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1、57 / 34 第三篇 线性代数第 1 章 行列式 (不作为考试内容 ) 第 2 章 矩 阵1 矩阵的概念我们知道,线性方程组1352yxyx的系数及常数项组成一张数表131512,线性方程组的解取决于这张数表。定义 由nm个数ija排成m行n列的矩形阵表,称为nm矩阵mnmmnnaaaaaaaaa.212222111211,记为mnijaA)(当nm时,称为方阵,如3211,111110101等;当1m时,),(11211naaa称为行矩阵;当1n时,12111maaa称为列矩阵;当0ija时,0.00.0.000.00称为零矩阵;记为o,如0000,000000000等。矩阵只是一张数表,
2、不是一个数,因此,不能展开,不能求值,也不能比较大小。如1011=1,10112012, 10113等都是错误的。定义 设mnijaA)(,mnijbB)(是两个矩阵,若(1)、A、B同阶;( 2)、ijijba则称BA。例 设A232221131211aaaaaa,B412503精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 34 页58 / 34 若BA,则311a,012a,513a,221a,122a,423a。例 设A7321x,B721x,且BA,则x。2 矩阵的运算设mnijaA)(,mnijbB)(是两个同阶矩阵。一、加
3、法:mnijijbaBA)(,(对应元素相加)例 设A152403B130432则BA113502443023=022031二、减法:m nijijbaBA)(,(对应元素相减)例 设A152403B130432则BA11)3(5024430)2(3282835三、数乘:mnijkakA)(,(用k遍乘A中所有元素)例 设A062504713,则A2012410081426例 设A751213,B915457,且BXA2,求矩阵X。解 由BXA2,得X)(21ABAB915457751213244664X)(21AB21244664122332精选学习资料 - - - - - - - - -
4、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 34 页59 / 34 四、乘法:设mlijaA)(,nlijbB.)(,则mnijcABC)(,其中ijcA的第i行B的第j列。相乘条件:A的列数B的行数。相乘结果:AB是一个nm矩阵,即:( ml) ()nl例 设A200112,B102321,求AB。解AB200112102321=204321540例 设A0011,B0101,求AB,BA。解AB00110101=0000BA01010011=1111从而BAAB例 设A2141,B3140,求AB,BA。解AB21413140=10284,BA31402141=10284BAA
5、B矩阵乘法满足:(1)、结合律)()(BCACAB(2)、分配律ACABCBA)(,CABAACB)(不满足:( 1)、交换律BAAB(2)、消去律即若BCAC,且0C,则BA(3)、若0AB,则0A或0B一般地,若A、B是同阶方阵,且BAAB,则称A与B是可交换矩阵相乘条件相乘结果AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 34 页60 / 34 五、乘幂:设A是n阶方阵,定义AAkAA.(k个)例 设A1011,则AA2A=10111011=102123AAA=10211011=1031等等 , 一般地nA=101n。例 设
6、A、B是同阶方阵,计算2)(BA,)(BABA。解222)()()()(BBAABABABBAABABABA一般地,2222)(BABABA)(BABA2)()(ABABBAA2BBAAB一般地,22BA)(BABA六、转置:设Amnmnmmnnaaaaaaaaa.212222111211,则TAnmmnnnmmaaaaaaaaa.212221212111称为A的转置矩阵。结论: (1)、A的行变成TA的列,A的列变成TA的行;(2)、设A是nm矩阵,则TA是mn矩阵。例 设A121310211B112213,求TA,TB。解TA132211101TB121123性质: (1)、AATT)(
7、(2)、TTTABAB)((3)、TTTBABA)((4)、TTkAkA)(例 设A、B都是45矩阵,则下面运算可进行的是()。A、AB B、BA C、TBAD、TAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 34 页61 / 34 例 设A为53矩阵,B为42矩阵,且乘积ACB有意义,则TC是()矩阵。A、52B、43C、45D、25练习 设A041021,B201141,则TTBA)(。3 几类特殊矩阵一、对角形矩阵对角矩阵:nmaaa0000002211性质:同阶对角矩阵的和差、数乘、积、转置仍为对角矩阵;数量矩阵:aaa0
8、00000性质:同阶数量矩阵的和差、数乘、积、转置仍为数量矩阵;单位矩阵:100010001记为I,如2I1001,3I100010001,等等。例 设A042160305,求IA,AI。解IA=100010001042160305=042160305=A,同样可得AAII一般地,对任意方阵A,有AAIIA(I类似于数1)对于单位矩阵,有II2,II3等等。例 下面式子是否成立?( 1)IAAIA2)(22( 2)IAIAIA2)(二、三角形矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 34 页62 / 34 上三角矩阵:nnnn
