《2022年函数恒成立问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年函数恒成立问题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载函数恒成立专题01：可求最值型基础知识：（ 1）不等式0)(xf在定义域内恒成立，等价于0minxf；（2）不等式0)(xf在定义域内恒成立，等价于0maxxf。【例 1】【重庆文】若对任意的0x，24423ln12)(ccxxxxf恒成立，求c的取值范围。【例 2】函数1) 1ln()1()(kxxxxf在区间), 1(上恒有0)(xf，求 k 可以取到的最大整数。【变式 1】函数)0(ln)(,42)(2axaxgxxxf，若)(4)(xgxxf恒成立，求a的取值范围。【变式 2】【2012新课标文】设函数2axexfx 求)(xf的单调区间； 若1a， k 为整数，且当0
2、x时，01)()(xxfkx，求 k 的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精品资料欢迎下载【变式 3】【2012新课标理】已知函数)(xf满足2121)0()1()(xxfefxfx 求)(xf的解析式及单调区间； 若baxxxf221)(，求ba) 1(的值。专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例 1】【2010天津】函数1)(2xxf，对任意)(4) 1()(4)(,232mfxfxfmmxfx恒成立，求实数m的取值范围。【变式 1】【2010
3、安徽】若不等式0)1)(22xxaa对一切2,0x恒成立，求a的取值范围。【例 2】若函数xaxxxf1)(2在,21上单调递增，求a的取值范围。【变式 2】【2012湖北】若)2ln(21)(2xbxxf在), 1(上是减函数，求 b的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页精品资料欢迎下载【变式 3】【2014江西】已知函数)(21)()(2Rbxbbxxxf， 若)(xf在区间)31,0(上单调递增，求 b的取值范围。专题03：端点与一次函数、二次函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
4、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精品资料欢迎下载基础知识：（1） 研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2）一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。【例 1】【2009北京】若)0()(kxexfx在)1 , 1(上单调递增，求 k 的取值范围。引申：我们的习惯思维都是默认字母x为函数的自变量， 而像tma,这样的字母代表参数，但其实tmax,这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并
5、非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将x视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。【例 2】【2009福建】已知函数13)(3axxxf的导函数为.3)()(),(axxfxgxf若对满足11a的一切a的值，都有0)(xg，求实数x的取值范围。【例 3】【2008天津】已知函数Rbaxbxaxxf,),0()(，若对于任意的2,21a，不等式10)(xf在441，上恒成立，求 b 的取值范围。【变式】【 2008 安徽】设函数1)1(233)(23xaxxaxf，其中a为实数。 已知函数)(xf在1x处取得极值，求a的值；
6、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精品资料欢迎下载 已知1)(2axxxf对任意, 0a恒成立，求实数x的取值范围。（3）对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设)0()(2acbxaxxf在，上不单调且恒大于零， 那么)(xf在ab2，上递减，在,2ab上递增，故)(xf的最大值也必然在端点处取得。所以对于任何一个函数)(xf而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下：)0()(2acb
7、xaxxf在21, xx上非正，等价于; 0,021xfxf)0()(2acbxaxxf在21, xx上非负，等价于; 0,021xfxf【例 1】已知函数cbxaxxxf23)(在区间0, 1上单调递减，则22ba的取值范围是_.【例 2】函数1331)(223xmmxxxf在区间2, 1上单调递增，则实数m的取值范围是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页精品资料欢迎下载专题04：端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数
8、情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页精品资料欢迎下载【例 1】已知函数axxaxxf6)1(3)(23，当0a时，若函数)(xf在区间2, 1上是单调函数，求a的取值范围 .【例 2】【2008江苏】设函数13)(3xaxxf，若对于1 , 1x总有0)(xf恒成立，则a=_. 说明：在例 1 和例 2 中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例 1 通过端点可以不必考虑单增情形，例 2 通过端点可以缩小a的范围，我们把这种通过端点来缩小
9、参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情形：（1）)(xf在区间ba,的端点a和 b 处均有定义且; 0)(, 0)(bfaf（2）)(xf在区间ba,的端点a或b 处无定义或区间是无限区间ba,；（3）)(xf在区间ba,的端点a或b 处有0)(af或0)(bf。一、端点处的取值有意义且不为0 【例 1】【2008天津】设)(xf是定义在 R上的奇函数，且当0x时，2)(xxf，若对任意的2,ttx，不等式)(2)(xftxf恒成立，则 t 的取值范围是（）A.,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，
