是点H 、G 、F。点 I 在BAC 的角平分线 AD上,且 IHAB 、IGAC IH=IG(角平分线上的点到角的两边距离相等)同理 IH=IF IG=IF(等量代换)又 IGAC 、IFBC 点 I 在ACB 的平分线上(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)即:三角形的三条角平分线交于一点。例 2:如图,已知 ABC中BAC=90 ,AB=AC ,CD? 垂直于 ABC? 的平分线 BD
3、于 D,BD交 AC于 E,求证: BE=2CD 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页2 / 7 分析:要证 BE=2CD ,想到要构造等于2CD的线段,结合角平分线,?利用翻折的方法把 CBD 沿 BD翻折,使 BC重叠到 BA所在的直线上,即构造全等三角形(BCD BFD ),然后证明 BE和 CF (2CD )所在的三角形全等。证明:延长 BA 、CD交于点 F BD CF (已知)BDC= BDF=90 (垂直的定义)BD平分 ABC (已知)1=2(角平分线的定义)在BCD 和BFD中21()()()BDB
4、DBDCBDF已知公共边已证BCD BFD (ASA )CD=FD (全等三角形的对应边相等)即 CF=2CD 5=4=90, BDF=90 3+F=90, 1+F=90(直角三角形两锐角互余)1=3(同角的余角相等)在ABE和ACF中4513()ABAC已证ABE ACF (ASA )BE=CF (全等三角形对应边相等)BE=2CD (等量代换)积累运用举一反三一、选择题1到三角形三边的距离相等的点是三角形()。A三条边上的高的交点B三个内角平分线的交点C三边上的中线的交点D以上结论都不对2如图 1,ABC中,AC CB ,CD平分 ACB ,点 E在 AC上,且 CE=CB ,则下列结论:
5、 CD平分 BDE ;BD=DE ; B=CED ; A+CED=90 。其中正确的有()。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页3 / 7 A1 个B2 个C3 个D4 个DCBAE图 1 3如图 2,已知点 D是ABC中 AC边一点,点 E 在 AB延长线上,且 ABC? DBE ,BDA= A若 A:C=5 :3,则 DBE 的度数是()。DCBAE图 2 A100B80C60D1204下列说法:角的内部任意一点到角的两边的距离相等;?到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;角的平分线上任意一点到角的两边的距离相
6、等; ABC 中BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等,其中正确的()。A1 个B2 个C3 个D4 个5. 已知 AD是ABC 的角平分线, DE AB于 E,且 DE=3cm, 则点 D到 AC的距离是( )。A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm 6如图 3,已知 CE 、CF分别是 ABC的内角和外角平分线, ?则图中与 BCE互余的角有()。A4 个B3 个C2 个D1 个7如图 4,已知点 P到 AE 、AD 、BC的距离相等,则下列说法:点P在BAC的平分线上;点P在CBE 的平分线上;点P在BCD的平分线上;点P是BAC 、CBE 、BCD 的平分线的交点,其中正确
7、的是()。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页4 / 7 ABCDDCBAEFPDCBAE图 3 图 4 二、填空题1ABC 中 AB=AC ,点 D是BAC平分线上一点,且BD=2cm ,则点 D与点 C之间的距离是 _ 。2如图 3,ABC= ADC=90 ,要证明 ABC ADC ,可补充条件_或_ (填写两组适合的条件即可)。DCBA图 3 3如图 4,DEF由ABC沿直线 BC平移而得到的,则AB=_ ,CF=?_ ,A=_ 。DCBAEF图 44用直尺和圆规平分已知角的依据是_。5角的平分线上的点到 _相等
8、;到 _ 相等的点在这个角的平分线上。6如图 3,AB CD ,AP 、CP分别平分 BAC和ACD ,PE AC于 E,且PE=2cm ,则 AB与 CD之间的距离是 _。三、解题题1如图, D、E是ABC中 AB 、AC边上的点,且 AD=AE ,1=2,求证BD=CE 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页5 / 7 2如图,已知 AB AC于 A,BD DC于 D,要想得到 AC=BD ,你认为需要补充什么条件?请说明你的理由。DCBA3如图, A、B两点分别位于池塘两侧,小亮用下面的方法测量A、B?之间的距离
9、:先在地上取一个可以直接到达A点和 B点的 C点,连接 AC 、BC ,?并分别延长至 D 、E两点,使 DC=AC ,EC=BC 那么量出 DE的长就是 A、B间的距离。请说明一下这样做的道理。DCBAE4如图 1,AD是ABC的角平分线, DE和 DF分别是 ABD 和ACD 的高, ?求证:AD垂直平分 EF 。DCBAEHF5如图,四边形 ABCD 中 AB=AD ,CB=CD ,点 P是对角线 AC上一点, PE BC于E,PFCD于 F,求证 PE=PF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页6 / 7 P
10、DCBAEF6如图,四边形 ABCD 中 AB=AD ,AB BC ,AD CD ,P是对角线 AC上一点, ?求证:PB=PC 。PDCBA7如图,已知 CD AB于 D,BE AC于 E,CD交 BE于点 O 。若 OC=OB,求证:点 O在BAC的平分线上。若点 O在BAC 的平分线上,求证: OC=OB。DCBAEO答案:一、1B 2 D 3 A 4. B 5. B 6. C 7. A 二、12cm ;2AB=AD ;BAC= DAC ;3DE ;BE ;D;4SSS ;5角的两边的距离;角的两边的距离;6.4cm。三、1先证 ABE ACD 得到 AB=AC ,再用等式性质证明BD=CE 2比如: AB=DC 或ABC= DCB或ACB= DBC 3证 ABC DEC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页7 / 7 4证 AEH AFH 5. 证明 AC平分 BCD 6. 先证 RtABC RtADC ,再证 APB APD 7证明 COE BOD 得到 OE=OD;先由角平分线的性质证明OE=OD,再证明COE BO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页