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1、学习必备欢迎下载21. (2015 全国预测卷)(本小题满分12 分)已知. (1)若时,恒成立,求实数的取值范围;(2) 求证:对一切正整数均成立 . 答案及解析:21. (1)。若,则,时,。此时,在区间上为增函数。时,。符合要求。 2分若,则方程有两个异号的实根,设这两个实根为,且。时,。在区间上为减函数,。不符合要求。的取值范围为。 5 分(2)由( 1)知,时,不等式恒成立。时,恒成立。令(),得,整理得。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载7 分。令,2,3,得,。 9 分将上述个不等式的左
2、右两边分别相加,得。对一切正整数均成立。 12 分21. (陕西预测)(本题满分14 分)已知函数(1)当时,求在的最小值;(2)若存在单调递减区间,求的取值范围;(3)求证:答案及解析:20. (1),定义域为,在上是增函数. (2) 因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载因为若存在单调递减区间,所以有正数解 . 即有的解当时,明显成立 . 当时,开口向下的抛物线,总有的解;当时,开口向上的抛物线,即方程有正根 . 因为,所以方程有两正根 . 当时,;,解得综合知:(3)(法一)根据(1)的结论,当
3、时,即令,则有,( 法二 ) 当时,即时命题成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载设当时,命题成立,即时,根据( 1)的结论,当时,即令,则有,则有,即时命题也成立因此,由数学归纳法可知不等式成立22 (2015?衡阳校级模拟)已知函数g(x)=alnx ,f (x)=x3+x2+bx(1)若 f(x)在区间 1 ,2 上不是单调函数,求实数b 的范围;(2)若对任意x1 ,e ,都有 g(x) x2+(a+2)x 恒成立,求实数a 的取值范围;(3)当 b=0时,设 F (x)=,对任意给定的正实数
4、a,曲线 y=F(x)上是否存在两点 P,Q ,使得 POQ 是以 O (O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在y 轴上?请说明理由22解:(1)由 f (x)=x3+x2+bx 得 f (x)=3x2+2x+b 因 f (x)在区间 1 ,2 上不是单调函数所以 f (x)=3x2+2x+b 在1 ,2 上最大值大于0,最小值小于0, 16b5( 4 分)( 2)由 g( x) x2+(a+2)x,得( xlnx )ax22xx 1 ,e ,lnx 1x,且等号不能同时取,lnx x,即 x lnx 0 a恒成立,即a( 6 分)令,求导得,精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载当 x1 ,e 时, x10,0lnx 1x+2 2lnx 0,从而 f ( x)0,f ( x)在 1 ,e 上为增函数,=f (1)=1,a 1( 8 分)( 3)由条件, F(x)=,假设曲线y=F(x)上存在两点P,Q满足题意,则 P,Q只能在 y 轴两侧,(9 分)不妨设 P(t ,F(t ) ) ,t 0 则 Q( t ,t3+t2) ,且 t 1POQ是以 O为直角顶点的直角三角形, t2+F(t ) (t3+t2)=0 (*) ,是否存在P,Q等价于方程(*)在 t 0 且 t
6、1 时是否有解若 0t 1 时,方程( * )为 t2+( t3+t2) (t3+t2) =0,化简得 t4t2+1=0,此方程无解;(12 分)若 t 1 时,方程( * )为 t2+alnt (t3+t2)=0,即,设 h(t )=(t+1 )lnt , (t 1) ,则 h( x)=lnt+1,显然,当t 1 时,h( x) 0,即 h(x)在( 1,+)上为增函数,h( t )的值域为(h( 1) ,+) ,即( 0,+) ,当 a0 时,方程( * )总有解对任意给定的正实数a,曲线 y=F(x) 上总存在两点P,Q,使得 POQ是以O (O为坐标原点) 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上(14 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页