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1、2000 年真题1 （14 分）设 f (x),g (x),h (x) 都是数域 P 上的一元多项式，并且满足：4(1) ( )(1) ( )(2) ( )0xf xxg xxh x（1）4(1) ( )(1) ( )(2) ( )0xf xxg xxh x（2）证明：41x能整除( )g x。2 （14 分）设 A 是 nr 的矩阵，并且秩（A）= r，B， C 是 rm 矩阵，并且AB=AC ，证明： B=C。3（15 分）求矩阵321222361A的最大的特征值0，并且求 A 的属于0的特征子空间的一组基。(14 分)设-2,3,-1是33矩阵的特征值，计算行列式611nAAE3(14
2、分)设 A,B 都是实数域R 上的n n矩阵 ,证明 :AB,BA 的特征多项式相等证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：EAEB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页 (14 分)设 A 是n n实对称矩阵 ,证明：257nAAE是一个正定矩阵证明： A 是实对称矩阵，则的特征值均为实数 (15 分 )设 A 是数域P 上的n 维线性空间V的一个线性变换,设1,nVA使0,但是nA=0, 其中n1证明：21,nAAA是的一组基并且求线性变换在此基下的矩阵，以及的核的维数2000 年真题答案1、证明：1(
3、2)(1): 2 ( )4 ( )0( )( )2g xh xh xg x（3）将（ 3）带入（ 1）中，得到：41(1)( )( )2xf xxg x441( )xxxg x+1与 互素，注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页2、证明：,()0.ABACA BC( ),AnrR ArA是的矩阵 ,是列满秩的矩阵，即方程0AX只有零解0,BCBC即3、解：224EA，02当02时，求出线性无关的特征向量为1210101 2， ，则120,L构成的特
4、征子空间12，是0的特征子空间的一组基4、解：-2,3,-1是33矩阵的特征值，不妨设1232,3,1,则矩阵611nAAE3对应的特征值为：12315,20,16故6111520164800nAAE35、利用构造法，设0，令1EBHAE，11010EBEEBAEAEEAB，两边取行列式得11()nHEABEAB （）11100EEBEBABAEAEE，两边取行列式得11()nHEBAEBA （）由（）， （）两式得1()nEAB1()nEBAEABEBA （）上述等式是假设了0，但是（）式两边均为的 n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0） ，从而一定是恒等式注：此题可扩展为是mn矩阵，是
5、nm矩阵，的特征多项式有如下关系：nmmnEABEBA，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式6、设为的任意特征值，则257nAAE的特征值为225357()024精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页故257nAAE是一个正定矩阵7、证明：1nnAA0,=0.令10110nnllAlA （）用1nA左乘（）式两边，得到10()0nlA由于1nA0，00l，带入（）得1110nnlAlA （）再用2nA左乘（）式两端，可得10l这样继续下去，可得到0110nlll21,nAAA线性无关21,)nAAAA(2
6、1,)nAAA(0000100001000010在此基下的矩阵为0000100001000010，可见 ,()1R An,dimker(1)1Ann即 A 的核的维数为120XX 年真题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页20XX 年真题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页1 （15 分）设A1111101111001110001100001，123101221001320001200001nnnnnnB都是nn矩阵。解矩阵方程AXB。2
7、（20 分）设143253442A，A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C，使得1CAC是一个对角矩阵。3 （10 分）设, ,k m r s都是非负整数。设23( )1,f xxxx4414243( )kmrsg xxxxx。证明：( )f x整除( )g x。4 （10 分）设A，B都是n n矩阵，G是n m矩阵，并且G的秩是n。证明：如果AGBG，则AB。5 （10 分）设A是n n矩阵，并且A是可逆的。证明：如果A与1A的所有的元素都是整数，则A的行列式是-1或1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共
8、27 页6 （10 分）设A是n n反对称矩阵，证明：2A是半正定的。7 （15 分）设A是n n矩阵。如果2nAE，并且()nAE的秩是r，A是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。8 （10 分）设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，与是V的线性变换。 其中可对角化， 并且ABBAA。证明：存在正整数m，使得m是零变换。20XX 年真题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页精选学习资料 -
9、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页20XX 年真题20XX 年真题答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页111115101121 01021350 1010212523531201101111021222102101101121 015210 1021350 103101 0102XXX一(）求满足下列条件的解；11010211024 11511222151212i12二（ ）设P是一个数域， p（x) 是Px 中次数大于 0的多项式，证明：如果对于任
10、何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出 p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么 p(x) 是不可约多项式。证明：假设 p(x) 是可约多项式，则存在p(x),p(x)使得 p(x)=p (x)p (x), 且 （p(x)n）,且 AC=CB,C 的秩为 r. 证明 : A 和 B 至少有 r 个相同的特征值。注意：7 题中 V(k) 在原题中 k 为 V 的下标。20XX 年真题一，用正交线性替换将实三元二次型222123112132233(,)44282f x xxxx xx xxx xx变成标准形， 并写出所用的非退化线性变换。精选学习资料 - - - -
