《2022年函数的奇偶性经典例题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年函数的奇偶性经典例题(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载24 函数的奇偶性【知识网络】1奇函数、偶函数的定义及其判断方法;2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题【典型例题】例 1 ( 1)下面四个结论中,正确命题的个数是(A)偶函数的图象一定与y 轴相交;函数( )f x为奇函数的充要条件是(0)0f;偶函数的图象关于y 轴对称;既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR) A1 B2 C3 D4 提示:不对,如函数21( )f xx是偶函数,但其图象与y轴没有交点;不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;正确;不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f( x)=0 x(a,a) ,答案为A(2)已知函数2( )
2、3f xaxbxab是偶函数,且其定义域为1, 2aa ,则()A31a,b0 B1a,b0 C1a,b0 D3a,b0 提示:由2( )3f xaxbxab为偶函数,得b0又定义域为1, 2aa ,(1)20aa,31a故答案为A(3)已知( )f x是定义在R 上的奇函数,当0x时,2( )2f xxx,则( )f x)在 R 上的表达式是()A(2)yx xB(| 2)yxxC|(2)yxxD(|2)yxx提示:由0x时,2( )2f xxx,( )f x是定义在 R 上的奇函数得:当 x0 时,0x,2( )()(2 )(2)f xfxxxxx(2)(0)( )(2)(0)x xxf
3、xxxx,即( )(| 2)f xxx,答案为D(4)已知53( )8f xxaxbx,且( 2)10f,那么 f(2)等于26提示:53( )8f xxaxbx为奇函数,( 2)818f, ( 2 ) 81 8f, ( 2 )2 6f( 5)已知( )f x是偶函数,( )g x是奇函数,若11)()(xxgxf,则( )f x的解析式为提 示 : 由( )f x是 偶 函 数 ,( )g x是 奇 函 数 , 可 得11)()(xxgxf, 联 立11)()(xxgxf,得:21111( )()1211f xxxx, 11)(2xxf例 2判断下列函数的奇偶性:(1)1( )(1)1xf
4、xxx;(2)22( )11f xxx;(3)22lg(1)( )|2|2xf xx; (4)22(0)( )(0)xxxf xxxx解: (1)由101xx,得定义域为 1,1),关于原点不对称,( )f x为非奇非偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精品资料欢迎下载(2)222101110xxxx,( )0f x( )f x既是奇函数又是偶函数(3)由2210|2 | 20xx得定义域为( 1,0)(0,1),22lg( 1)( )(2)2xf xx22lg( 1)xx,2222lg1() lg(1)()()
5、xxfxxx( )f x( )f x为偶函数(4)当0x时,0x,则22()()()( )fxxxxxf x,当0x时,0x,则22()()()( )fxxxxxf x,综上所述,对任意的(,)x,都有()( )fxf x,( )f x为奇函数例 3若奇函数( )f x是定义在(1,1)上的增函数,试解关于a的不等式:2(2)(4)0f af a解:由已知得2(2)(4)f af a因 f(x) 是奇函数,故22(4)(4)f afa,于是2(2)(4)f afa又( )f x是定义在(1,1)上的增函数,从而22322412113321415335aaaaaaaaa或即不等式的解集是( 3,
6、 2)例 4 已知定义在R 上的函数( )f x对任意实数x、y, 恒有( )( )()f xf yf xy, 且当0x时,( )0f x,又2(1)3f(1)求证:( )fx为奇函数;(2)求证:( )fx在 R 上是减函数; (3)求( )fx在3, 6上的最大值与最小值(1)证明:令0xy,可得(0)(0)(00)(0)ffff,从而, f(0) = 0 令yx,可得( )()()(0)0f xfxf xxf,即()( )fxf x,故()fx为奇函数(2)证明:设12,xxR,且12xx,则120xx,于是12()0f xx从而121222122212()()()()()()()()0
