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1、专题专题7 不等式不等式第第1节节 不等式与不等式的解法不等式与不等式的解法第第2节节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用第第3节节 线性规划问题线性规划问题目录600600分基础分基础 考点考法考点考法考点34不等式的性质及应用考点35常见不等式的解法考点36与一元二次不等式有关的参数问题第第1 1节节 不等式性质与不等式解法不等式性质与不等式解法考点34不等式的性质及应用1.不等式的基本性质不等式的基本性质2.不等式的运算性质不等式的运算性质(基本性质的推论基本性质的推论)3.常用的证明方法常用的证明方法（1）分析法：从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直
2、到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止.（2）综合法：由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.（3）反证法：假设结论的反面成立，推出矛盾，否定假设，肯定结论.考点34不等式的性质及应用考法1不等式的性质及其应用考法2利用不等式的性质证明不等关系不等式的性质及应用考点34考点34不等式的性质及应用考点34考法1不等式的性质及其应用1.比较大小比较大小(1)差值比较原理差值比较步骤：作差并变形判断差的符号下结论.【注意】只需判断差的符号,至于差的值究竟是多少无关紧要,
3、通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式.关键步骤是变形,主要是利用通分、因式分解、配方等,变形是为了更有利于判断符号.(2)商值比较原理商值比较步骤：作商并变形判断商与1的大小下结论.【注意】作商时各式的符号应相同,如果a,b均小于0,所得结论与“商值比较原理”中的结论相反.关键步骤仍是变形,方法主要有分母（或分子）有理化、指数恒等变形、对数恒等变形等. 此外还可应用函数单调性比较大小，也可以采用中间量法或赋予特殊值的方法比较大小.考点34不等式的性质及应用考点34考法1不等式的性质及其应用2.求取值范围求取值范围由af(x,y)b,cg(x,y)0（0”型,则找“线”在数轴上方时对
4、应的区间；若不等式（未知数的系数均为正）是“0”型,则找“线”在数轴下方时对应的区间.考点35常见不等式的解法考点35考法5解高次不等式考点35常见不等式的解法考点35考法6解指数不等式、对数不等式1.指数不等式的解法指数不等式的解法(a0,且且a1)2.对数不等式的解法对数不等式的解法(a0,且且a1)考点35常见不等式的解法考点35考法6解指数不等式、对数不等式考点35常见不等式的解法考点36与一元二次不等式有关的参数问题 不等式(x-a)(x-b)0(a0(ab)的解集是(-,a)(b,+). 对于含参数的不等式ax2+bx+c0)的求解,应注意对参数进行分类讨论,分类讨论的常见情况：（
5、1）二次项系数的符号（包含是否为0）;（2）计算判别式,判断方程根的情况：若有两根,则需要比较两根的大小.考法7解含有参数的一元二次不等式考法8由一元二次型不等式恒成立求参数范围与一元二次不等式有关的参数问题考点36考点36与一元二次不等式有关的参数问题考点36考法7解含有参数的一元二次不等式（1）一看（看二次项系数）一看（看二次项系数的符号）的符号）. （2）二算（计算判别式）二算（计算判别式,判断方程根的情况）判断方程根的情况）. （3）三写（写出解集）三写（写出解集）. 二次项若含有参数,应讨论其是等于0,小于0,还是大于0.若二次项系数不为0,将不等式转化为二次项系数为正的标准形式.
6、此类题一般以含参数的一元二次不等式、集合的形式出现,要注意各次项系数大小对不等式解集的影响.在解含有参数的一元二次型不等式（如关于x的不等式ax2+bx+c0）时:判断标准形式的一元二次不等式对应的方程的根的个数,讨论判别式与0的大小关系.确定无根或有两个相等的实数根时，可以直接写出解集.如果有两个不相等的实数根,但不能确定两根的大小,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【注意】将形如ax2+bx+c0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面),不包括边界直线；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)直线AxByC0同一侧的所有点(
7、x,y),使得AxByC的值符号相同,也就是位于直线AxByC0某一侧的所有点,其坐标适合AxByC0(AxByC0)；而位于直线AxByC0另一侧的所有点,其坐标适合AxByC0).(3)可在直线AxByC0的某一侧任取一点(x0,y0)（一般取特殊点,如原点，点（0,1），点（1,0）,从Ax0By0C的符号来判断AxByC0(或AxByC0）取最大值时的最优解与b的正负有关,当b0时,将直线ax+by=0在可行域内向右上方平移到最右侧端点（一般是两直线的交点,即平面区域的顶点）的位置可得到最优解及目标函数最值；当b0时,则是向右下方平移可得到最优解及目标函数最值.【说明】线性目标函数的最
