《2022年指数函数和对数函数复习--补课》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年指数函数和对数函数复习--补课(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数,是高中必须掌握的, 在高考中, 主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算,对数的运算,指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质(一)整数指数幂1整数指数幂概念:annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质:(1),mnm naaam nZ(2),nmmnaam nZ(3)nnnababnZ其中mnmnm naaaaa,1nnnnnnaaa babbb3 a的n次方根的概念一般地,如果一个数的n次方等于aNnn, 1,那么这个数叫做a的n次方根,即:若axn,则x叫做a的n次方根,Nnn, 1例
2、如: 27 的 3 次方根3273,27的 3 次方根3273,32 的 5 次方根2325,32的 5 次方根2325说明:若n是奇数,则a的n次方根记作na; 若0a则0na,若oa则0na;若n是偶数,且0a则a的正的n次方根记作na,a的负的n次方根,记作:na ;(例如:8 的平方根22816 的 4 次方根2164)若n是偶数,且0a则na没意义,即负数没有偶次方根;Nnnn, 10000n;式子na叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。nnaa4 a的n次方根的性质一般地,若n是奇数,则aann;若n是偶数,则00aaaaaann5例题分析:例计算:407407解:40740752)
3、25()25(22(二)分数指数幂1分数指数幂:10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 幂的运算性质nmmnaa对分数指数幂也适用,例如:若0a,则3223233aaa,4554544aaa, 2323aa4545aa规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn;(2)正数的负分数指
4、数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用,即:10, ,rsrsa aaar sQ20, ,srrsaaar sQ30,0,rrraba babrQ说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;(2) 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没意义。3例题分析:【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式ao:2aa,332aa,aa. 解:2aa=11522222aaaa;332aa=211333aaa;aa=1113322224a aaa 【例 2】计算下列各式的值(式中字母都是正数)(1)2115
5、11336622263a ba ba b;(2)83184m n;解( 1)211511336622263a ba ba b(2)83184m n=883184mn=2233mm nn=211115326236263ab=044aba;例 3计算下列各式:(1)3451255(2)2320aaaa解: (1)3451255=231324555=213134245555(2)232aaa=526562132aaaa a=5512455=512455 5;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
6、- - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 【例 3】已知13xx,求下列各式的值: (1)1122xx; (2)3322xx.解: (1)11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325,11225xx,又由13xx得0x,11220xx,所以11225xx.(2) (法一)3322xx113322)()xx(11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5,(法二)33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3
7、xxxx23 (33)1833222()20xx,又由130xx得0x,33220xx,所以3322202 5xx. 二、指数函数1指数函数定义:一般地,函数xya(0a且1a)叫做指数函数,其中x是自变量,a叫底数,函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质:1a01a图象性质(1)定义域:R(2)值域:(0,)(3)过定点(0,1),即0x时1y(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 20
8、页 - - - - - - - - - 【例 1】求下列函数的定义域、值域:(1)1218xy(2)11( )2xy(3)3xy(4)1(0,1)1xxayaaa解: (1)210x12x原函数的定义域是1,2x xR x,令121tx则0,ttR8 (,0)tytR t得0,1yy,所以,原函数的值域是0,1 y yy(2)11( )02x0x原函数的定义域是0,,令11()2xt(0)x则01t,yt在0,1是增函数01y,所以,原函数的值域是0,1(3)原函数的定义域是R,令tx则0t,3ty在,0是增函数,01y,所以,原函数的值域是0,1(4)原函数的定义域是R,由1(0,1)1xx
9、ayaaa得11xyay,0xa101yy,11y,所以,原函数的值域是1,1说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例 2】当1a时,证明函数11xxaya是奇函数。证明:由10xa得,0x,故函数定义域0x x关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxf x所以,函数11xxaya是奇函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - 三、对数的