9、aaaaaa00022211211下三角矩阵:nnnnaaaaaa21222111000性质:同阶上(下)三角矩阵的和差、数乘、积仍为上(下)三角矩阵。三、对称矩阵定义 若方阵mnijaA)(满足AAT,则称A为对称矩阵例A131352120是对称矩阵若矩阵A对称jiijaa (即主对角线对称位置上的元素必对应相等) 性质:同阶对称矩阵和、差、数乘仍为对称矩阵。注意:两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。例 设A2111,B0110都是对称矩阵。而AB21110110=1211却不是对称矩阵。例 试证对任意方阵A,TAA,TAA均是对称矩阵。证TTAA)(TTTTTAAAAAA)(TAA是对称矩
10、阵;TTTTTTAAAAAA)()(TAA是对称矩阵。例 若A、B均为n阶对称矩阵,则BAAB也是对称矩阵。(自己证明)例 设A、B均为方阵,则下列结论正确的有()。A、TTTBAAB)(B、若AAT,则22)(AATC、AAAATTD、若AAT,BBT,则ABABT)(4 矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换(1)、非齐次线性方程bAX;(2)、齐次线性方程0AX,现讨论方程组的的解法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 34 页63 / 34 例 求解方程组)2(1)1(1212121xxxx设11121A称为系数矩阵,
11、1111121A称为增广矩阵,11,21bxxX。则线性方程组的矩阵形式为:bAX现讨论方程组的的解法。解 方程组2)1(1222121xxxx)1)(1()2(3022221xxx)1)(2(322221xxx)2)(2()1(3421xx即方程组的解为41x,32x另解增广矩阵A11111212)1(111221)1)(1()2(310221)1)(2(310221)2)(2()1(310401方程组的解为41x,32x矩阵的初等行变换:(1)、用一个非零数乘矩阵某行,记为ki)((2)、把某行的倍数加到另一行中去,记为kij)()((3)、互换任意两行的位置,记为)(),(ji定义 若距
12、阵A满足:( 1)、零行在矩阵最下方;( 2)、首非零元的列标随行标的增大而增大,则称A是阶梯矩阵。例300740011、00000370002145053102都是阶梯矩阵,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 34 页64 / 34 300703011、300700011不是阶梯矩阵。定义若阶梯矩阵A满足:(1)、非零行的首非零元都是1;( 2)、首非零元所在列的其余元素都是0,则称A是行简化阶梯矩阵。例000110101、010000201100402031是行简化阶梯矩阵,200110101、101200010001不
13、是行简化阶梯矩阵。定理:矩阵A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵二、矩阵的秩定义 矩阵A的阶梯矩阵中非零行的行数称为A的秩,记为秩(A)。求法A初等行变换阶梯矩阵, 则秩(A)=阶梯矩阵中非零行的行数例 求矩阵A5341112332122131的秩。解A)1)(1()4()3)(1()3()2()1()2(7470747074702131)1)(2()4()1)(2()3(0000000074702131秩(A)2例 求矩阵A5222321120117033的秩。解:A)2()1(5222321170332011)2)(1()4()1)(1()3()3)(1()2(1200120010
14、002011)1)(3()4(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 34 页65 / 34 0000120010002011)3()2(0000100012002011秩(A)3练习 1 矩阵111111111的秩是;矩阵444222111的秩是;矩阵101101101的秩是;n阶单位矩阵I的秩是。练习 2 矩阵330204212的秩是。定义:设A的n阶方阵,若秩nA)(,则称A为满秩矩阵;若秩nA)(,则称A为降秩矩阵;定理:()、对任何方阵A,有秩(A)秩(AT)()、设A为满秩矩阵,则A初等行变换I5逆矩阵大家知道,数的
15、运算,除法是乘法的逆运算,那么,矩阵是否也有除法运算呢?例 求(53)115335(53)1=35或13553(53)1=35定义: 对于方阵A,若存在同阶方阵B,使得IAB,则称B是A的逆矩阵,记为A1,A可称为可逆矩阵。一般地,若IAB,则A1=B,B1=A例 设A2312,B2312AB23122312=1001=I,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 34 页66 / 34 A,B均可逆,且A1=B,B1=A定理:矩阵A可逆的充分必要条件是A是满秩矩阵,并且逆矩阵是唯一的。例 矩阵A0001不可逆矩阵A1111不可逆
16、矩阵A3002可逆例 设矩阵A300010002,求A1。解30001000231000100021=100010001=I,A1=31000100021一般地,1210000000naaa=naaa100001000121(其中0ia)10000000aaa=aaa1000010001 (其中0a) II1性 质 : ( 1 ) 、 (A1)1=A( 2 ) 、 (AB)1=B11A(3) 、(AT)1=( A1)T例 试证若A2=I,且AAT=I,则I为对称矩阵。证AAT=I,A可逆,即A1存在又A2=IA2= AAT,即AA=ATA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
