《2022年函数的奇偶性经典例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年函数的奇偶性经典例题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载24 函数的奇偶性【知识网络】1奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题【典型例题】例 1 （ 1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）偶函数的图象一定与y 轴相交；函数( )f x为奇函数的充要条件是(0)0f；偶函数的图象关于y 轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR） A1 B2 C3 D4 提示：不对，如函数21( )f xx是偶函数，但其图象与y轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（ x）=0 x（a，a） ，答案为A（2）已知函数2( )
2、3f xaxbxab是偶函数，且其定义域为1, 2aa ，则（）A31a，b0 B1a，b0 C1a，b0 D3a，b0 提示：由2( )3f xaxbxab为偶函数，得b0又定义域为1, 2aa ，(1)20aa，31a故答案为A（3）已知( )f x是定义在R 上的奇函数，当0x时，2( )2f xxx，则( )f x）在 R 上的表达式是（）A(2)yx xB(| 2)yxxC|(2)yxxD(|2)yxx提示：由0x时，2( )2f xxx，( )f x是定义在 R 上的奇函数得：当 x0 时，0x，2( )()(2 )(2)f xfxxxxx(2)(0)( )(2)(0)x xxf
3、xxxx，即( )(| 2)f xxx，答案为D（4）已知53( )8f xxaxbx，且( 2)10f，那么 f（2）等于26提示：53( )8f xxaxbx为奇函数，( 2)818f， ( 2 ) 81 8f， ( 2 )2 6f（ 5）已知( )f x是偶函数，( )g x是奇函数，若11)()(xxgxf，则( )f x的解析式为提 示 ： 由( )f x是 偶 函 数 ，( )g x是 奇 函 数 ， 可 得11)()(xxgxf， 联 立11)()(xxgxf，得：21111( )()1211f xxxx， 11)(2xxf例 2判断下列函数的奇偶性：（1）1( )(1)1xf
4、xxx；(2)22( )11f xxx；（3）22lg(1)( )|2|2xf xx； （4）22(0)( )(0)xxxf xxxx解： （1）由101xx，得定义域为 1,1)，关于原点不对称，( )f x为非奇非偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载(2)222101110xxxx，( )0f x( )f x既是奇函数又是偶函数（3）由2210|2 | 20xx得定义域为( 1,0)(0,1)，22lg( 1)( )(2)2xf xx22lg( 1)xx，2222lg1() lg(1)()()
5、xxfxxx( )f x( )f x为偶函数（4）当0x时，0x，则22()()()( )fxxxxxf x，当0x时，0x，则22()()()( )fxxxxxf x，综上所述，对任意的(,)x，都有()( )fxf x，( )f x为奇函数例 3若奇函数( )f x是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：2(2)(4)0f af a解：由已知得2(2)(4)f af a因 f(x) 是奇函数，故22(4)(4)f afa，于是2(2)(4)f afa又( )f x是定义在（1，1）上的增函数，从而22322412113321415335aaaaaaaaa或即不等式的解集是( 3,
6、 2)例 4 已知定义在R 上的函数( )f x对任意实数x、y， 恒有( )( )()f xf yf xy， 且当0x时，( )0f x，又2(1)3f（1）求证：( )fx为奇函数；（2）求证：( )fx在 R 上是减函数； （3）求( )fx在3， 6上的最大值与最小值（1）证明：令0xy，可得(0)(0)(00)(0)ffff，从而， f(0) = 0 令yx，可得( )()()(0)0f xfxf xxf，即()( )fxf x，故()fx为奇函数（2）证明：设12,xxR，且12xx，则120xx，于是12()0f xx从而121222122212()()()()()()()()0
7、f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx所以，( )fx为减函数（3）解：由（ 2）知，所求函数的最大值为( 3)f，最小值为(6)f( 3)(3)(2)(1)2(1)(1)3 (1)2fffffff(6)( 6)( 3)( 3)4ffff于是，( )f x在 -3，6上的最大值为2，最小值为-4【课内练习】1下列命题中，真命题是（C ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载A函数1yx是奇函数，且在定义域内为减函数B函数30(1)yxx是奇函数，且在定义域内为增函数C函数2yx是偶函数，且
8、在（3，0）上为减函数D函数2(0)yaxc ac是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示： A 中，1yx在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a时，2(0)yaxc ac在（ 0，2）上为减函数，答案为C2 若)(x，( )g x都是奇函数，( )( )( )2f xaxbg x在（ 0，）上有最大值5，则( )f x在（， 0）上有（）A最小值 5B最大值 5 C最小值 1D最大值 3 提示：)(x、( )g x为奇函数，)()(2)(xbgxaxf为奇函数又( )f x有最大值5， 2 在（ 0，）上有最大值3( )f x2 在(, 0)上有最小值 3，
9、( )f x在(, 0)上有最小值1答案为C3定义在R 上的奇函数( )f x在（ 0，+）上是增函数，又( 3)0f，则不等式( )0xf x的解集为（ A）A （ 3，0）（ 0，3）B （， 3）（ 3，+）C （ 3， 0）（ 3，+）D （， 3）（ 0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为A4. 已知函数( )yf x是偶函数，(2)yf x在 0，2上是单调减函数，则（A）A.(0)( 1)(2)fffB. ( 1)(0)(2)fffC. ( 1)(2)(0)fffD. (2)( 1)(0)fff提示：由f（ x2）在 0，2上单调递减，( )f x在 2，0上单调
10、递减. ( )yf x是偶函数，( )f x在 0，2上单调递增.又( 1)(1)ff，故应选A.5已知( )f x奇函数，当x（ 0，1）时，( )f xlgx11，那么当x（ 1，0）时，( )f x的表达式是lg(1)x提示：当x（ 1，0）时，x（ 0， 1） ，1( )()lglg(1)1f xfxxx6已知xaxaxf2log)(3是奇函数，则2007a2007a= 2008提示：32(0)log0afa，21aa，解得：1a，经检验适合，200720072008aa7若( )f x是偶函数，当x 0，+ ) 时，( )1f xx，则(1)0f x的解集是|02xx提示： 偶函数的
11、图象关于y 轴对称，先作出( )f x的图象，由图可知( )0f x的解集为| 11xx，(1)0f x的解集为|02xx. 8试判断下列函数的奇偶性：（1）( )|2|2|f xxx；（2）331)(2xxxf；（3）0)1(|)(xxxxf解： （1）函数的定义域为R，()|2|2| |2|2|( )fxxxxxf x，故( )f x为偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载（2）由210|3|30xx得：110xx且，定义域为 1, 0)(0, 1，关于原点对称，2211( )33xxf xxx
12、，21()( )xfxf xx，故( )f x为奇函数（3）函数的定义域为(- ，0)(0，1)(1，+)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数9已知函数( )f x对一切,x yR，都有()( )( )fxyf xf y，若( 3)fa，用a表示(12)f解：显然( )f x的定义域是R，它关于原点对称在()( )( )fxyf xfy中，令yx，得(0)( )()ff xfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，(0)0f，( )()0fxfx，即()( )fxfx， ( )f x是奇函数( 3)fa， (12)2(6)4(3)4( 3)4ffffa10已知函数21( )( ,)axfxa bcZbxc是奇函数，又，(1)2f，(2)3f，求a、b、c的值 . 解：由()( )fxf x得()bxcbxcc=0.又(1)2f，得12ab，而(2)3f，得4131aa，解得12a. 又aZ，0a或1a. 若0a，则 b=12Z，应舍去；若1a，则 b=1Z. 1,1,0abc. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