10、性质1对数定义:一般地,如果a(10aa且)的b次幂等于N, 就是Nab,那么数b 叫做 a 为底N的对数,记作bNalog,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。即baN,logaNb。aNb指数式Nab底数幂指数对数式bNalog对数的底数真数对数说明: 1在指数式中幂N 0,在对数式中,真数N 0 (负数与零没有对数)2对任意0a且1a, 都有01alog 10a,同样:log1aa3如果把baN中的b写成logaN, 则有logaNaN(对数恒等式) 2对数式与指数式的互换例如:2416,4log 162;210100,10log1002;1242,41log 22;2100.01,10l
11、og0.012。【例 1】将下列指数式写成对数式:(1)4525;(2)61264;(3)327a;(4)15.373m解: (1)5log 6254;(2)21log664; (3)3log 27a;(4)13log 5.37m3介绍两种常见的对数:常用对数:以10 作底10logN简写成lg N;自然对数:以e作底为无理数,e= 2.71828,logeN简写成ln N【例 2】 (1)计算:9log 27,345log625解:设x9log 27则927x,2333x, 32x;令x345log625,345625x, 44355x, 5x(2)求x 的值:33log4x;2221log
12、3211xxx解:3441327x;22232121200,2xxxxxxx但必须:2222102113210xxxx,0x舍去,从而2x(3)求底数:3log 35x,7log 28x解:3535353(3)x533x;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 77888722x, 2x4对数的运算性质:如果a 0 , a 1, M 0 ,N 0,那么(1)log ()loglogaaaMNMN;(2)loglog-l
13、ogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR【例 3】计算:(1)lg1421g18lg7lg37;( 2)9lg243lg;(3)2 .1lg10lg38lg27lg解: (1)解法一:18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20;解法二:18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10;(2)253lg23lg53lg3lg9lg243lg25;(3)2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)
14、lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 212lg105换底公式:logloglogmamNNa( a 0 , a 1 ;0,1mm) 证明:设logaNx,则xaN,两边取以m为底的对数得:loglogxmmaN,loglogmmxaN,从而得:aNxmmloglog,aNNmmalogloglog说明:两个较为常用的推论:(1)loglog1abba;(2)loglogmnaanbbm(a、0b且均不为 1) 证明:(1)1lglglglgloglogbaababba;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
15、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - (2)lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam【例 4】计算:(1)0.21 log35;(2)4492log 3 log 2log32解: (1)原式= 0.251log3log3555151553;(2) 原式= 2345412log452log213log21232【例 5】已知18log9a,185b,求36log45(用 a, b 表示)解:18log9a,a2log1218log1818,18log21a,又185b,18log5b,aba22log15
16、log9log36log45log45log181818181836【例 6】设1643tzyx,求证:yxz2111证明:1643tzyx,6lglg4lglg3lglgtztytx,yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11四、对数函数1对数函数的定义:函数xyalog) 10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质:(1)定义域、值域:对数函数xyalog) 10(aa且的定义域为),0(,值域为),((2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形,即可获得。同样:也分1a与10a两种情况归纳,以xy2log
17、(图 1)与xy21log(图 2)为例。1 1 2xy2logyxyx(图 1)1 1 1( )2xy12logyxyx(图 2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - (3)对数函数性质列表:图象1a01a性质(1)定义域:(0,)(2)值域:R(3)过点(1,0),即当1x时,0y(4)在( 0,+)上是增函数(4)在(0,)上是减函数【例 1】求下列函数的定义域:(1)2log xya;(2))4(logxya
18、;(3))9(log2xya分析:此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解: (1)由2x0 得0x,函数2log xya的定义域是0x x;(2)由04x得4x,函数)4(logxya的定义域是4x x;(3)由 9-02x得-33x,函数)9(log2xya的定义域是33xx【例 2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小:(1)0.91.1,1.1log0.9,0.7log0.8;(2)5log 3,6log 3,7log 3解:(1)0.901.11.11,1.11.1log0.9log10,0.70.70.70log1log0.8log0.71,0.91.10.7log