17、纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 34 页67 / 34 用A1左乘上式得:A1AA= A1AATIA=IATAT=A A是对称矩阵例 设A为n阶方阵,且A2=I2,证明AI可逆,并求1)(AI。证A2=I2,IIA2即IIA2从而IIAIA)(IA可逆,且IAIA1)(6 逆矩阵的求法例 设AdcbaBacbdbcad1(其中0bcad)则 有ABacbddcbabcad1bcadbcadbcad001=1001I。于是有下面公式:公式:设Adcba,若0bcad,则A可逆,且A1=acbdbcad1例 设A4151,求A1解bcad0154A可逆,A11154=1154例
18、 设A11875,则A1=。一般地,设A是可逆矩阵,对A施行若干次初等行变换化为I,可以证明对I施行同样的初等行变换化为A1,于是可以得到求逆矩阵方法如下:逆矩阵求法:作一个nn2矩阵),(IA,则),(IA初等行变换),(1AI例 设A223112011,求A1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 34 页68 / 34 解),(IA1002230101120010113)1()3()2)(1()2(1032500121300010112)2()3(121010012130001011)3()2(012130121010
19、001011)3)(2()3()2()1(351100121010120001)1)(3(351100121010120001),(1AIA1=351121120例 解矩阵方程( 1)、BAX,其中A3152,1264B(2)、BXA,其中A8553,B4321解 (1)、),(IA10310152)2(),1()2)(1()2(01521031211053012110530121101031)1)(2(3)2()1(),(1AI,21531ABAX1=21531264=80232(2)、12524bcadA1=acbd=3558=3558BAX1=43213558=3412精选学习资料 -
20、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 34 页69 / 34 一般地:若( 1)、BAX(A可逆),则BAX1(2)、BXA(A可逆),则1BAX第 2 章 综合练习题一、填空题1、设A212121,B212234,则BA2,TAB。、设A21,B132,则BAT。、当a时,矩阵Aa131可逆。、设A1320201ba,当a,b时,A是对称矩阵。、设500030002,则1。、设A321321321,则秩(A)。、设矩阵方程XBXA,如果IA可逆,则X。、若A101a,且A1AT,则a=。二、单项选择题、设A、B是两个n阶方阵,下列结论正确的
21、是()。A、0AB,则0A,0BB、2222)(BABABAC、若秩0)(A,秩0)(B,则秩0)(AB、D、若秩nA)(,秩nB)(,则秩nAB)(、设A是nm矩阵 ,B是ns矩阵,则下列运算有意义的是()。A、TABB、AB C、BATD、TTBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 34 页70 / 34 、下列矩阵中,可逆的矩阵是因为()。A、0011B、0110C、2211D、10104、设矩阵A314231001021,则)(Ar()A、4 B、3 C、2 D、1 5、设A、B是同阶方阵,若满足条件(),则可逆。
22、A、0ABB、IABC、0AD、BAAB6、设A、B是同阶对称矩阵,则BA2T是()。A、零矩阵B、对角矩阵C、可逆矩阵D、对称矩阵7、设下面矩阵CBA,能进行乘法运算,那么()成立。A、设ACAB,且0A,则CBB、设ACAB,且A可逆,则CBC、A可逆,则BAABD、0AB,则有0A,或0B三、计算题1、设矩阵021201A,210321B,计算TBAI。2、 设矩阵021201A,142136B,计算1)(AB。3 、设矩阵011120A,110012B,计算1)(TAB。4、设矩阵301111010A,求1)(AI。5、设矩阵5321A,3221B,求解矩阵方程BXA。四、证明题1、若
23、A为n阶方阵,且02A,试证AI可逆,并且AIAI1)(。2、设n阶矩阵A、B满足ABBA,证明IA可逆,并求其逆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 34 页71 / 34 第 3 章 线性方程组1 线性方程组的求解方法(消元法)线性方程组有如下二种类型:、非齐次线性方程组322112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxanmnmmnnnn矩阵形式:bAX ( 其中A为系数矩阵 )、齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxa
