《1.3.1单调性与最大小值第1课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.3.1单调性与最大小值第1课时（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.1-1.3.1-单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值( (第第1 1课时课时) ) 引入引入2 2 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究人类的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，他经过测试，得到了以下一些数据：得到了以下一些数据：时间间时间间隔隔 t刚记忆刚记忆完毕完毕20分分钟后钟后60分分钟后钟后8-9小时后小时后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆量记忆量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时
2、间是时间间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”, ,如图如图. .1 12 23 3t ty yo o2020404060608080100100思考思考1 1：当时间间隔：当时间间隔t t逐渐增大时，你能看出对应逐渐增大时，你能看出对应的函数值的函数值y y有什么变化趋势？通过这个实验，有什么变化趋势？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的你打算以后如何对待刚学过的知识知识? ?思考思考2: “2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的
3、，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记忆的数量记忆的数量( (百分数百分数) )天数天数1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 我们通过几个函数的图象观察函数值随自变我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律量而变化的规律. .探究点探究点 函数单调性的定义函数单调性的定义 像这种函数在其定义域的一个区间上函数值随像这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的着自变量的_的性质我们称之为的性质我们称之为“函函数在这个区间上是增函数数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的；函数
4、在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的一个区间上函数值随着自变量的_的的性质我们称之为性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数函数在这个区间上是减函数”. .如何用函数的解析如何用函数的解析式和数学语言进行式和数学语言进行描述？描述？增大而增大增大而增大增大而减少增大而减少对函数对函数f(x)=xf(x)=x2 2而言，而言，“函数值在（函数值在（0 0，+）上随）上随自变量的增大而增大自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间，可以这样描述：在区间（0 0，+）上任取两个实数）上任取两个实数x x1 1,x,x2 2, ,得到函数值得到函数值f(xf(x1 1)=x)=x1 12 2,f(
5、x,f(x2 2)=x)=x2 22 2，当，当x x1 1xx2 2时，有时，有_请同学们用数学语言描述函数请同学们用数学语言描述函数f(x)f(x)在（在（-，00上上函数值随自变量的增大而减小的情况函数值随自变量的增大而减小的情况. .f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变上的任意两个自变量的值量的值 ，当，当 时，都有时，都有_，那，那么就说函数么就说函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数函数单调性的相关概念函数单调性的相
6、关概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )增函数或减函数增函数或减函数第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性调性, , 即必须是即必须是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););对函数单调性的理解对函数单调性的理解第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的言的, , 是局部概念是局部概念; ;第三、学习函数的单调性第三、学习函数的单调性, ,要注意定
7、义中条件和要注意定义中条件和结论是双向使用的结论是双向使用的. .例例1.1.下图是定义在区间下图是定义在区间-5,5-5,5上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)，根据，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数它是增函数还是减函数? ? 解：函数解：函数 的单调区间有的单调区间有其中其中 在区间在区间 上是减函数，在区间上是减函数，在区间 上是增函数上是增函数作差变形作差变形定号定号判断判断取值取值证明：根据单调性的定义，设证明：根据单调性的定义，设V V1 1, ,V V2 2是定义域是定义域(0,+)(0,
8、+)上的上的任意两个实数，且任意两个实数，且V V1 1 V V2 2, ,所以，函数所以，函数 V V(0,+)(0,+)是减函数，也就是说，当体是减函数，也就是说，当体积减小时，压强积减小时，压强p p将增大将增大. .取值：即设取值：即设x x1 1、x x2 2是该区间内的任意两个值是该区间内的任意两个值, ,且且x x1 1xx2 2; ;作差变形：即作差作差变形：即作差f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)()(或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1),),并并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的
9、方向变形断差的符号的方向变形; ;定号：确定差定号：确定差f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)()(或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)的符号的符号, ,当符号不确定时当符号不确定时, ,可进行分类讨论可进行分类讨论; ;判断：根据定义得出结论判断：根据定义得出结论. .利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤: :【提升总结提升总结】画出反比例函数画出反比例函数f(x)= f(x)= 的图象的图象. .（1 1）这个函数的定义域）这个函数的定义域I I是什么？是什么？（2 2）它在定义域）它在定义域I I上的单调
10、性是怎样的？上的单调性是怎样的？证明你的结论证明你的结论. .探究实践探究实践函数图象如图函数图象如图解析：直线解析：直线y=kx+by=kx+b在在k0k0时，单调递减时，单调递减. . 2a-10, 2a-10,即即aaD D2.2.函数函数 的单调增区间是的单调增区间是_. .3.3.函数函数 f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+3-2ax+3在在(-(-，44上是减函数，则上是减函数，则a a的取值范围为的取值范围为_4，+)提示：可利用函数图象求解提示：可利用函数图象求解. .（1 1，+）4.4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个
11、单调区间上，函数是增函数还是减函数调区间上，函数是增函数还是减函数. .解：函数的单调区间是解：函数的单调区间是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在区间在区间-1,0-1,0）,2,4,2,4）上，函数是减函数；）上，函数是减函数；在区间在区间0,20,2）,4,5,4,5上，函数是增函数上，函数是增函数. .1.1.函数的单调性定义的内涵与外延：函数的单调性定义的内涵与外延：内涵内涵: :是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；情况；外延外延:一般规律：自变量的变化与函数值的变化一般规律：自变量的变化与函数值的
12、变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减相反时是单调递减. . 几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数上升，则为增函数，图象下降则为减函数. . 3. 3. 证明函数的单调性的基本步骤是：证明函数的单调性的基本步骤是：（1 1）取值；）取值； （2 2）作差变形；）作差变形；（3 3）定号；）定号； （4 4）判断）判断. .2.2.函数的单调性是函数在其定义域上的函数的单调性是函数在其定义域上的“局部局部”性性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内意在定义域的哪个区间内. .