19、0.81.1log0.9(2)3330log 5log 6log 7,5log 36log 37log 3【例 3】求下列函数的值域:(1)2log (3)yx; (2)22log (3)yx解: (1)令3tx,则2logyt,0t, yR,即函数值域为R(2)令23tx,则03t,2log 3y, 即函数值域为2(,log 3【例 4】判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解:21xx恒成立,故( )f x的定义域为(,),22()log (1)fxxx(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
20、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x,所以,( )f x为奇函数。【例 5】求函数2132log (32)yxx的单调区间。解:令223132()24uxxx在3,)2上递增,在3(,2上递减,又2320xx,2x或1x,故232uxx在(2,)上递增,在(,1)上递减,又132logyu为减函数,所以,函数2132log (32)yxx在(2,)上递增,在(,1)上递减。名师资料总结 - - -精品资料欢迎
21、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - 课堂练习题(1)1、填空:(3)31mmxx; (4)35()()yy;(5)23()()abab; (6)43( 2) ( 2) ( 2);2、 ( 1)若23maaa,则m; (2)若26naaa,则n;(3)若3ma,3nb,用,a b表示3m n,233mn;(2)(3)2()ma; (4)43()x;(5)32()ab; ( 6)3(2 )a;(7)3( 5 )b; ( 8)22()xy;(9)34( 2
22、)x; (10)23(3)ab;2、判断下列式子是否正确,若不对,请纠正:(1)22()mmaa;(2)22()mmaa;(3)mnm naaa;(4)mnmnaaa. 课后巩固提高1、下列计算正确的是()A.336xxxB.43xxxC.5510()xxD.235()x yxy2、8127 可以记为()A.39B.63C.73D.1233、5a可以等于()A.23()()aaB.4() ()aaC.23()aaD.32() ()aa4、计算232()bb的结果是()A.8bB.11bC.8bD.11b5、在等式2310()aaa中,括号内的代数式应当是()名师资料总结 - - -精品资料欢迎
23、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 20 页 - - - - - - - - - A.4aB.5aC.6aD.7a6、若n是正整数,当1a时,221()nna等于()A.1 B.1 C.0 D.1 或 1 7、计算2113()nnxxx的结果为 ( ) A.33nxB.36nxC.nx12D.66nx8、63()a,243()a,2 3(2)ab. 9、已知2ma3na,则m na;已知342xx,则 x= . 10、计算:(1)42x; (2)32yx; (3)432aa;11、下列各式中,
24、正确的是()A.448mmmB.55252mmmC.339mmmD.66yy122y12、下列各式中错误的是( ) A.623yxyxB. (22a)4=816aC.363227131nmnmD.33abba3613、已知 n 是大于 1 的自然数 , 则11nncc等于 ( ) A.12ncB.nc2C.2ncD.nc214、下列运算中与44aa结果相同的是 ( ) A.28aaB.42aC.44aD.4422aa15、用简便方法计算(1)5.1)32(2000199919991 (2) 111111791( 1)91616、已知3 927mm163, 求 m 的值 .名师资料总结 - -
25、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 20 页 - - - - - - - - - 17、若229216(2 )n,解关于x的方程42nx.18、若52m,62n,求nm 22的值2指数扩充及其运算性质1、将 b 写成分数指数幂的形式:(1)34b;(2)25b;(3)24mnb. 2、将分数指数幂写成根式的形式:(1)128;(2)1327;(3)324;(4)23125. 3、将根式写成分数指数幂的形式:(1)32x;(2)31x;(3)34()ab; (4)322mn. 4、
26、计算:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 20 页 - - - - - - - - - (1)12100;(2)2364;(3)329;(4)1481 . 5、已知103,104,求10,10,210,510. 6、已知11223aa,求1aa,22aa. 3指数函数1、已知01mn,则指数函数1.xmy,2.xny的图像为()2、如图是指数xxxxdycybyay,函数的图像则dcba,的关系是()A.dcba1B.cdab1C. dcba1D.cdba1
27、3、已知0ba,则2 ,2 ,3aba的大小关系是()A223abaB232baaC223baaD232aab4、若aaaQPSa2 .0,2,2,01,则下列选项成立的是()第 2 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 20 页 - - - - - - - - - A.QPSB.SQPC.SPQD.PQS5、设1.50.90.4812314,8,2yyy,则()A.312yyyB.213yyyC.132yyyD.123yyy6、若xx310932,那么12
