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1、初一数学竞赛系列讲座 (4) 相交线、平行线一、知识要点:1 平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种:相交和平行。2 两条不同的直线,若它们只有一个公共点,就说它们相交。即,两条直线相交有且只有一个交点。3 垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直,有两个重要的结论:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短。4 在同一平面内,不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理,能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角,并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。5 利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例 1
2、如图 (1),直线 a 与 b 平行, 1(3x+70) , 2=(5x+22) , 求 3 的度数。解:ab,3 4(两直线平行,内错角相等)1+3 2+ 4180( 平角的定义 ) 1 2 (等式性质 ) 则3x+705x+22解得 x=24 即 1 1423180- 138图(1)评注:建立角度之间的关系,即建立方程(组),是几何计算常用的方法。例 2已知:如图 (2), AB EFCD,EG 平分 BEF, B+BED+ D =192 ,B- D=24,求 GEF 的度数。解: ABEFCD B=BEF, DEF=D(两直线平行,内错角相等) B+BED+ D =192(已知)即 B+
3、BEF+DEF+ D=192 2( B+D)=192(等量代换)则 B+D=96(等式性质) B- D=24(已知)图(2) B=60(等式性质)即 BEF=60(等量代换)EG 平分 BEF(已知) GEF=21BEF=30 (角平分线定义)例 3如图( 3) ,已知 AB CD,且 B=40, D=70,求 DEB 的度数。ABCDEFG32lab4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页ABCDEF解:过 E 作 EFAB ABCD(已知)EFCD(平行公理)BEF=B=40 DEF=D=70(两直线平行,内错角相等
4、)DEB= DEF- BEF DEB = D- B=30评注:证明或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角”,则应添出辅助线。图( 3)例 4已知锐角三角形ABC 的三边长为a,b,c,而 ha,hb,hc分别为对应边上的高线长,求证: ha+hb+hca+b+c 分析:对应边上的高看作垂线段,而邻边看作斜线段证明:由垂线段最短知,hac ,hba,hcb 以上三式相加得ha+hb+hca+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 垂线段最短。例 5如图( 4) ,直线 AB 与 CD 相交于 O,EF AB 于 F,GHCD 于 H,求证
5、EF 与 GH 必相交。分析:欲证EF 与 GH 相交,直接证很困难,可考虑用反证法。证明:假设EF 与 GH 不相交。EF、GH 是两条不同的直线EFGH EF ABGHAB 又因 GHCD故 ABCD ( 垂直于同一直线的两直线平行)图( 4)这与已知AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 与 GH 不平行,即EF 与 GH 必相交评注:本题应用结论:(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线,那么另一条直线也平行于第三条直线;例 6平面上n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点,有多少个不同交点?解: 2 条直线产生1个交点,第 3 条直
6、线与前面2 条均相交,增加2 个交点,这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点;第 4 条直线与前面3 条均相交,增加3 个交点,这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点;则n 条直线共有交点个数:1+2+3+ (n-1)=21n(n-1) ABCDEFGHObacha精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页评注:此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形,需要仔细观察,由简及繁,深入思考,从中发现规律。例 7 6 个不同的点,其中只有3 点在同一条直线上,2 点确定一条直线,问能确定多少条直线?解: 6 条不同的直
7、线最多确定:5+4+3+2+1=15 条直线,除去共线的3 点中重合多算的2 条直线,即能确定的直线为15-2=13 条。另法: 3 点所在的直线外的3 点间最多能确定3 条直线,这3 点与直线上的3 点最多有33=9 条直线,加上3 点所在的直线共有:3+9+1=13 条评注:一般地,平面上n 个点最多可确定直线的条数为:1+2+3+(n-1)=21n(n-1) 例 810 条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?解: 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域;3 条直线中的第3 条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成3 段,每一段将它所在的区域一分为二,则
