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1、学习必备欢迎下载七年级上册期中知识点第二章有理数2.1 比 0 小的数正数和负数正数和负数的概念负数：比0 小的数正数：比0 大的数0 既不是正数，也不是负数注意 ：字母 a 可以表示任意数，当a 表示正数时， -a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时， -a 仍是 0。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为： +8；零下8表示为： -8 3.0 表示的意义0 表示“没有”，如教室里有0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。4. 有理数定义：正整数、0、负整
2、数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）分类：按有理数的意义分类按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （ 0 不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数2.2 数轴1. 定义： 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意： 数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、 正方向、 单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2. 数轴上的点与有理数的关系（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。（2）所有的有理数都可以用数
3、轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载4. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5. 数轴上点的移动规律根据点的移动， 向左移动几个单位
4、长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。2.3 绝对值和相反数绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a| 。2. 绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 可用字母表示为：如果 a0，那么 |a|=a ；如果 a0，那么 |a|=-a；如果 a=0，那么 |a|=0 。可归纳为： a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ） a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）3. 绝对值的性质任何一个
5、有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有 |a| 0。即0 的绝对值是0；绝对值是0 的数是 0. 即： a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数. 即： |a| 0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a| a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a （ a0） ，则 x= a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则 |a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b ；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0，则 a=0
6、且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5. 绝对值的化简当 a 0时， |a|=a ；当 a0 时， |a|=-a 6. 已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地， 绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。相反数精选学习资料 - - - - - - - -
7、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载1. 相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原点表示0 的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。2. 相反数的代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：相反数是成对出现的；相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。3. 相反数的性质与判定任何数都有相反数，
8、且只有一个；0 的相反数是0；互为相反数的两数和为0，和为 0 的两数互为相反数，即a，b 互为相反数，则a+b=04. 相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“- ”即可求得（如：5 的相反数是 -5 ） ；求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“- ” ，然后化简（如；5a+b 的相反数是 - （5a+b） 。化简得 -5a-b ） ；求前面带“ - ”的单个数，也应先用括号括起来再添“- ” ，然后化简 ( 如： -5 的相反数是 -（-5 ） ，化简得5) 5. 相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是 -a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。当 a
9、0 时， -a0 （正数的相反数是负数）当 a0 （负数的相反数是正数）当 a=0 时， -a=0 ， （0 的相反数是0）6. 多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“- ”号的个数决定最后化简结果；即： “- ”的个数是奇数时，结果为负，“- ”的个数是偶数时，结果为正。2.4 有理数的加法和减法1. 有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2. 有理数加法的运算律加法交换律：a+b=
10、b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数。即：当 b0 时， a+ba 当 b0 时， a+ba 当 b
11、=0 时， a+b=a 4. 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里， 通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负8 减 7 减 6加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：. 把符号相同的加数相结合（同号结合法） (
12、-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）. 把和为整数的加数相结合（凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(
13、6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-53-21+43-52+21-87原式 =(-53-52)+(-21+21)+(+43-87) =-1+0-81=-181. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
14、 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载原式 =(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141) =81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=1061. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-351+10116-12221+4157原式 =(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221) =-1+154+2211=-1+308+3015-307. 分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+
15、69) =0 . 先拆项后结合（1+3+5+7 +99）-（2+4+6+8 +100）2.5 有理数的乘法与除法1. 有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（ “同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0 相乘，都得0；法则三： 几个不是 0 的数相乘， 负因数的个数是偶数时，积是正数； 负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0, 则积等于0. 2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为aa1=1（a精选学习资料 - - - - - -
16、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载0） ，就是说 a 和a1互为倒数，即a 是a1的倒数，a1是 a的倒数。注意： 0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是1 或-1, 不包括 0。3. 有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后
17、两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). 乘法分配律： 一般地， 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则（1）除以一个不等0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0 5.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。2.6 有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的
18、结果叫做幂。在na中，a 叫做底数，n 叫做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。2.7 有理数的混合运算1.运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。2.科学计数法把一个大于10 的数表示成na10的形式（其中101a， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载第三章用字母表示数3.
19、2 代数式1.代数式 ：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc 。单独的一个数或一个字母也是代数式。2.单项式 ：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。3.单项式的系数：单项式中的数字因数4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和5.多项式 ：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。6.整式 ：单项式和多项式统称为整式。注意 ：分母上含有字母的不是整式。7.代数式书写规范：数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写
20、或用“”表示，并把数字放到字母前；出现除式时，用分数表示；带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。3.4 合并同类项同类项 ：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。合并同类项的步骤： （1）准确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（ 3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果。3.5 去括号法则（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不
21、变；（2）括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都要改变。整式的加减 ：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。整式加减的步骤： （1）列出代数式； （2）去括号；（3）合并同类项。第四章一元一次方程4.1 从问题到方程一元一次方程的概念：只含有 一个 未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式： ax+b= 0(a0) 注意 ：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1 次。如xx31，它不是一元一次方程。4.2 解一元一次方程方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。等式的性质：
22、 （1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0 的数，所得结果仍是等式。移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。移项的依据： （1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； （2）系数化为 1 实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。移项的作用： 移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移， 使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。注
23、意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。注意 ：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。用方程解决问题列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系4.2 用方程解决问题实际问题的常见类型：行程问题：路程=时间速度，时间=速度路程，速度 =时间路程（单位： 路程米、千米；时间秒、分、 时；速度米秒、米分、千米小时
24、）工程问题：工作总量=工作时间工作效率，工作总量=各部分工作量的和利润问题：利润=售价 -进价，利润率=进价利润，售价 =标价（ 1-折扣）等积变形问题：长方体的体积=长宽高；圆柱的体积=底面积高；锻造前的体积=锻造后的体积利息问题：本息和=本金 +利息；利息 =本金利率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载有理数的混合运算练习题训练一2.2( 3)2 2. 12411()()()235233. 11( 1.5)42.75( 5)42 4. 8( 5)635.3145()2 6. 25()()( 4.9
25、)0.656722( 10)5()5 8. 323( 5)()59.25( 6)( 4)( 8) 10. 1612()(2)47211.2( 16503)( 2)5 12. 32( 6)8( 2)( 4)5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载13.21122()(2 )2233 14. 199711(1 0.5)315.2232 3()223 16. 232()(1)04317.4211(10.5)2( 3) 3 18. 4( 81)( 2.25)()16919.215 4(10.2)( 2)5 20
26、. 666( 5)( 3 )( 7)( 3)12( 3)77721.235()( 4)0.25 ( 5)( 4)8 22. 23122( 3)(1)6293训练二111 ( 1.5)42.75( 5)42、124112()()()23523、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载115723348126824、1141382、4 ( 81) ( 2.25) ()1695、666 ( 5) ( 3 )3( 7)12 37776、31118 383183824277、1111455 6677 88、训练三
27、1、13)18()14(202、39145123、(431)(431)(332)4、810655、 （ 2）（21）（ 2）6、482458341327、22(2)223+(2)38、33514( 1)( 8 )( 3)( 2)5217训练四精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载（1）23322( 3)( )6293（222299993( 3)( 2)2( 98)98（3）3223731( 25)( 1 )()()( 0.1)940.1（4）23733553(1)(1 0.6) ()()20( 1)4
28、423（5）34111( 0.25)( 2)7 ()5( 8)4( 0.125)168（6）1111.1 44 77 1091 94精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载25、已知322111124;33221129234; (10 分) 33322112336344;33332211234100454.（1） 猜想填空：333331123.(1)4nn( )2( )2（2） 计算33333123.9910033333246.98100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