28、x的值为()A.1 B.2 C.5 D.1 或 5 7、已知8 . 08 .09.08.0,9 .0,8. 0cba则, ,a b c的大小关系为 .8、解方程232 330xx. 4.1 对数及其运算1、把下列指数式写成对数式:(1)328(2)1122(3)31273(4)1( )5.733m2、把下列对数式写成指数式:(1)3log 92(2)5log 1253(3)21log24(4)31log4813、求下列各式中x 的值:(1)642log3x(2)log 86x(3)lg100x(4)2ln ex4、求下列各式的值:(1)5log 125(2)21log16(3)lg1000(4
29、)lg0.001名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 20 页 - - - - - - - - - (5)15log 15(6)0.4log1(7)2log42(8)lg105105、基础练习(1)lg 2lg5(2)33log 18log 26、加强巩固(1)315151515212loglog20log4og(2)lg 2lg5lg8lg50lg 40(3)71 142lglg 7lg183g(4)lg 4lg512lg 0.5lg8(5)2lg 2lg2
30、 lg5lg5(6)log2lg 351010log 17、已知2logax,2logby,2logcz,请分别用, ,a b c 表示式子22log ()x y,22log (9)xy,22log3x yz.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页,共 20 页 - - - - - - - - - 4.2换底公式1、求下列各式的值:(1) 13log27(2)9log 27(3)116log64(4)lg 243lg9(5)89log 9 log 32(6)932l
31、og 16 log812、加强巩固4log 1329(1)log2log 2744839(2)(log3log 3)(log 2log 2)3、综合应用(1)设lg 2a,lg3b,试用 a、b表示6lg2,3log 4,5log 12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页,共 20 页 - - - - - - - - - ( 2)已知3436xy求21xy. 5 对数函数1、求下列函数的定义域:(1)2log (1)yx;(2)21log1yx;(3)3log
32、1yx;(4)2logyx. 2、求下列函数的反函数:(1)2logyx;(2)12logyx;(3)3xy;(4)2yx;(5)2log (1)yx;(6)25xy. 3、比较各题中各数的大小:(1)2log 3,2log 5;(2)0.2log2,0.2log0.1;(3) 2log 3,3log 2;(4)log 2a,log 3 (0,1)aaa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页,共 20 页 - - - - - - - - - 4、已知函数222,
33、1( )log,1xxf xx x,则(2)ff. 5、已知函数1222,1( )log (1),1xxf xxx,且( )3f a,则(6)fa . 第三章指数函数和对数函数单元测试卷满分 150 分,考试时间120 分钟一、选择题(每小题6 分,共 60 分 )1已知 x,y 为正实数,则() Alglglglg222xyxyBlg()lglg222xyxyClglglglg222xyxyDlg()lglg222xyxy2若函数yf(x)是函数 yax(a0,a1)的反函数且f(2)1,则 f(x)() A12xB22xC12logxD2log x3已知3( )logf xx,则函数 yf
34、(x1)在区间 2,8上的最大值与最小值分别为() A 2与 1 B3 与 1 C9 与 3 D8 与 3 4下列说法正确的是() A0.50.5log6log4B0.90.5927C02.512.5( )2D0.50.60.6log55设函数( )log(0,1)af xx aa若122015()8f x xx,则222122015()()()f xf xf x的值等于 () A4 B 8 C16 D2loga8 6(log43log83)(log32log98)等于() A.56B.2512C.94D以上都不对7若2( )logf xx的值域为 1,1,则函数 f(x)的定义域为 () A
35、. 1,12B 1,2C.1,22D.2,228若( )22lgxxf xa是奇函数,则实数a() A.13B.14C.12D.1109已知3log 2a,那么33log 82log6用a表示是()A52aB.2aC.23(1)aaD.231aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页,共 20 页 - - - - - - - - - 10设1.50.90.4812314,8,2yyy,则()A.312yyyB.213yyyC.132yyyD.123yyy二、填空题(
36、每小题5 分,共 15 分 )11函数 ylg 4xx3的定义域是 _12函数321,3( )log6,3xxf xxx,则(2)(9)ff_. 13643loglog (log 81)的值为 .三、解答题 (本大题共 5 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14 (14 分 )计算下列各式:(1)10.503710(2)(2)2927;(2)2(lg 2)lg 2 lg50lg 25.15 (14 分 )求下列函数的定义域:(1)2log (21)yx;(2)2log21xyx.16 (14 分 )已知函数f(x)ax(a0,且 a1),其反函数的图像过点(8,3)求
37、( )f x的解析式. 17 (16 分 )已知225xx,求(1)44xx;(2)88xx.18 (17 分 )已知函数f(x)loga(1x),g(x) loga(1x),其中 a0,a1,设 h(x)f(x)g(x)(1)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页,共 20 页 - - - - - - - - - (2)若 f(3)2,求使 h(x)0 成立的 x 的集合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页,共 20 页 - - - - - - - - -