8、区域增加3 个,即最多分成2+2+3=7 个不同区域;同理: 4 条直线最多分成2+2+3+4=11 个不同区域;10 条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广: n 条直线两两相交,最多将平面分成2+2+3+4+ +n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)块不同的区域思考:平面内n 个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?例 9平面上n 条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于n0180证明:平面上n 条直线两两相交最多得对顶角2) 1(nn2n(n-1)对,即 2n(n-1)个角平面上任取一点O,将这 n 条直线均平行移动过点O,成为
9、交于一点O 的 n 条直线,这 n 条直线将以O 为顶点的圆周角分为2n 个 (共 n 对)互不重叠的角:1、2、3、2n由平行线的性质知,这2n 个角中每一个都和原来n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等,即这2n 个角均是原 2n(n-1)个角中的角。若这 2n 个角均大于n0180,则1+2+3+2n2nn0180=360, 而1+2+3+2n =360, 产生矛盾Ol3l2ln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页故1、2、3、2n中至少有一个小于n0180,即原来的 2n(n-1) 中至少有一个角不小于n
10、0180评注:通过平移,可以把原来分散的直线集中交于同一点,从而解决问题。例 10 (a)请你在平面上画出6 条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交,并简单说明画法。(b)能否在平面上画出7 条直线(任意3 条都不共点) ,使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交,如果能请画出一例,如果不能请简述理由。解: (a)在平面上任取一点A。过 A 作两直线m1与 n1。在 n1上取两点B,C,在m1上取两点D,G。过 B 作 m2m1,过 C 作 m3m1,过D 作 n2n1,过 G 作 n3n1,这时 m2、m3、n2、n3交得 E、F、H、I 四点,如图所示。由于
11、彼此平行的直线不相交,所以,图中每条直线都恰与另3条直线相交。(b)在平面上不能画出没有3 线共点的7 条直线,使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交。理由如下:假设平面上可以画出7 条直线, 其中每一条都恰与其它3 条相交, 因两直线相交只有一个交点,又没有3 条直线共点,所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的3 个不同的交点。根据直线去计数这些交点,共有3721 个交点,但每个交点分属两条直线,被重复计数一次,所以这7 条直线交点总数为22110.5 个,因为交点个数应为整数,矛盾。所以,满足题设条件的7 条直线是画不出来的。三、巩固练习选择题1平面上有5 个点,其中 仅有 3 点在同一
12、直线上,过每2 点作一条直线,一共可以作直线()条A6B 7C8D92平面上三条直线相互间的交点个数是()A3B1 或 3C1 或 2 或 3D不一定是1,2,3 3平面上6 条直线两两相交,其中仅有3 条直线过一点,则截得不重叠线段共有()A36 条B33 条C24 条D21 条4已知平面中有n个点CBA,三个点在一条直线上,EFDA,四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这n个点作一条直线,那么一共可以画出38 条不同的直线,这时n等于()( A)9 ( B )10 (C)11 ( D)125若平行直线AB、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形,则共得同旁内
13、角 ()A4 对B8 对C12 对D 16 对6如图,已知FDBE,则 1+2-3=( )A90B135C150D180m1n1m2m3n2n3ABCDEFGHI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页21ABCDEFABCDEABCDEFGH第 5 题312ABCDEFG第 6 题第 7 题7如图,已知AB CD, 1=2,则 E 与 F 的大小关系;8平面上有5 个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5 点之外这些直线最多还有交点9平面上3 条直线最多可分平面为个部分。10如图, 已知 AB CDEF,PS GH 于
14、P,FRG=110,则 PSQ。11已知 A、B 是直线 L 外的两点,则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。12平面内有4 条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个。13已知:如图,DECB ,求证: AED= A+ B 14已知:如图,AB CD,求证: B+ D+F=E+G 第 13 题第 14 题15如图,已知CBAB, CE 平分 BCD ,DE 平分 CDA ,EDC+ECD =90,求证: DAAB 16平面上两个圆三条直线,最多有多少不同的交点?17平面上 5 个圆两两相交, 最多有多少个不同的交点?最多将平面分成多少块区域?18一直线上5 点与直线外3 点,每两点确定一条直线,最多确定多少条不同直线?19平面上有8 条直线两两相交,试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。20平面上有10 条直线, 无任何三条交于一点,欲使它们出现31 个交点,怎样安排才能办到?画出图形。ABCDEFGlABCDEFGHPQRS第10题ABCDE第 15 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页