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1、知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y2 2px(p0)x22py(p0)x2 2py(p0)p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x 0焦点Fp2，0F p2，0F 0，p2F 0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，y Rx 0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下知识点三直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到
2、根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，且焦点在 x 轴的正半轴， 可直接使用公式 |AB|x1x2p，若不过焦点， 则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法特别提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页题型一抛物线的定义及应用例 1已知点 P 是抛物线y22x 上的一个动点，则点P 到点 A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最
3、小值为()A.172B3 C.5 D.92答案A解析如图，由抛物线定义知，|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当 A，P，F 三点共线时， |PA|PF|取得最小值A(0,2)，F12，0 ，(|PA|PF|)min|AF|0122 202172.感悟与点拨与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线 ”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径跟踪训练1(1)已知 P 是抛物线 x24y 上一点，抛物线的焦点为F，且|PF|5，则点 P 的
4、纵坐标为 ()A5 B 4 C2 D1(2)已知点 P 是抛物线x24y 上的动点，点P 在 x 轴上的射影是点Q，点 A 的坐标是 (8,7)，则|PA|PQ|的最小值为 ()A7 B 8 C9 D10答案(1)B(2)C解析(1)抛物线的焦点F(0,1)，准线方程为y 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页设 P(m， n)，则由抛物线的定义，可得|PF|d(d 为点 P 到准线的距离 )，故有 n15，解得 n4.(2)抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y 1，根据抛物线的定义知，|PF| |PM|PQ|
5、1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1 |AF| 182 71211019.当且仅当A，P，F 三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为9.故选 C.题型二抛物线的标准方程和几何性质例 2(1)已知抛物线C 与双曲线x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的标准方程是 ()Ay22 2xB y2 2 xCy24 xD y24 2x(2)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4， 2 2)，则它的标准方程为 _答案(1)D(2)y22x解析(1)由题意可求得双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0)，设抛物线的方程为y2 2 px(p0)，则p2
6、2，所以 p22，所以抛物线的标准方程为y24 2x.(2)由题意可知抛物线的焦点在x 轴上，设方程为y22px(p0)或 y2 2px(p0)若方程为y22px(p0)，则 82p4，得 p1，故方程为y22x；若方程为y2 2px(p0)，则 8 2p4，得 p 1，不符合条件，故不成立所以抛物线的标准方程为y22x.感悟与点拨(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页(2)求抛物线标准方程的常用方法是待
7、定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程跟踪训练2(1)抛物线 y22px(p0)的焦点为F，O 为坐标原点， M 为抛物线上一点，且|MF |4|OF|， MFO 的面积为4 3，则抛物线的标准方程为()Ay26xB y2 8xCy216xD y215x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页(2)若抛物线y2 2px 的焦点与椭圆x29y25 1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_(3)已知点 A(4,0)，抛物线
8、 C：y22px(0p0，y1y2t，y1y2 t3，所以 k1 k2y11x11y21x21y11y211y21y2211y1 1 y211y1y2y1y2112.所以 k1 k2是定值感悟与点拨(1)联立方程解方程组，利用根与系数的关系，“设而不求 ”(2)定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值跟踪训练3(1)(2018 年 4 月学考 )如图，已知抛物线y x2 1 与 x 轴相交于A，B 两点， P是该抛物线上位于第一象限内的点记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，求证： k2k1为定值；过