11、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页二、设212254115A。A 是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得1CAC为对角阵，且写出此对角阵。三、设1110( )nnnnf xa xaxa xa是一个整系数多项式，证明：如果0naa是一个奇数，则( )f x不能被 x-1 整除，也不能被 x+1 整除。四、设 A 是一个nn矩阵，证明：如果A 的秩等于2A的秩，则齐次线性方程组AX=0 与齐次线性方程组2AX=0 同解。五、设 V 是有理数域Q 上的线性空间， id 是 V 的恒等变换。又设是 V 的一个线性变换，证明：如果325
12、id，则没有特征值。六、设A 是nn实对称矩阵， b 是 A 的最大的特征值。证明：对任意n 维非零的实列向量，都有(,)( ,)Ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页七、设 V=5 F x是 F 上全体次数 5 的多项式及零多项式构成的线性空间。( )f xV，定义映射( )( )f xr x，其中2( )(1) ( )( )f xxq xr x，( )r x=0 或deg( ( )2r xa)证明映射是 V 的一个线性变换。b)求在基 1，x, 2x,3x,4x 下的矩阵。8设 A,B 都是nn矩阵，并且A
13、B=BA 。证明：如果A,B 都相似于对角矩阵，则A+B 也相似于对角矩阵。20XX 年真题一，化二次型123122313,222fx x xx xx xx x为标准型 ,并给出所用的非退化线性替换. 二，求三阶矩阵1261725027的 Jordan 标准型 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页三，设,nR且长度为 2,矩阵TTnAE求A的特征多项式 . 四，设A是n阶反对称矩阵 ,nE为单位矩阵 .证明：aEA可逆设 ,1 Q= E+AbEA设求证Q是正交阵 . 五，设A是 3 阶对称矩阵 ,且A的各行元素
14、之和都是3,向量0,1,1,1,2, 1TT是0AX的解 ,求矩阵A的特征值 ,特征向量 ,求正交阵Q和矩阵B使得TQ BQA六 ， 设P是 一 个 数 域 ,P x是P x中 次 数 大 于0的 多 项 式 , 证 明 ： 如 果 对 于 任 意 的fx,g x, 若 有|Pxfxgx|p xfxp xg x或者,那么P x是不可约多项式. 七，设欧氏空间中有12,0.n， ，112,nWL212,nWL证明：如果,0i,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页那么21dimdimWW八，设是n维欧氏空间中的一个对称
15、变换,则kerVV20XX年真题答案1. 解所 给 二 次 型 的 矩 阵 为011101110A其 特 征 多 项 式 为2( ) | (1) (2)fEA. 故 特 征 值 为121,2. 11, 解对应的特征方程()0EA X得1(1 10)TX,2(1 01)TX. 22, 解对应的特征方程( 2)0EA X得3( 1 11)TX. 以123,XXX作为列向量作成矩阵C.则C可逆 , 且TC AC为对角阵 . 这时做非退化线性替换1122133123yxxyxxyxxx得222123123(,)2f y yyyyy. 2. 解1261725027EA, 将其对角化为210001000(
16、1) (1). 故A的若当标准形为100110001.3. 解A的 特 征 多 项 式 为( )|nfEA(1)TTnE(1)()TTnE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页22(1)(1)()TnTE22(1)(1)TTnTTE21(1)1TTnTT222(1)(1025() )nT. 4. 证A是反对称实矩阵 , 故其特征值为零或纯虚数. 其实 ,假定是A的特征值 ,是相应的特征向量. 则()()()TTTTTTTTAAAAA, 又TTA, 故, 这说明是零或纯虚数 . 由此得|0EA, 因而EA可逆 . 由知
17、EA可逆 , 这说明Q有意义 . 而1() ()TQEAEA, 因此11() ()()()TQ QEAEA EA EA11() ()()()EAEA EA EAE. 故Q是正交矩阵 . 5. 解依题意有011003121003111003A因而10030111 110031211 110031111 11A其特征多项式为2( )|(3)fEA. 故特征值为120,3. 10, 解特征方程0AX得11,0,1TX,21,1,0TX. 特征向量为1122l Xl X. 23, 解特征方程(3)0EA X得31,1,1TX. 特征向量为33l X. 以 上123, ,l llR. 把 向量12,XX
18、正 交 并 单 位化得111(,0,)22,2333,2 222 2. 把向 量3X单 位 化 得3111,333.以123,作为列向量作成矩阵P,则P为正交矩阵且000000003TP APB.110223332 222 2111333TQP , 则Q满足TQ BQA. 6. 证假设( )p x可约 , 不妨设12( )( )( )p xp x px, 其中120( ),( )( )p xpxp x. 这时显然有12( )|( )( )p xp x px,但不可能有1( )|( )p xp x或者2( ) |( )p xpx. 这与题设矛盾 , 故假设错误 . 因而( )p x不可约 . 7
19、. 证依题显然有12WW, 假设21dimdimWW, 则12WW. 于是1W , 这说明可被12,n线性表出 . 记1122nnlll给 上 式 两 边 同 时 计 算,得,0, 于 是0, 与 题 设 矛 盾 , 故 假 设 错 误 , 原 命 题21dimdimWW成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页 8. 证对于任意的ker及任意的V, 有,0，于是有kerV,因而ker0V. 又dim kerdimVn,于是dim(ker)Vn,故kerVV. 20XX 年真题精选学习资料 - - - - -
20、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页20XX 年真题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页20XX 年真题回忆版1. 求非负 m,n,kN, s.t.21xx整除33132mnkxxx.(本题中21xx可能为21xx).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页2. 已知0001000
21、100010A,求 A 的不变因子 ,行列式因子及 Jordan标准型 . 3. A,B,C 为 n 阶矩阵 ,A,B 可逆 ,求AACBC的逆 . 4. A 为 mn 阶矩阵 ,AX=b 有解A y=0 则 b y=0. 5.322( )2,( )0,kerker(2)g xxxgV. 6. A,B 正定 ,AB=BA, 则(1)存在正交阵 P, s.t. P AP, P BP 为对角阵 .(2)AB 正交. 7. J,X 均为 nn 实矩阵 ,J的每个元素都为1,X=XJ+JX,求证只有零解X=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页