24、xa矩阵形式:0AX( 其中A为系数矩阵 )解法:对于非齐次线性方程组:bAX(1)、先写出方程组的增广矩阵A;(2)、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵;(3)、写出方程组之解。对于齐次线性方程组:0AX(1)、先写出方程组的增广矩阵A;(2)、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵;(3)、写出方程组之解。例 解方程组1222121xxxx解增广矩阵A=310221310221111221)1)(2()1)(1()2(310401)2)(2()1(,故方程组的解为3421xx例 解方程组25323232321321xxxxxxxx解增广矩阵A=211053213211)1)
25、(1()2(211021103211)1)(2()3(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 34 页72 / 34 000021103211)1)(2()1(000021101101原方程变为213231xxxx,故方程组的一般解为323121xxxx(其中 x3为自由未知量)例 解方程组488239324432143214321xxxxxxxxxxxx解增广矩阵 A=4882391132411113)1()3()2)(1()2(855501111041111)5)(2()3()1)(2()1(300001111032201
26、从A中最后一行可以得到300004321xxxx,是一个矛盾方程,故原方程组无解。2 线性方程组解的情况的判定设有:非齐次线性方程组bAX (m个方程,n个未知量,A为系数矩阵,A),(bA为增广矩阵)齐次线性方程组0AX(m个方程,n个未知量,A为系数矩阵 ) 解的情况判定定理1:( 1)、非齐次线性方程组bAX有解的充要条件是:秩( A)秩)(A;(2)、齐次线性方程组0AX一定有解。解的情况判定定理2:若非齐次线性方程组bAX有解,则(1)、当秩)(An时,方程组有唯一解;(2)、当秩)(An时,方程组有无穷多组解。对于齐次线性方程组0AX, 则(1)、当秩)(An时,方程组只有零解(唯
27、一解);(2)、当秩)(An时,方程组有非零解(无穷多组解)。例 讨论为何值时,方程组0032121xxxx有非零解?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 34 页73 / 34 解A113)2()1(311)3)(1()2(3011当03即3时,秩21)(A (未知量个数)从而方程组有非零解。例 当k时,方程组2422121kxxxx有无穷多组解?解增广矩阵A=21412k)2()1(41221k)2)(1()2(021021kk当k21时,秩(A)=秩21)(A (未知量个数 ), 从而有无穷多组解。例 判断方程组321
28、43232321321321xxxxxxxxx是否有解?解增广矩阵A=32114312312)2()1(32123121431)1()3()2)(1()(2(24100550143151)2(241001101431)2()3(3)2()1(230001101101故当3时,秩(A)=秩3)(A方程组有唯一解当3时,秩(A)3,秩2)(A,秩(A)秩)(A方程组无解例为何值时,下列方程组有解?有解时,求出它的解。122323212321321321321xxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 34 页7
29、4 / 34 解增广矩阵A=121121321321121)1()4()3)(1()3(2)1()2(0330355001101121)3)(2()4(5)2()3(0000300001101121当03,即3时,秩2)(A, 秩(A)3, 秩)(A秩(A)方程组无解;当03,即3时,秩)(A秩32)(A(未知量个数 ) 方程组有无穷多组解;当3时,增广矩阵A0000000001101121)2)(2()1(0000000001101101方程组的一般解为32311xxxx (其中3x为自由未知量 )。第3章综合练习题一、填空填1、方程组bAX有解的充要条件是。2、设n元齐次方程组0AX只有零
30、解,则秩)(A。3、若线性方程组bAX)0(b有唯一解,则0AX。4、设方程组bAX的增广矩阵A700023100111t则当t时,方程组有解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 34 页75 / 34 5、 方程组bAX的增广矩阵A010023106111则当时,方程组有唯一解。6、 线性方程组002121xxxx有非零解,则=。7、 当=时,线性方程组3422121xxxx无解?8、 齐次方程组0AX的系数矩阵A000020103211,此方程组的一般解为。二、单项选择题 1、非齐次方程组bXAmn有无穷多解的充要条件
31、是()。A、nmB、秩 (A)nC、秩)(A秩(A)mD、秩)(A秩(A)n 2、若非齐次方程组bXAmn有唯一解,那么有()。A、秩 (A)nB、秩mA)(C、秩)(A秩(A) D、秩)(A秩(A)n3、齐次方程组0XAmn有非零解的充分必要条件是()。A、秩mA)(B、秩)(AmC、秩nA)(D、秩nA)(4、齐次方程组0AX()。A、一定有非零解B、一定只有零解C、一定有解D、可能有解5、若线性方程组0AX只有零解,则bAX)0(b ( )。A、有唯一解B、可能有解C、有无穷多解D、无解6、线性方程组012121xxxx解的情况是()。A、无解B、只有零解C、有唯一解D、有无穷多解三、计