9、点 A 作 ADPB，垂足为 D.若 D 关于 x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求 P AD 的面积证明由题意得点A，B 的坐标分别为 (1,0)，(1,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页设点 P 的坐标为 P(t，t21)，且 t1，则 k1t21t1t 1，k2t21t1t1，所以 k2k12 为定值解由直线 PA，AD 的位置关系知kAD k11t.因为 ADPB，所以 kAD k2(1t)(t1) 1.解得 t 2.因为 P 是第一象限内的点，所以t2.由此可得点P 的坐标为 (2，1)联立直线PB
10、与 AD 的方程y 12 x 1 ，y 12 x 1 ，得点 D 的坐标为22，22，所以 SP AD12|AB| |yPyD|122.(2)过抛物线y22x 的顶点作互相垂直的两条弦OA，OB.求 AB 的中点的轨迹方程；求证：直线AB 过定点解设直线 OA 的方程为y kx，则直线 OB 的方程为y1kx.联立直线OA 与抛物线的方程知，点A 的坐标为2k2，2k，联立直线OB 与抛物线的方程知，点B 的坐标为 (2k2， 2k)，则 AB 的中点 M 的坐标为1k2k2，1kk，故点 M 的轨迹方程为xy22.证明由(1)可知 kABk1kk21k21k1kkk21，则直线 AB 的方程
11、为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页y1kk kk21x1k2 k2，整理得 ykk2 1()x2 .所以直线AB 过定点 (2,0)一、选择题1对抛物线x212y，下列判断正确的是()A焦点坐标是(3,0) B焦点坐标是 (0， 3)C准线方程是y 3 D准线方程是x3答案C解析因为 2p12，所以p23，又因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标是(0,3)，准线方程是y 3，故选 C.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页2抛物线的顶点在坐标
12、原点，焦点与双曲线y25x241 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ()Ax24yB x2 4yCy2 12xD x2 12y答案D解析由题意得c543，所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或 (0， 3)，所以该抛物线的标准方程为x212y 或 x2 12y.3抛物线 x2 4y 上一点 A 的纵坐标为4，则点 A 与抛物线焦点的距离为()A2 B 3 C4 D5答案D4动圆的圆心在抛物线y28x 上，且动圆恒与直线x20 相切，则动圆必过点()A(4,0) B (2,0)C(0,2) D (0， 2)答案B解析直线 x2 0 是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动
13、圆必过抛物线的焦点(2,0)5设 F 为抛物线C：y23x 的焦点，过F 且倾斜角为30 的直线交C 于 A，B 两点，则 |AB|等于 ()A.303B6 C12 D7 3答案C解析由题意，得F34，0 ，又 ktan 3033，故直线 AB 的方程为y33x34，与抛物线y23x 联立，得 16x2168x90.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页|AB|x1x2p168163212，故选 C.6设抛物线y22px(p0)的焦点为F，若 F 到直线 y3x
14、 的距离为3，则 p 等于 ()A2 B 4 C23 D43答案B解析由抛物线y22px(p0)的焦点为 Fp2，0 ，F 到直线 y3x 的距离为3，可得3p232 123，解得 p4，故选 B.7已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|12，P 为 C 的准线上的一点，则ABP 的面积为 ()A18 B24 C36 D48答案C解析不妨设抛物线的方程为y22px(p0)，依题意， lx 轴，且焦点Fp2，0 ，当 xp2时， |y|p，|AB|2p12，p 6，又点 P 到直线 AB 的距离为p2p2p6，故 SABP12|AB| p
15、1212636.8已知直线l1： 4x3y60 和直线l2：xp2，若抛物线C：y22px(p0)上的点到直线l1和 l2的距离之和的最小值为2，则抛物线C 的方程为 ()Ay24xB y2 2xCy2x2D y2x3答案A解析根据抛物线的定义，设抛物线上的点M(x，y)，M 到焦点 Fp2，0 的距离与到l2：xp2的距离相等，则M 到 l1和 l2的距离之和为M 到 l1的距离与 |MF|之和，最小值为F 到 l1的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页距离，所以4p230652，所以 p2.故选 A.精选学习资
16、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页9方程 mxny20 与 mx2 ny21(|m|n|0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是()答案A解析采用特殊值法，由|m|n|0 可取 m12，n13，A 项符合题意， B 项错误，取m12，n13时，排除C，D，故选 A.10已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x 1，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B两点若线段AB 的中点坐标为 (2,1)，则直线l 的方程为 ()Ay2x3 B y 2x 5Cy x3 D yx1答案A解析 抛物线 C 的顶点在坐标原点，准线方程为x 1
