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1、学习好资料欢迎下载第十九章相似三角形小结与复习教学目标1. 对全章知识有一个系统的认识，掌握知识的结构和内在联系. 2. 利用基本图形结构的形成过程，掌握本章的重点：平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定及性质定理. 3. 通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力 . 教学重点和难点重点是掌握本章的主要概念、定理及数学方法. 难点是灵活运用以上知识，提高解题能力. 教学过程设计一、掌握本章知识结构二、按照“特殊一般特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，把握本章的两个重点1. 平行线分线段成比例定理所对应的基本图形精选学习资料 - - -
2、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习好资料欢迎下载要求：(1) 用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式，会分线段成已知比；(2) 对图 5123(a),(b)要求会用比例式证明两直线平行. 2. 相似三角形所对应的基本图形. (1) 类比推广：从特殊到一般，如图5124；(2) 从一般到特殊：如图5125. 要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判定方法和使用范围，尤其注意利用中间相似三角形的方法. 3. 熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路. (1) 在图 5125(a) 中的
3、相似三角形及相似比、面积比；(2) 在图 5125(b) 中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；(3) 在图 5125(d) 中射影定理及面积关系等常用的乘积式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习好资料欢迎下载三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法例 1 已知：cbbacbba:.45,32求的值 . 分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1) 设比值为k; (2) 比例的基本性质；(3) 方程的思想，用其中一个字母表示其他字母. 解 法 一由45
4、32cbba及， 得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(bc)=25:3. 解法二45,32cbba51.35bcbbba, 325cbba解法三45,32cbba, a=54,32bcba, 32551355432bbbbcbba例 2 已知：如图5126(a) ，在梯形 ABCD 中， AD BC ，对角线交于O点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习好资料欢迎下载过 O作 EFBC ，分别交 AB ，DC于 E，F. 求证：
5、 (1)OE=OF;(2)EFBCAD211;(3)若 MN 为梯形中位线，求证AFMC. 分析：(1) 利用比例证明两线段相等的方法. 若dcda,a=c( 或 b=d 或 a=b)，则 b=d(或 a=c 或 c=d) ；若abda, 则 a=b(只适用于线段，对实数不成立) ；若dcda,dcda,a=a,b=b,c=c , 则d=d.(2) 利用平行线证明比例式及换中间比的方法. (3) 证明EFBCAD211时，可将其转化为“cba111”类型后：化为1bcac直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为 1；直接通分或移项转化为证明四条线段成比例. (4) 可用分析
6、法证明第(3) 题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题. 延长 BA ，CD交于 S，AF MC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习好资料欢迎下载 AFMC成立 . (5) 用运动的观点将问题进行推广. 若直线 EF 平行移动后不过点O，分别交AB ，BD ，AC ，CD于 E，O1 ， O2 ，F，如图 5126(b),O1F 与 O2F是否相等 ?为什么 ? (6) 其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等. 例 3 已知：如图5127，在 ABC中， AB=AC ，D 为 BC中点， DE AC
7、于 E ， F 为DE中点， BE交 AD于 N，AF交 BE于 M.求证： AFBE. 分析：(1) 分解基本图形探求解题思路. (2) 总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系( 平行、垂直等 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习好资料欢迎下载的方法，利用 ADE DCE得到CFDEDCAD结合中点定义得到CEDFBCAD, 结合 3=C,得到BEC AFD ，因此 1=2. 进一步可得到 AF BE. (3) 总结证明四条线段成比例的常用方法：比例的定义； 平行线分线段成比例定理；
