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1、学习必备欢迎下载七年级上册期中知识点第二章有理数2.1 比 0 小的数正数和负数正数和负数的概念负数:比0 小的数正数:比0 大的数0 既不是正数,也不是负数注意 :字母 a 可以表示任意数,当a 表示正数时, -a 是负数;当a 表示负数时,-a 是正数;当 a 表示 0 时, -a 仍是 0。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上 8表示为: +8;零下8表示为: -8 3.0 表示的意义0 表示“没有”,如教室里有0 个人,就是说教室里没有人;0 是正数和负数的分界线,0 既不是正数,也不是负数。4. 有理数定义:正整数、0、负整
2、数统称为整数(0 和正整数统称为自然数)分类:按有理数的意义分类按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 ( 0 不能忽视)正分数负整数分数负有理数负分数负分数2.2 数轴1. 定义: 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。注意: 数轴是一条向两端无限延伸的直线;原点、 正方向、 单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可; 同一数轴上的单位长度要统一;数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2. 数轴上的点与有理数的关系(1)所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0 用原点表示。(2)所有的有理数都可以用数
3、轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点不是有理数)3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习必备欢迎下载4. 数轴上特殊的最大(小)数最小的自然数是0,无最大的自然数;最小的正整数是1,无最大的正整数;最大的负整数是-1,无最小的负整数5. 数轴上点的移动规律根据点的移动, 向左移动几个单位
4、长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。2.3 绝对值和相反数绝对值绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作|a| 。2. 绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是0. 可用字母表示为:如果 a0,那么 |a|=a ;如果 a0,那么 |a|=-a;如果 a=0,那么 |a|=0 。可归纳为: a0, |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。 ) a0, |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)3. 绝对值的性质任何一个
5、有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a 取任何有理数,都有 |a| 0。即0 的绝对值是0;绝对值是0 的数是 0. 即: a=0 |a|=0;一个数的绝对值是非负数. 即: |a| 0;任何数的绝对值都不小于原数。即:|a| a;绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a ( a0) ,则 x= a;互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若 a+b=0,则 |a|=|b|;绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b ;若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0,则 a=0
6、且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。5. 绝对值的化简当 a 0时, |a|=a ;当 a0 时, |a|=-a 6. 已知一个数的绝对值,求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离,一般地, 绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0 的数是 0,没有绝对值为负数的数。相反数精选学习资料 - - - - - - - -
7、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页学习必备欢迎下载1. 相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0 除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点;原点表示0 的相反数。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。2. 相反数的代数定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。注意:相反数是成对出现的;相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。3. 相反数的性质与判定任何数都有相反数,
8、且只有一个;0 的相反数是0;互为相反数的两数和为0,和为 0 的两数互为相反数,即a,b 互为相反数,则a+b=04. 相反数的求法求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“- ”即可求得(如:5 的相反数是 -5 ) ;求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“- ” ,然后化简(如;5a+b 的相反数是 - (5a+b) 。化简得 -5a-b ) ;求前面带“ - ”的单个数,也应先用括号括起来再添“- ” ,然后化简 ( 如: -5 的相反数是 -(-5 ) ,化简得5) 5. 相反数的表示方法一般地,数a 的相反数是 -a ,其中 a 是任意有理数,可以是正数、负数或0。当 a
9、0 时, -a0 (正数的相反数是负数)当 a0 (负数的相反数是正数)当 a=0 时, -a=0 , (0 的相反数是0)6. 多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“- ”号的个数决定最后化简结果;即: “- ”的个数是奇数时,结果为负,“- ”的个数是偶数时,结果为正。2.4 有理数的加法和减法1. 有理数的加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数相加,和为零;一个数与零相加,仍得这个数。2. 有理数加法的运算律加法交换律:a+b=
10、b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”;符号相同的两个数先相加“同号结合法”;分母相同的数先相加“同分母结合法”;几个数相加得到整数,先相加“凑整法”;整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页学习必备欢迎下载3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0 后的和等于原数。即:当 b0 时, a+ba 当 b0 时, a+ba 当 b
11、=0 时, a+b=a 4. 有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。在和式里, 通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法:按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负8 减 7 减 6加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:. 把符号相同的加数相结合(同号结合法) (
12、-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合)=-49+41 (运用加法法则一进行运算)=-8 (运用加法法则二进行运算). 把和为整数的加数相结合(凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)=(
13、6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合)=4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算)=-2.2 (得出结论). 把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)-53-21+43-52+21-87原式 =(-53-52)+(-21+21)+(+43-87) =-1+0-81=-181. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
14、 4 页,共 13 页学习必备欢迎下载原式 =(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141) =81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=1061. 把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)-351+10116-12221+4157原式 =(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221) =-1+154+2211=-1+308+3015-307. 分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+
15、69) =0 . 先拆项后结合(1+3+5+7 +99)-(2+4+6+8 +100)2.5 有理数的乘法与除法1. 有理数的乘法法则法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;( “同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)法则二:任何数同0 相乘,都得0;法则三: 几个不是 0 的数相乘, 负因数的个数是偶数时,积是正数; 负因数的个数是奇数时,积是负数;法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0, 则积等于0. 2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为aa1=1(a精选学习资料 - - - - - -
16、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页学习必备欢迎下载0) ,就是说 a 和a1互为倒数,即a 是a1的倒数,a1是 a的倒数。注意: 0 没有倒数;求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);倒数等于它本身的数是1 或-1, 不包括 0。3. 有理数的乘法运算律乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后
17、两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc). 乘法分配律: 一般地, 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则(1)除以一个不等0 的数,等于乘以这个数的倒数。(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数,都得 0 5.有理数的乘除混合运算(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照先乘除,后加减的顺序进行。2.6 有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方, 乘方的
18、结果叫做幂。在na中,a 叫做底数,n 叫做指数。2.乘方的性质(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。(2)正数的任何次幂都是正数,0 的任何正整数次幂都是0。2.7 有理数的混合运算1.运算顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。2.科学计数法把一个大于10 的数表示成na10的形式(其中101a, n 是正整数),这种记数法是科学记数法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页学习必备欢迎下载第三章用字母表示数3.