32、算题 1、解方程组11432143214321xxxxaxxxxxxxx其中参数a为何值时无解?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 34 页76 / 34 为何值时有无穷多组解?并求其一般解。 2、线性方程组bAX的增广矩阵A经过初等行变换后得到如下阶梯形矩阵:A20000131031221aa(1)、当a为何值时,方程组有解?(2)、在有解的情况下,求其一般解。3、解下列线性方程组653254231132432133214321xxxxxxxxxxxx经济数学基础期末复习提要现将本课程的主要知识点小结如下:1、求函数定义
33、域记住: 若xy1则0x;若xy则0x;若xy1则0x;若xyalog则0x;若xyalog1则0x且1x例 1 函数)1lg()(xxxf的定义域是。例 2 函数xxxf21)5ln()(的定义域是。例 3 函数)(xf20 , 105, 22xxxx的定义域是。2、求函数值对于0xx,则)(0xf称为函数值。例 1 设函数0,0,)(2xxxexfx,则)2().0(ff()。A、4 B、0 C、2e D、1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 34 页77 / 34 例 2 设,1)(,1)(2xxuuuf则)2(u
34、f。3、复合函数的运算己知复合函数,求原来的函数,则用变量代换;己知单个函数,求其复合函数,则直接代入即可;例 1 若函数52) 1(2xxxf,则)(xf。例 2 若函数42) 1(2xxxf,则)(xf。例 3 设11)(xxf,则)(xff()。A、11xx B、xx1 C、111x D、x11例 4 若函数1)(xefx,则)(xf()。A、1xe B、1x C、1ln x D 、)1ln( x4、判断两个函数是否相同如果两个函数的定义域和对应关系都相同,则这两个函数相同;如果两个函数的定义域和对应关系有一不同,则这两个函数不同。例 1 下列各函数对中,()中的两个函数相等。A、1)(
35、,cossin)(22xgxxxf B、xxgxxfln2)(,ln)(2C、xxgxxf)(,)()(2 D、1)(,11)(2xxgxxxf5、判断函数的奇偶性若)()(xfxf,则)(xf是偶函数,其图象关于y轴对称;若)()(xfxf,则)(xf是奇函数,其图象关于原点对称。常见的偶函数是:xxaaxxxxxc,cos|,| ,642等;常 见 的 奇 函 数 是 :,cot,tan,sin,53xxaaxxxxxx11lnxx,)1ln(2xx等。运算规律:偶偶=偶,奇奇=奇,奇偶=非奇非偶偶偶=偶, 奇奇=偶, 奇偶=奇例1 下列函数中为奇函数是()。A、xxsin B、xln C
36、、)1ln(2xx D、2xx例2 下列函数中为奇函数是()。 A、xx2 B、xxee C、11lnxx D、xxsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 34 页78 / 34 例 3 函数21010)(xxxf的图形关于对称。6、极限概念若Axfxx)(lim0(常量),则称极限存在;若Axfxx)(lim0,则称极限不存在;若)(lim)(lim00xfxfxxxx,则称极限存在;若)(lim)(lim00xfxfxxxx,则称极限不存在;若0)(lim0xfxx,则称)(xf为无穷小;若)(lim0xfxx(或)
37、,则称)(xf为无穷大。注意:( 1)、有界量(或常量)无穷小 =无穷小;(2)、01,01例如:当0x时,1sin1,01sinxxxx;当x时,0sin1, 11sinxxxx。例 1 当0x时,下列变量中()是无穷大量。 A、x1 B、xxsin C、x2 D、)1ln( x例 2 当0x时,下列变量中()是无穷小量。 A、001.0x B、xx21 C、x D、x2例 3 已知1tan)(xxxf,当()时,)(xf是无穷小量。A、0x B、1x C、x D、x例 4 下列极限存在的是()。A、1lim22xxx B、121lim0xx C、xxe10lim D、xxsinlim7、极
38、限计算( 1)、对于00)()(lim0xgxfxx,则先分解因式;( 2)、对于)()(limxgxfx, 则先提取公因式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 34 页79 / 34 ( 3)、对于含有根式的极限,则先进行有理化;( 4)、对于)()(lim0xgxfxx,则先进行通分;( 5)、重要极限:1sinlim0xxx例 1 xxx21sinlim0;11sin)1(lim1xxx。例 2 求下列极限1)、423lim222xxxx 4)、112sinlim0xxx 5)、) 3sin(34lim23xxxx8
39、、连续概念函数)(xf在点0x处连续性的判别方法:若)()(lim00xfxfxx则)(xf在点0x处连续;若)()(lim00xfxfxx则)(xf在点0x处间断。例 1 函数0,0,sin)(xkxxxxf在0x处连续,则k()。 A、2 B、1 C、1 D、2例 2 函数0, 10, 1)(xxxf在0x处()。 A、左连续 B、右连续 C、连续 D、左右皆不连续例 3 已知函数1,1,11)(2xaxxxxf,若)(xf在),(内连续,则a。例 4 函数3322xxxy的间断点是。9、导数概念定义 1:xxfxxfxfx)()(lim)(0000定义 2:000)()(lim)(0xx