8、三角形相似的预备定理；直接利用相似三角形的性质；利用中间比等量代换；利用面积关系 . 例 4 已知：如图5128，RtABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，DE AC于 E，DF BC于 F. 求证： (1)CD3=AAE BF AB ；(2)BC2 ：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE. 分析：(1) 掌握基本图形“ Rt ABC ，C=90 ， CD AB于 D”中的常用结论. 勾股定理：AC2+BC2=AB2. 面积公式： AC BC=AB CD.三个比例中项： AC2=AD AB,BC2=BD BA,CD2=DA DB.BDADBCAC22(2) 灵活运用以
9、上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等. (3) 学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习好资料欢迎下载证明 a3 型：先得到a2=bc 型，再两边乘方，求出a4 来，进行化简 ( 证法一 ). 或在a2=bc 两边乘以同一线段a，再进行化简( 证法二 ). 证明 a2:b2=c:d型问题的常用方法：( ) 先证nmba22, 再利用中间比证明dcnm( ) 先证yxba再两边平方：2
10、222yxba, 然后设法将右边降次，得dcyx22 ( )先分别求出febanmba, 两式相乘得nfmeba22, 再将右边化简. 证明 a3:b3=c:d型问题的常用方法：( ) 先用有关定理求出nymxba22，再通过代换变形实现；( ) 先证yxba, 两边平方或立方，再通过代换实现；( ) 先分别求出febanmba,yxba, 然后相乘并化简：dcnfymexba33第(1) 题：证法一 CD2=AD BD, CD4=AD2 BD2=(AE AC)(BFBC)=(AE BF)(ACBC)=(AEBF)(ABCD).证法二 CD2=AD BD,CD=ABBCAC CD3=AD BD
11、 ABBCAC=ABABBCBDABACAD=AE BF AB.第(2) 题：证法一ADBDABADBABDACBC22, 利用 BDF DAE ， 证得AECEEADFADBD,命题得证 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习好资料欢迎下载证法二由AECEAEECAEAEDEACBCAEDEACBC22222,得证法三 BCD CAD ，DEDFACBC( 相似三角形对应高的比等于对应边的比) DEBC ，AEDEACBC, AECEAEDFAEDEDEDFACBC22第(3) 题：证法一ADBDABADAB
12、BDACBC22, ACAEBCBFADBDACBC2244, AEBFACBC33证法二：ADC CDB ，DEDFACBCAEBFECAEDECFBFDFDEDEDFDFDEDFACBC223333证法三DFBFACBCAEDEACBCDEDFACBC, AEBFDFAEDEBFDEDFACBCACBCACBCACBC33四、师生共同小结在学生思考总结的基础上，教师归纳：1. 本章重点内容及基本图形. 2. 本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法. 五、作业课本第 261265 页复习题五中选取. 补充题：1. 利用相似三角形的性质计算. 已知：如图5129，在 Rt ABC ，
13、中 ACB=90 ， E 为 AB上一点，过E 作 ED BC交 AC于 D， 过 D作 DFAC交 AB于 F. 若 EF： FB=2:1， ED=2 ， CD=56, 求 FB的长 .( 答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习好资料欢迎下载2) 2. 证明相似三角形的方法. 如图 5130，在 ABC ，中 C=60 ， AD ，BE是 ABC的高， DF为 ABD的中线 .求证： DE=DF.(提示：证明CDE CAB ，得到21ABDE.) 3. 已知：如图5131，ABC内一点 O ，过 O分别作各边
14、的平行线DE BC ，FG AB ，HK AC. 求证：(1)1BCGKABDHACEF(2) 设 SOEF=S1,S ODH=S2,S OGK=S3,S ABC=S.则SSSS3214. 构造相似三角形来解决问题. (1) 已知：如图 5132， ABC中， 点 E为 BC中点， 点 D在 AC上， AC=1 ， BAC=60 ABC= 100， DEC=80 . 求SABC+2S CDE ；( 答：83) ( 提示：延长AB至 F，使 F=AC.作 BCF平分线交AF于 G.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学
15、习好资料欢迎下载(2) 已知：如图 5133， 在 ABC中，A： B： C=1:2:4. 求证：BCACAB111. ( 提 示 ： 把BCACAB111变 形 为BCACABACAB1， 进 一 步 变 形 为BCACABACAB. 设法构造相似三角形，使其对应边的比分别为BCACABACAB和，作 AE=AC, 交 BC 延长线于 E ，延长 AB至 D，使 BD=AC.) 5. 构造基本图形 ( 平行线分线段成比例定理). 已知：如图5134，ABC的三边 BC ，CA ，AB上有点 D，E，F.若 AD，BE ，CF三线交于一点O.求证：1EACEDCBDFBAF.( 塞瓦定理 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习好资料欢迎下载课堂教学设计说明本教案需用1 课时完成 . 本节例 2 在三角形相似的判定( 四) 中出现过，如果学生已经掌握，教师可在这节复习课中选取补充题2 或其它题目说明利用比例证明线段相等的方法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