10、共 14 页精品资料欢迎下载B.,2C.2 ,0D.,21,2【例 2】若02)3()(2axaaxxf在1 ,0上恒成立，则实数a的取值范围是 _【变式 1】【2013全国卷】已知函数133)(23xaxxxf，当,2x时，0)(xf，求a的取值范围。【变式 2】【2012江西】已知函数xexaaxxf1) 1()(2在1 ,0上单调递减， 求a的取值范围。【变式 3】【2010天津】已知函数0, 123)(23axaxxf，若在区间21,21上0)(xf恒成立，求a的取值范围。二、端点处的取值没有意义且趋于无穷xxfln)(的定义域是,0， 且当x趋于 0 时，xxfln)(趋于负无穷，当
11、x趋于时，xxfln)(趋于正无穷， 为了后面方便表述， 记)(,)0(ff。然后不管函数)(xf在区间的端点a处有没有意义， 也不管a是否为无穷，我们均记)(af为当x趋于a时)(xf的值。这样的记法为了后面的叙述。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精品资料欢迎下载【例 1】【2012新课标】当210x时，xaxlog4，则a的取值范围是（）A.22, 0B.1 ,22C.2, 1D.2,2【例 2】函数)0()1(21ln)(2xxaxxaxf，若0)(xf对定义域内任意x恒成立，求实数a的取值范围。【例 3】
12、【2012天津】函数0)()(, 1,1)(xmfmxfxxxxf恒成立，则实数m的取值范围是 _. 【例 4】【2013新课标】设函数) 1(2)(,24)(2xexgxxxfx， 若2x时，)()(xkgxf，求 k 的取值范围。【例 5】【2009江西】已知函数mxxgxmmxxf)(, 1)4(22)(2，若对于任一实数x，)(xf与)(xg的值至少有一个为正，则m的取值范围是 _. 【变式 1】不等式)2(1)32(log2xxxa恒成立，则实数a的取值范围是（）A. 31,0B.1 ,31C.3 , 1D.,3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
13、- - - - -第 9 页，共 14 页精品资料欢迎下载【变式 2】【2011 北京】设函数kxekxxf2)()(，若对于任意的,0x，都有exf1)(，求实数 k 的取值范围。【变式 3】【2014江苏】已知函数xxeexf)(，其中e是自然对数的底数， 若关于x的不等式1)(mexmfx在,0上恒成立，求实数m的取值范围。【变式 4】【2012北京文】已知22)(),3)(2()(xxgmxmxmxf， 若0)(,xfRx或0)(xg，则m的取值范围是 _. 【变式 5】【2012北京理】已知22)(),3)(2()(xxgmxmxmxf，若同时满足（ 1）0)(,xfRx或0)(xg
14、；（2）0)()(,4,xgxfx，则m的取值范围是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精品资料欢迎下载三、端点处的取值为0 （1）若多项式函数)(xf满足0)(af，则)(xf一定可以分解成)()()(xgaxxf这种形式，其中)(xg也为多项式函数。【例 1】【2009全国卷】已知xxaaxxf4)13(23)(24在1 , 1上是增函数， 求a的取值范围。【例 2】【2012浙江理】设Ra，若0x时均有0)1(1) 1(2axxxa，则a_. 【例 3】【2009 天津】已知0)(, 0,) 1(31
15、)(223xfmxmxxxf有三个不同的实根，分别为)(,02121xxxx若对任意的)1 ()(,21fxfxxx恒成立，求m的取值范围。【变式 1】【2008全国卷】设函数233)(xaxxf，若)20)()()(xxfxfxg在0x处取得最大值，求a的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页精品资料欢迎下载【变式 2】【2011 湖北】已知mxxxx2323有三个不同的实根，分别为)(, 02121xxxx，且对任意的21, xxx，)1(2323xmxxx恒成立，求实数m的取值范围。注意：若多项式函数
16、有明显的根，分解因式能够将函数降次， 特别是形如cxbxaxxf23)(的多项式函数， 是高考中的常见情形， 它可以分解成)()(2cbxaxxxf，需掌握此多项式。（2）若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式，这些函数虽然在端点处的值为零，但不能将它们分解，对此需用以下知识点：0)(xf在ba,上恒成立，若0)(af，则0)(af；若0)(bf，则0)(bf0)(xf在ba,上恒成立，若0)(af，则0)(af；若0)(bf，则0)(bf特别提醒：这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。【例 1】【2007全国理】已知函数xxeexf)( 证明：)(xf的导数2)(xf； 若对所有
17、0x都有axxf)(，求a的取值范围。【例 2】【2008全国文】已知函数2)1()(axexxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精品资料欢迎下载 若21a，求)(xf的单调区间； 若0x时，0)(xf，求a的取值范围。【例 3】【2008全国理】已知函数xxxfcos2sin)( 求)(xf的单调区间； 如果对任何0x时，都有axxf)(，求a的取值范围。【例 4】【2010新课标理】已知函数21)(axxexfx 若0a，求)(xf的单调区间； 若0x时，0)(xf，求a的取值范围。【例 5】【2013全
18、国理】已知函数xxxxxf1)1()1ln()( 若0x时，0)(xf，求的最小值； 设数列na的通项nan131211，证明：2ln412naann。【例 6】【2014全国理】已知函数( )2xxf xeex. 讨论( )f x的单调性；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页精品资料欢迎下载 设( )(2 )4( )g xfxbf x，当0x时，( )0g x，求 b 的最大值； 已知1.414221.4143，估计 ln2的近似值（精确到 0.001）. 【例 7】【2012大纲理】设函数,0,cos)(xxaxxf. 讨论( )f x的单调性； 设xxfsin1)(，求a的取值范围。总结：对于无法求最值的恒成立问题，解题的基本步骤如下（1）首先由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；（2）然后利用这个范围去判断导数是否恒正或恒负；（3）如果导数不变号，则由端点得到的范围就是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性（若函数先增后减，则最小值在端点处取得，若函数先减后增，则最大值在端点处取得）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