40、xfxfxfxx记住:可导连续极限存在;极限不存在不连续不可导。可导可微例 1 设2)(xxf,则2)2()(lim2xfxfx()。A、x2 B、2 C、1 D、4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 34 页80 / 34 例 2 若)(xf在点0x处有极限,则结论()正确。 A、)(xf在点0x处可导 B、)(xf在点0x处连续 C、)(xf在点0x处有定义 D、)(xf在点0x处可能没有定义10、求切线斜率及切线方程曲线)(xfy在点0x处的切线斜率为)(0xf;曲线)(xfy在点),(00yx处的切线方程为)(00
41、0xxxfyy注意:( 1)、直线bkxy的斜率为k;( 2)、两直线平行,则斜率相等。例 1 曲线xysin在点)0 ,0(处的切线方程是()。 A、xy B、xy2 C、xy21 D、xy例 2 曲线11xy在点( 0, 1)处的切线斜率是()。 A、21 B、21C、2) 1(21x D、3) 1(21x例 3 曲线122xxy在点 ( )处的切线平行于直线xy4。 A、)2, 1( B、)1,2( C、)2, 1 ( D、)3,2(11、导数计算(1)、记住12 个导数基本公式及导数运算法则;(2)、熟练掌握: 1)、复合函数求导法:设)(xfy,则)()(xxfy2)、隐函数求导法:
42、两边同时对x求导(把y看成是复合函数)3)、二阶导数:)(yy4)、微分:dxydy例 1 若,cosln2xy求)4(y。例 2 函数xxxfcos)(,则)(xf。例 3 设xexy222cos,求dy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 34 页81 / 34 例 4 已知xxyx1cos2,求)(xy。12、单调性及极值单调性:先求驻点,分割区间,然后判断()0;,0yy。极值:先求出函数的可疑极值点ix,若函数在ix附近先升后降,则)(ixf为极大:先降后升,则)(ixf为极小。例 1 下列函数在区间),(上单调
43、增加的是()。 A、xsin B、xe C、2x D、x3例 2 函数2)1(3 xy的驻点是。例 3 函数44)(2xxxf在区间)0 ,(内()。 A单调增加 B。单调减少 C。先增加后减少 D。先减少后增加例 4 下列结论中正确的有()。A、0x是)(xf的极值点,且)(0xf存在,则必有0)(0xf;B、0x是)(xf的极值点,则0x必是)(xf的驻点,;C、若0)(0xf,则0x必是)(xf的极值点; D 、使)(xf不存在的点0x,一定是)(xf的极值点。例 5 下列结论中()不正确。A、)(xf在点0x处连续,则一定在点0x处可微;B、)(xf在点0x处不连续,则一定在点0x处不
44、可导;C、可导函数的极值点一定发生在其驻点上; D、若)(xf在区间,ba内恒有)(xf0,则在,ba内函数是单调减少的。13、需求函数设需求函数为)( pqq,则需求弹性qqpEP设需求函数为bpaeq,则需求弹性bpEP经济意义:当价格为p时,再提价1%,则需求量将变动pE%。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 34 页82 / 34 例1 若需求量q对价格p的函数为2100)(pepq,则需求弹性PE。例2 已知需求函数为pq2100,当5p时,需求弹性为()。 A、2ln5 B、2ln5 C、2ln500 D、2l
45、n500例3 若需求量q对价格p的函数为ppq23)(,则需求弹性PE()。 A、pp23 B、pp23 C、pp23 D、pp2314、极值应用题记住:若需求函数为:bpaq, 则价格函数为:qbbap1成本函数为:qccqC10)((0)0(cC),平均成本函数为:qqCqC)()(收入函数为:pqqR)(()0)0(R,平均收入函数为:qqRqR)()(利润函数为:)()()(qCqRqL,平均利润函数为:qqRqR)()(注意:由需求函数可求出价格函数,从而可求出收入函数。例 1 设某商品的需求函数为pq4180,则其收入函数为)(qR。例 2 某厂生产某产品q件的成本函数qqC280
46、)(,则生产20 件该产品时,每件产品的平均成本为。例 3 某厂生产一批产品的固定成本为2000 元,每生产一吨产品的成本增加60 元。对这种产品需求规律为pq101000,其中p为价格,q为需求量,试求:(1)、成本函数,收入函数;(2)、产量为多少吨时利润最大?例 4 某厂生产某种产品q件时的总成本函数201.0420)(qqqC(元),单位销售价格为qp01.014(元 /件),问产量为多少时利润最大?并求最大利润。例 5 某厂每天生产某种产品q件时的成本函数9800365. 0)(2qqqC(元),为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?15、不定积分与定积分
47、的概念记住:( 1)、若)()(xfxF,则)(xF称为)(xf的一个原函数(原函数有无穷多个,一般记为cxF)()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 34 页83 / 34 (2)、若)()(xfxF,则cxFdxxf)()(称为不定积分,不定积分与导数是互逆运算,于是有)()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(cxfdxxf)()(例 1 设)(xf的一个原函数是2xe,则)(xf。例 2 函数xxf2sin)(的原函数是。例 3 若cxdxxf2)1()(,则)(xf。例 4 若cedxxfx2)(,则)(xf(
