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1、学习必备欢迎下载21. （2015 全国预测卷）（本小题满分12 分）已知. （1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2） 求证：对一切正整数均成立 . 答案及解析：21. （1）。若，则，时，。此时，在区间上为增函数。时，。符合要求。 2分若，则方程有两个异号的实根，设这两个实根为，且。时，。在区间上为减函数，。不符合要求。的取值范围为。 5 分（2）由（ 1）知，时，不等式恒成立。时，恒成立。令（），得，整理得。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载7 分。令，2，3，得，。 9 分将上述个不等式的左
2、右两边分别相加，得。对一切正整数均成立。 12 分21. （陕西预测）（本题满分14 分）已知函数（1）当时，求在的最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：答案及解析：20. （1），定义域为，在上是增函数. （2） 因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载因为若存在单调递减区间，所以有正数解 . 即有的解当时，明显成立 . 当时，开口向下的抛物线，总有的解；当时，开口向上的抛物线，即方程有正根 . 因为，所以方程有两正根 . 当时，；，解得综合知：（3）（法一）根据（1）的结论，当
3、时，即令，则有，( 法二 ) 当时，即时命题成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载设当时，命题成立，即时，根据（ 1）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立因此，由数学归纳法可知不等式成立22 （2015?衡阳校级模拟）已知函数g（x）=alnx ，f （x）=x3+x2+bx（1）若 f（x）在区间 1 ，2 上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意x1 ，e ，都有 g（x） x2+（a+2）x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当 b=0时，设 F （x）=，对任意给定的正实数
4、a，曲线 y=F（x）上是否存在两点 P，Q ，使得 POQ 是以 O （O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由22解：（1）由 f （x）=x3+x2+bx 得 f （x）=3x2+2x+b 因 f （x）在区间 1 ，2 上不是单调函数所以 f （x）=3x2+2x+b 在1 ，2 上最大值大于0，最小值小于0， 16b5（ 4 分）（ 2）由 g（ x） x2+（a+2）x，得（ xlnx ）ax22xx 1 ，e ，lnx 1x，且等号不能同时取，lnx x，即 x lnx 0 a恒成立，即a（ 6 分）令，求导得，精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载当 x1 ，e 时， x10，0lnx 1x+2 2lnx 0，从而 f （ x）0，f （ x）在 1 ，e 上为增函数，=f （1）=1，a 1（ 8 分）（ 3）由条件， F（x）=，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则 P，Q只能在 y 轴两侧，（9 分）不妨设 P（t ，F（t ） ） ，t 0 则 Q（ t ，t3+t2） ，且 t 1POQ是以 O为直角顶点的直角三角形， t2+F（t ） （t3+t2）=0 （*） ，是否存在P，Q等价于方程（*）在 t 0 且 t
6、1 时是否有解若 0t 1 时，方程（ * ）为 t2+（ t3+t2） （t3+t2） =0，化简得 t4t2+1=0，此方程无解；（12 分）若 t 1 时，方程（ * ）为 t2+alnt （t3+t2）=0，即，设 h（t ）=（t+1 ）lnt ， （t 1） ，则 h（ x）=lnt+1，显然，当t 1 时，h（ x） 0，即 h（x）在（ 1，+）上为增函数，h（ t ）的值域为（h（ 1） ，+） ，即（ 0，+） ，当 a0 时，方程（ * ）总有解对任意给定的正实数a，曲线 y=F（x） 上总存在两点P，Q，使得 POQ是以O （O为坐标原点） 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上（14 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