8、值一般在可行域的顶点处或边界上取得,将目标函数的直线平行移动时最先通过或最后通过的顶点便是最优解.特别地,对最优整数解可视情况而定.考点40线性目标函数的最值考点40考法3线性目标函数的最值及取值范围方法方法1 图解法（基本方法）图解法（基本方法）方法方法2 界点定值法（快捷方法）界点定值法（快捷方法）线性规划的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点,这时只要把可行域的几个顶点代入,通过对比目标函数的对应取值,即可得到最优解和目标函数最值.方法方法3 变量替代法变量替代法把目标函数z代换到原约束条件中,得到新的不等式组,画出此时的平面区域,观察左右或上下边界即可得到最优解.考点40线性目标函数的
9、最值考点40考法3线性目标函数的最值及取值范围方法方法1 图解法（基本方法）图解法（基本方法）方法方法2 界点定值法（快捷方法）界点定值法（快捷方法）方法方法3 变量替代法变量替代法方法方法4 解不等式法解不等式法当目标函数和约束条件分别是线性目标函数和线性约束条件时,把目标函数z代换到原约束条件中去,得到关于z的不等式组,直接放缩求解.考点40线性目标函数的最值考点40考法3线性目标函数的最值及取值范围考点40线性目标函数的最值考点40考法3线性目标函数的最值及取值范围考点40线性目标函数的最值考点40考法4线性规划的逆向问题1.常见问题形式常见问题形式（1）由可行域求线性约束条件；（2）由
10、最优解或最值求参数的取值范围.2.处理方法处理方法（1）对于形式（1）,由可行域的端点写出边界直线的方程,由区域特点确定不等号即可.（2）对于形式（2）,解答问题时，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想方法求解.同时要注意边界直线的斜率与目标函数表示的直线的斜率之间的关系.考点40线性目标函数的最值考点40考法4线性规划的逆向问题考点40线性目标函数的最值综合问题13 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题1.利用线性规划解决优化问题的思路利用线性规划解决优化问题的思路 利用线性规划解决优化问题的关键在于确定两个变量x,y,其基本方法是看求解目标是受哪
11、两个变量制约的,这两个变量就是x,y,从而写出约束条件和目标函数,将实际问题转化为线性规划问题.【注意】实际问题中，要注意x,y为非负数、整数等要求,避免约束条件不完整这种错误的发生.综合点1 生活中的优化问题2.确定最优整数解的方法确定最优整数解的方法 若实际问题要求的最优解是整数解,而利用图解法得到的解为非整数解,则应适当的调整,其调整方法如下：方法方法1 调整优值法调整优值法 在求线性目标函数z=ax+by+c的最优整数解时,先根据基本方法求出目标函数的最值,若此时最优解是非整数最优解,将其代入目标函数z中求出此时的值z0,然后在可行域内将z0的值微调为大于（或小于）z0且与z0最接近的
12、整数z1,在对应的直线上取可行域内的整点.如果没有整点,继续放缩,直到找到整点为止.综合问题13 生活中的优化问题方法方法2 检验优值法检验优值法综合点1 生活中的优化问题2.确定最优整数解的方法确定最优整数解的方法 若实际问题要求的最优解是整数解,而利用图解法得到的解为非整数解,则应适当的调整,其调整方法如下：方法方法3 平移优值法平移优值法 打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标便是最优整点解.此种方法对图的精确度要求很高,一般不采用. 方法方法4 逐点检验法逐点检验法如果可行域中的整点数目很少,可采用逐个代入试解的方法.综合问题13 生活中的优化问题综合点1 生活中的优
13、化问题综合问题13 生活中的优化问题【关键点拨关键点拨】本题关键在于引入变量，根据材料所限及工时所限建立变量间的不等式即线性约束条件；由于利润来源于产品A，B的利润，故把利润表示为产品A，B件数的函数，即线性目标函数，然后利用一般的线性规划问题解决，再来验证答案即可类型类型1 1 斜率型非线性规范问题的最值斜率型非线性规范问题的最值（值域）（值域）类型类型2 2 距离型非线性规范问题的最值距离型非线性规范问题的最值（值域）（值域）综合点2非线性规划问题综合问题14 非线性规划综合点2类型1斜率型非线性规划问题的最值（值域）综合问题14 非线性规划问题综合点2类型1斜率型非线性规划问题的最值（值
14、域）综合问题14 非线性规划问题综合点2类型1斜率型非线性规划问题的最值（值域）综合问题14 非线性规划问题综合点2类型2距离型非线性规划问题的最值（值域）综合问题14 非线性规划问题综合点2类型2距离型非线性规划问题的最值（值域）综合问题14 非线性规划问题综合点2类型2距离型非线性规划问题的最值（值域） 目标函数中含有绝目标函数中含有绝对值，可以考虑绝对值对值，可以考虑绝对值的意义，也可通过观察的意义，也可通过观察绝对值内的代数式的符绝对值内的代数式的符号作出判断号作出判断【题眼题眼】综合问题14 非线性规划问题综合点2类型2距离型非线性规划问题的最值（值域） 本题中的目标函数为非线性目标函数，解决这类问题时需充分把握目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理，即方法一的处理方法另外，方法二是在充分研究可行域的基础上对问题作出等价处理，针对本题，也不失为一种好方法 【点拨】【点拨】综合问题14 非线性规划问题综合点2类型2距离型非线性规划问题的最值（值域）综合问题14 非线性规划问题敬请期待下一专题敬请期待下一专题Thanks！