19、2 代数式1.代数式 :用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc 。单独的一个数或一个字母也是代数式。2.单项式 :表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。3.单项式的系数:单项式中的数字因数4.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和5.多项式 :几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。6.整式 :单项式和多项式统称为整式。注意 :分母上含有字母的不是整式。7.代数式书写规范:数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写
20、或用“”表示,并把数字放到字母前;出现除式时,用分数表示;带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数;若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。3.4 合并同类项同类项 :所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。合并同类项的步骤: (1)准确的找出同类项; (2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起;( 3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;(4)写出合并后的结果。3.5 去括号法则(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不
21、变;(2)括号前面是“”号,把括号和它前面的“”号去掉,括号里各项的符号都要改变。整式的加减 :进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项。整式加减的步骤: (1)列出代数式; (2)去括号;(3)合并同类项。第四章一元一次方程4.1 从问题到方程一元一次方程的概念:只含有 一个 未知数(元)且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程。一般形式: ax+b= 0(a0) 注意 :未知数在分母中时,它的次数不能看成是1 次。如xx31,它不是一元一次方程。4.2 解一元一次方程方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程:求方程的解的过程叫做解方程。等式的性质:
22、 (1)等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页学习必备欢迎下载(2)等式两边都乘或除以同一个不等于0 的数,所得结果仍是等式。移项:方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。移项的依据: (1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质1; (2)系数化为 1 实际上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质2。移项的作用: 移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移, 使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并。注
23、意:移项时要跨越“=”号,移过的项一定要变号。解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。注意 :去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用,去掉分母后,若分子是多项式,要加括号。用方程解决问题列一元一次方程解应用题的基本步骤:审清题意、设未知数(元)、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程。解决问题的策略:利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系4.2 用方程解决问题实际问题的常见类型:行程问题:路程=时间速度,时间=速度路程,速度 =时间路程(单位: 路程米、千米;时间秒、分、 时;速度米秒、米分、千米小时
24、)工程问题:工作总量=工作时间工作效率,工作总量=各部分工作量的和利润问题:利润=售价 -进价,利润率=进价利润,售价 =标价( 1-折扣)等积变形问题:长方体的体积=长宽高;圆柱的体积=底面积高;锻造前的体积=锻造后的体积利息问题:本息和=本金 +利息;利息 =本金利率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页学习必备欢迎下载有理数的混合运算练习题训练一2.2( 3)2 2. 12411()()()235233. 11( 1.5)42.75( 5)42 4. 8( 5)635.3145()2 6. 25()()( 4.9
25、)0.656722( 10)5()5 8. 323( 5)()59.25( 6)( 4)( 8) 10. 1612()(2)47211.2( 16503)( 2)5 12. 32( 6)8( 2)( 4)5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页学习必备欢迎下载13.21122()(2 )2233 14. 199711(1 0.5)315.2232 3()223 16. 232()(1)04317.4211(10.5)2( 3) 3 18. 4( 81)( 2.25)()16919.215 4(10.2)( 2)5 20
26、. 666( 5)( 3 )( 7)( 3)12( 3)77721.235()( 4)0.25 ( 5)( 4)8 22. 23122( 3)(1)6293训练二111 ( 1.5)42.75( 5)42、124112()()()23523、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习必备欢迎下载115723348126824、1141382、4 ( 81) ( 2.25) ()1695、666 ( 5) ( 3 )3( 7)12 37776、31118 383183824277、1111455 6677 88、训练三
27、1、13)18()14(202、39145123、(431)(431)(332)4、810655、 ( 2)(21)( 2)6、482458341327、22(2)223+(2)38、33514( 1)( 8 )( 3)( 2)5217训练四精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习必备欢迎下载(1)23322( 3)( )6293(222299993( 3)( 2)2( 98)98(3)3223731( 25)( 1 )()()( 0.1)940.1(4)23733553(1)(1 0.6) ()()20( 1)4
28、423(5)34111( 0.25)( 2)7 ()5( 8)4( 0.125)168(6)1111.1 44 77 1091 94精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习必备欢迎下载25、已知322111124;33221129234; (10 分) 33322112336344;33332211234100454.(1) 猜想填空:333331123.(1)4nn( )2( )2(2) 计算33333123.9910033333246.98100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页