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1、2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟此事古难全，但愿千里共婵娟生活中的双曲线生活中的双曲线法拉利
2、主题公园法拉利主题公园巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆麦克唐奈天文馆1.1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程方程. .（重点）（重点）2.2.会用待定系数法确定双曲线的方程会用待定系数法确定双曲线的方程. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 双曲线的定义双曲线的定义问题问题1 1：椭圆的定义？椭圆的定义？ 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距的距离之和等于常数（大于离之和等于常数（大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆. .问题问题2 2：如果把椭圆定义中的如果把椭圆定义中的“距离
3、之和距离之和”改为改为“距距离之差离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？，那么点的轨迹是怎样的曲线？即即“平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离之差等于非零常的距离之差等于非零常数的点的轨迹数的点的轨迹 ”是什么？是什么？如图如图(A)(A)， |MF |MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|F|=|F2 2F|F|如图如图(B)(B)，|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=2|=2a a，由由可得：可得： |MF |MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2|=2a a（非零常数）（非零常数）. . 上面两条曲线合起来叫做上面两条曲线合起来叫做双曲线双曲
4、线, ,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支的一支. .看图分析动点看图分析动点M M满足的条件：满足的条件：=2a.=2a.即即|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=-2|=-2a.a.图图图图 两个定点两个定点F F1 1，F F2 2双曲线的焦点双曲线的焦点; ;|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c双曲线的焦距双曲线的焦距. .oF2F1M 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差差的的绝对值绝对值等于等于常数常数（小于（小于F F1 1F F2 2) )的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线. .双曲线定义双曲线定义|MF|MF1
5、 1|-|MF|-|MF2 2|=2a ( 02a2c) |=2a ( 02a2c2a=2c,2a2c？不能不能. .若为若为0 0，曲线就是，曲线就是F F1 1F F2 2的垂直平分线了；的垂直平分线了；若为若为2a=2c,2a=2c,曲线应为以曲线应为以F F1 1,F,F2 2为端点的两条射线；为端点的两条射线；若为若为2a2c,2a2c,这样的曲线不存在这样的曲线不存在. .明确了双曲线的定义，你能根据定义求出其方程吗？明确了双曲线的定义，你能根据定义求出其方程吗？探究点探究点2 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. . 如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xO
6、yxOy，使，使x x轴经过两焦点轴经过两焦点F F1 1，F F2 2，y y轴为线轴为线段段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线. .F2 2F1 1MxOy 设设M(xM(x, y), y)为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点, ,双曲线的焦距双曲线的焦距为为2c(c0),2c(c0),则则F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)，又设点，又设点M M与与F F1 1，F F2 2的距离的差的绝对值等于常数的距离的差的绝对值等于常数2a.2a.2. 2. 设点设点. .3.3.列式列式由定义可知，双曲线就是集合：由定义可知，双曲线就是集合： P=
7、 M P= M |MF|MF1 1 | - | MF | - | MF2 2| | | = 2a ,= 2a , 4.4.化简化简代数式化简得：代数式化简得：由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，2c2a0,2c2a0,即即ca,ca,故故c c2 2-a-a2 20,0,令令c c2 2-a-a2 2=b=b2 2, ,其中其中b0,b0,代入上式，得：代入上式，得： 上面方程是双曲线的方程上面方程是双曲线的方程, ,我们把它叫做双曲我们把它叫做双曲线的标准方程线的标准方程. .它表示焦点在它表示焦点在x x轴上，焦点分别是轴上，焦点分别是F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c
8、,0)(c,0)的双曲线，这里的双曲线，这里c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .想一想：想一想：焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程应该是轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？什么？我们应该如何求解？ 定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a,b,ca,b,c的的关系关系F F（c c，0 0）F F（c c，0 0）a0a0，b0b0，但，但a a不一不一定大于定大于b b，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2ab0ab0，a a2 2=b=b2 2+c+c2 2|MF|MF1 1| |MF|MF2 2|=2a,02a|F|=2a,02a|F2a|F1 1F F2
9、 2| | 椭椭 圆圆双曲线双曲线F F（0 0，c c）F F（0 0，c c）【总结提升【总结提升】解：解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x x轴上，所以设它的标准轴上，所以设它的标准方程为方程为因为因为2a=6,2c=10,2a=6,2c=10,所以所以a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为定位定位定量定量【变式练习【变式练习】解：解：例例2 2 已知已知A,BA,B两地相距两地相距800 m,800 m,在在A A地听到炮弹爆炸声比地听到炮弹爆炸声比在在B B地晚地晚2 s,2 s,且声速为且声速为340 m/s340 m/s,
10、,求炮弹爆炸点的轨迹方求炮弹爆炸点的轨迹方程程. .分析分析: :首先根据题意首先根据题意, ,判断轨迹的形状判断轨迹的形状. .由声速及由声速及A A，B B两处听到爆炸声的时间差两处听到爆炸声的时间差, ,可知可知A A，B B两处与爆炸点的两处与爆炸点的距离的差为定值距离的差为定值. . 这样，爆炸点在以这样，爆炸点在以A A，B B为焦点的为焦点的双曲线上双曲线上. .因为爆炸点离因为爆炸点离A A处比离处比离B B处远，所以爆炸点处远，所以爆炸点应在靠近应在靠近B B处的双曲线的一支上处的双曲线的一支上. .解解: : 如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xOyxOy,
11、,使使A A，B B两点在两点在x x轴上，并且坐标原点轴上，并且坐标原点O O与线段与线段ABAB的中点重合的中点重合. .xyoPBA设爆炸点设爆炸点P P的坐标为的坐标为(x,y(x,y) )，则，则即即 2 2a a=680=680，a a=340.=340.又又所以所以 2c=800,c=400,2c=800,c=400,因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【变式练习【变式练习】1.1.若在若在A,BA,B两地同时听到炮弹爆炸声两地同时听到炮弹爆炸声, ,则炮弹爆炸点则炮弹爆炸点的轨迹是什么的轨迹是什么? ?解解: : 爆炸点的轨迹是线段爆炸点
12、的轨迹是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .2.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置点的准确位置. . 而现实生活中为了安全，我们最关心而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢准确位置呢? ?解解: :再增设一个观测点再增设一个观测点C C，利用，利用B B，C C（或（或A A，C C）两处测）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双
13、曲线的方程，得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .1 1已知两定点已知两定点F F1 1( (5,0)5,0)，F F2 2(5,0)(5,0)，动点，动点P P满足满足| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2a a，则当，则当a a3 3和和5 5时，时，P P点的轨迹点的轨迹为为( () )A A双曲线和一直线双曲线和一直线B B双曲线和一条射线双曲线和一条射线C C双曲线的一支和一条射线双曲线的一支和一条射线D D双曲线的一支和一条直线双曲线的一支和一条直线A A3.3.若双曲线若双曲线kxkx2 2-y-y2 2=1=1的一个焦点的坐标是的一个焦点的坐标是(2,0)(2,0)，则，则k=_.k=_.B B解题关键：由双曲线的标准方程得出解题关键：由双曲线的标准方程得出a,ba,b，再由，再由a,b,ca,b,c的大小关系求出的大小关系求出c.c. .， ， ， ， 双双曲曲线线定定义义及及标标准准方方程程双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线标准方程双曲线标准方程双曲线定义双曲线定义定位定位定量定量 如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功.