7、f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx所以,( )fx为减函数(3)解:由( 2)知,所求函数的最大值为( 3)f,最小值为(6)f( 3)(3)(2)(1)2(1)(1)3 (1)2fffffff(6)( 6)( 3)( 3)4ffff于是,( )f x在 -3,6上的最大值为2,最小值为-4【课内练习】1下列命题中,真命题是(C )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精品资料欢迎下载A函数1yx是奇函数,且在定义域内为减函数B函数30(1)yxx是奇函数,且在定义域内为增函数C函数2yx是偶函数,且
8、在(3,0)上为减函数D函数2(0)yaxc ac是偶函数,且在(0,2)上为增函数提示: A 中,1yx在定义域内不具有单调性;B 中,函数的定义域不关于原点对称;D 中,当0a时,2(0)yaxc ac在( 0,2)上为减函数,答案为C2 若)(x,( )g x都是奇函数,( )( )( )2f xaxbg x在( 0,)上有最大值5,则( )f x在(, 0)上有()A最小值 5B最大值 5 C最小值 1D最大值 3 提示:)(x、( )g x为奇函数,)()(2)(xbgxaxf为奇函数又( )f x有最大值5, 2 在( 0,)上有最大值3( )f x2 在(, 0)上有最小值 3,
9、( )f x在(, 0)上有最小值1答案为C3定义在R 上的奇函数( )f x在( 0,+)上是增函数,又( 3)0f,则不等式( )0xf x的解集为( A)A ( 3,0)( 0,3)B (, 3)( 3,+)C ( 3, 0)( 3,+)D (, 3)( 0,3)提示:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为A4. 已知函数( )yf x是偶函数,(2)yf x在 0,2上是单调减函数,则(A)A.(0)( 1)(2)fffB. ( 1)(0)(2)fffC. ( 1)(2)(0)fffD. (2)( 1)(0)fff提示:由f( x2)在 0,2上单调递减,( )f x在 2,0上单调
10、递减. ( )yf x是偶函数,( )f x在 0,2上单调递增.又( 1)(1)ff,故应选A.5已知( )f x奇函数,当x( 0,1)时,( )f xlgx11,那么当x( 1,0)时,( )f x的表达式是lg(1)x提示:当x( 1,0)时,x( 0, 1) ,1( )()lglg(1)1f xfxxx6已知xaxaxf2log)(3是奇函数,则2007a2007a= 2008提示:32(0)log0afa,21aa,解得:1a,经检验适合,200720072008aa7若( )f x是偶函数,当x 0,+ ) 时,( )1f xx,则(1)0f x的解集是|02xx提示: 偶函数的
11、图象关于y 轴对称,先作出( )f x的图象,由图可知( )0f x的解集为| 11xx,(1)0f x的解集为|02xx. 8试判断下列函数的奇偶性:(1)( )|2|2|f xxx;(2)331)(2xxxf;(3)0)1(|)(xxxxf解: (1)函数的定义域为R,()|2|2| |2|2|( )fxxxxxf x,故( )f x为偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精品资料欢迎下载(2)由210|3|30xx得:110xx且,定义域为 1, 0)(0, 1,关于原点对称,2211( )33xxf xxx
12、,21()( )xfxf xx,故( )f x为奇函数(3)函数的定义域为(- ,0)(0,1)(1,+),它不关于原点对称,故函数既非奇函数,又非偶函数9已知函数( )f x对一切,x yR,都有()( )( )fxyf xf y,若( 3)fa,用a表示(12)f解:显然( )f x的定义域是R,它关于原点对称在()( )( )fxyf xfy中,令yx,得(0)( )()ff xfx,令0xy,得(0)(0)(0)fff,(0)0f,( )()0fxfx,即()( )fxfx, ( )f x是奇函数( 3)fa, (12)2(6)4(3)4( 3)4ffffa10已知函数21( )( ,)axfxa bcZbxc是奇函数,又,(1)2f,(2)3f,求a、b、c的值 . 解:由()( )fxf x得()bxcbxcc=0.又(1)2f,得12ab,而(2)3f,得4131aa,解得12a. 又aZ,0a或1a. 若0a,则 b=12Z,应舍去;若1a,则 b=1Z. 1,1,0abc. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页