48、)。 A、2xe B、221xe C、241xe D、241xe例 5 dxadx2;)(xdf。例 6 dxexx)(3,(3)、定积分)()()()(aFbFabxFdxxfba是一个常数。于是有0)(badxxfabbadxxfdxxf)()(badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)()(bca例 8 edxxdxd12)1ln(。例 9 计算: 1)21|1|dxx 2)22|sin|dxx16、积分计算(1)、凑微分法若cxFdxxf)()(,则cxFxdxfdxxxf)()()()()(例 1 若cxFdxxf)()(,则dxefexx)(()。A、ceFx)( B、ceFx
49、)( C、cxeFx)( D、cxeFx)(例 2 )(xexd()。 A、cxex B、cexexx C、cxex D、cexexx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 34 页84 / 34 例 3 下列等式成立的是()。A、xxdedxe B、)(cossinxdxdx C、xddxx21D、)1(lnxdxdx例 4 计算: 1)、dxxx24 2)、20ln11dxxx 3) 、dxeexx3ln02)1(( 2)、分部积分法记住分部积分公式:不定积分vduuvudv定积分babavduabuvudv)(应 用 :
50、 对 于 形 如axdxxaxdxxdxexnnaxncos,sin,的 积 分 , 分 别 用axaxeaxcos,sin,凑微分;对于形如axdxxnln的积分,则用nx凑微分。例 5 计算: 1)、dxxx)1sin( 2)、xdxxln)1( 3)、202cos xdxx 4)、10) 1ln(edxx( 3)、利用对称性求积分若)(xf是偶函数,则aaadxxfdxxf0)(2)(若)(xf是奇函数,则aadxxf0)(例 1 1122)1(dxxx。例 2 下列积分中的定积分值为0 的是()。 A、112dxeexx B、112dxeexx C、dxxx)cos(3 D、dxxx)
51、sin(217、广义积分记住:( 1)、babadxxfdxxf)(lim)(;baabdxxfdxxf)(lim)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 34 页85 / 34 ( 2)、广义积分apdxx1)0(p:当1p时收敛;当1p时发散。( 3)、广义积分0dxekx:当0k时发散;当0k时收敛。 (4) 、广义积分0dxekx:当0k时发散;当0k时收敛。例 1 若210dxekx,则k。例 2 广义积分02)1(1dxx是(判断其敛散性)。例 3 下列广义积分中,()是收敛的。A、1ln xdx B、0dxex
52、 C、121dxx D、131dxx18、已知切线斜率,求曲线方程设所求的曲线方程为)(xfy,则有y已知切线斜率,然后两边积分并把已知点代入即可。例 1 在切线斜率为x2的积分曲线族中,通过点)4 , 1(的曲线方程为()。 A、32xy B、42xy C、22xy D、xy419、已知边际经济函数,求经济函数成本函数00)()(cdqqCqCq当产量从1q增至2q时,成本的增量为C21)(qqdqqC收入函数qdqqRqR0)()(当产量从1q增至2q时,收入的增量为R21)(qqdqqR利润函数00)()()()()(cdqqCqRqCqRqLq当产量从1q增至2q时,利润的增量为L21
53、)(qqdqqL例1 投产某产品的固定成本为36 万元,且边际成本为402)(xxC(万元 /百台),试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最大?例 2 已知某产品的边际成本为xxC3)((万元),其中x为产量,单位为百吨,边际收入为xxR215)((万元 /百吨),求:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 34 页86 / 34 (1)、利润最大时的产量;(2)、从利润最大时的产量的基础上再增产1 百吨,利润会发生什么变化?例 3 设边际收入函数为qqR32)(,则平均收入函数为。2
54、0、矩阵的概念及运算(1)、矩阵运算设4321aaaaA,4321bbbbB则加减;44332211babababaBA;数乘:4321kakakakakA乘积:4423331342213211babababababababaAB可乘条件:A列数 =B的行数注意以下式子不成立:1)、BAAB 2)、BCAC且BAC0;00AAB或0B 3)、2222)(BABABA;22)(BABABA转置:设333231232221131211aaaaaaaaaA,则TA332313322212312111aaaaaaaaa注意: 1)、若A是nm矩阵,则B是mn矩阵。 2)、AATT)(,TTTABAB)
55、(,TTTBABA)((2)、特殊矩阵对角矩阵:naaa00000021,11211121000000000000nnaaaaaa数量矩阵:aaa000000,1111000000000000aaaaaa单位矩阵:I注意:IIIIIIAIAAIT,12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 34 页87 / 34 对称矩阵:若AAT,则称A是对称矩阵。(3)、初等变换矩阵的初等行变换:(1)、用一个非零数乘矩阵某行;( 2)、把某行的倍数加到另一行中去;( 3)、互换任意两行的位置。矩阵A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯
56、矩阵矩阵求秩:定义:矩阵A的阶梯矩阵中非零行的行数称为A的秩,记为秩(A)。求法:A初等行变换阶梯矩阵, 则秩(A)=阶梯矩阵中非零行的行数矩阵求逆;定义:若IAB,则ABBA11,性 质 : ( 1 ) 、 (A1)1=A( 2 ) 、 (AB)1=B11A(3) 、(AT)1=( A1)T求法:( 1)、acbdbcaddcba11(2)、),(IA初等行变换),(1AI(4)、矩阵方程 1)、若BAX(A可逆),则BAX1 2)、若BXA(A可逆),则1BAX重点掌握:矩阵求逆、矩阵乘积、矩阵转置、矩阵求秩。例 1 设矩阵021201A,200010212B,242216C,计算CBAT
57、。例 2 设矩阵022011A,210321B,计算1)(BA。例 3 设矩阵1121243613A,求1A。例4解矩阵方程214332X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 34 页88 / 34 例 5 设矩阵5321A,0211B,求解矩阵方程BXA。例 6 设A是23矩阵,B是32矩阵,则下列运算有意义的是()。 A、AB B、TAB C、BA D、TTAB例 7 设A,B是同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是()。 A、若IAB,则必有IA或IB B、TTTBAAB)(C、秩)(BA秩)(A秩)(B D、111)(AB
58、AB例 8 设A,B均为n阶方阵,在下列情况下能推出A是单位矩阵的是()。 A、BAB B、BAAB C、IAA D、IA1例 9 设31,21BA,I是单位矩阵,则(IBAT)。 A、6231 B、6321 C、5322 D、5232例 10 计算矩阵乘积10211000321。例 11 设13230201aA,当a时,A是对称矩阵。例 12 设A为n阶可逆矩阵,则)(Ar。例 13 若矩阵330204212A,则)(Ar。21、线性方程组解的情况判定设有非齐次线性方程组bAX (m个方程,n个未知量,A为系数矩阵,A),(bA为增广矩阵)齐次线性方程组0AX(m个方程,n个未知量,A为系数
59、矩阵 ) 解的情况判定定理1:( 1)、非齐次线性方程组bAX有解的充要条件是:秩(A)秩)(A;(2)、齐次线性方程组0AX一定有解。解的情况判定定理2:若非齐次线性方程组bAX有解,则(1)、当秩)(An时,方程组有唯一解;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 34 页89 / 34 (2)、当秩)(An时,方程组有无穷多组解。对于齐次线性方程组0AX, 则(1)、当秩)(An时,方程组只有零解(唯一解);(2)、当秩)(An时,方程组有非零解(无穷多组解)。注:方程组01nnmXA有m个方程,n个未知量,且秩)(Am。
60、例 1 若线性方程组002121xxxx有非零解,则。例 2 设齐次线性方程组01nnmXA,且秩rA)(n,则其一般解中自由未知量的个数等于。例 3 齐次线性方程组0AX的系数矩阵为A000020103211则此方程组一般解为。例5 已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为A100001124001021d, 则当d时 ,方程组bAX有无穷多组解。例 5 若线性方程组的增广矩阵为A01221,则当()时线性方程组无解。 A、21 B、0 C、1 D、2例 6 设线性方程组bAX中,若3)(,4),(ArbAr,则该线性方程组()。 A、有唯一解 B、无解 C、有非零解 D、有无穷多组解
61、例 7设线性方程组bAX有唯一解,则相应的齐次方程组0AX()。 A、无解 B 、有非零解 C、只有零解 D、解不能确定例 8 设线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为00000120004131062131,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为()。A、1 B、2 C、3 D、422、解线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 34 页90 / 34 线性方程组有如下二种类型:(1)、非齐次线性方程组:bAX (其中A为系数矩阵,A),(bA为增广矩阵 ) 解法: 1)、先写出方程组的增广矩阵A; 2)、A
62、初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵; 3)、在行简化阶梯矩阵中直接写出方程组之解。(2)、齐次线性方程组:0AX( 其中A为系数矩阵 ) 解法: 1)、先写出方程组的系数矩阵A; 2)、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵; 3)、在行简化阶梯矩阵中直接写出方程组之解。例 1 求下列线性方程组的一般解:03520230243214321431xxxxxxxxxxx例 2 设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx,问为何值时方程组有非零解?并求一般解。例 3 当为何值时,线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解?并求一般解。例 4 已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为A300000331013611问为何值时,方程组bAX有解?当方程组有解时,求方程组bAX一般解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 34 页