17、，p2 1，p2，抛物线的方程为y2 4x.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则y214x1，y224x2，两式相减得(y1y2)(y1y2) 4(x1x2)，直线 AB 的斜率 ky1y2x1x24y1y2422，从而直线l 的方程为y12(x2)，即 y 2x3.二、填空题11 (2016 年 10 月学考 )已知抛物线y2 2px 过点A(1,2)，则p_，准线方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页_答案2x 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
18、 -第 13 页，共 17 页12抛物线y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_答案18，24解析设抛物线上点的坐标为(x， x)，此点到准线的距离为x14，到顶点的距离为x2x2，由题意有x14x2x2，x18，此点坐标为18，24.13设抛物线y28x 的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为3，那么 |PF|_.答案8解析如图所示，直线 AF 的方程为y3(x2)，与准线方程x 2 联立得 A(2,43)设 P(x0,43)，代入抛物线y28x，得 8x0 48，x06，|PF|x028.14已知圆C：x2y28xay50 经过抛物线E
19、：x24y 的焦点，则抛物线E 的准线与圆 C 相交所得弦长为_答案46解析因为抛物线x24y 的焦点 (0,1)在圆 x2 y2 8xay50 上，所以02128 0a50，解得a4，所以圆的标准方程为(x4)2 (y2)225，则圆心为C(4， 2)，半径为r 5，则圆心C( 4， 2)到抛物线的准线y 1 的距离为d1，所以所求弦长为2r2d2252124 6.三、解答题15(2018 年 6 月学考 )如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线C：y2x 有且只有一个公共点 P.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 1
20、7 页(1)当点 P 的坐标为 (1,1)时，求直线l 的方程；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为R，过点 R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于 A，B 两点当|RA| |RB|RP|2时，求点P 的坐标解(1)设直线 l 的斜率为k(k0)，则 l 的方程为y 1k(x1)，联立方程组y1k x1 ，y2x，消去 x，得ky2 y1k 0，由已知可得 14k(1k)0，解得 k12，故所求直线l 的方程为x2y10.(2)设点 P 的坐标为 (t2，t)，直线 l 的斜率为k(k0)，则 l 的方程为y tk(x t2)，联方程组ytk xt2，y2x.消去 x，得ky2 ytkt
21、20，由已知可得 14k(t kt2)0，得 k12t(t0)所以，点R 的纵坐标为tkt2t2，从而，点R 的坐标为0，t2，由 ml 可知，直线m 的斜率为 2t，所以，直线m 的方程为y 2txt2.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页将直线 m 的方程代入y2x，得4t2x2(2t21)xt24 0，所以 (2t21)24t44t2 10，x1x2116，又|RA|14t2|x1|，|RB|14t2|x2|，|RP|2t414t2，由|RA| |RB|RP|2，得(
22、14t2)|x1x2|t414t2，即116(14t2)t414t2，解得 t12，所以，点P 的坐标为14，12.16(2017 年 11 月学考 )如图，抛物线x2y 与直线 y1 交于 M，N 两点 Q 为该抛物线上异于 M，N 的任意一点，直线MQ 与 x 轴、 y 轴分别交于点A，B，直线 NQ 与 x 轴、 y 轴分别交于点C，D.(1)求 M，N 两点的坐标；(2)证明： B， D 两点关于原点O 对称；(3)设 QBD，QCA 的面积分别为S1，S2，若点 Q 在直线 y1 的下方， 求 S2 S1的最小值(1)解由yx2，y1，解得x 1，y1或x1，y1.因此 M，N 两点
23、的坐标分别为(1,1)，(1,1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页(2)证明设点 Q 的坐标为Q(x0， x20)，则直线 MQ 的方程为y(x0 1)(x 1)1.令 x0，得点 B 的坐标为 (0，x0)直线 NQ 的方程为y(x01)(x1) 1.令 x0，得点 D 的坐标为 (0， x0)综上所述，点B，D 关于原点O 对称(3)解由(2)得|BD|2|x0|，因此 S112|BD| |x0| x20.在直线 MQ 的方程中，令y0，得 Ax01x0，0.在直线 NQ 的方程中，令y0，得 Cx01 x0，0.因此 |AC|x01x0x01 x02x201x20，S212|AC| x20x401x20，S2S1x401x20x202x40 x201x20，令 t1x20，由题意得 1x01，所以 0t1，因此 S2S1 2t1t 3223，当且仅当t22，即 x0 222时取等号综上所述， S2S1的最小值是223.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页
