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1、解析几何常见突破口解析几何研究的问题是几何问题,研究的手法是代数法(坐标法 )因此,求解解析几何问题最大的思维难点是转化, 即几何条件代数化如何在解析几何问题中实现代数式的转化,找到常见问题的求解途径,即解析几何问题中的条件转化是如何实现的,是突破解析几何问题难点的关键所在为此,从以下几个途径,结合数学思想在解析几何中的切入为视角,分析解析几何的“双管齐下”,突破思维难点考点一利用向量转化几何条件典例 如图所示, 已知圆 C:x2y22x4y40,问:是否存在斜率为1 的直线 l,使 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且以AB 为直径的圆过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,请说明理由
2、解题观摩 假设存在斜率为1 的直线 l,使 l 与圆 C 交于 A, B 两点,且以AB 为直径的圆过原点设直线 l 的方程为y xb,点 A(x1,y1),B(x2,y2)联立yxb,x2y2 2x4y40,消去 y 并整理得 2x22(b1)xb2 4b4 0,所以 x1x2 (b 1),x1x2b24b42.因为以 AB 为直径的圆过原点,所以OA OB,即 x1x2y1y2 0. 又 y1x1b,y2x2b,则 x1x2y1y2x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20. 由知, b24b 4b(b1)b20,即 b23b4 0,解得 b 4 或 b1. 当 b 4 或
3、 b1 时,均有 4(b1)28(b24b4) 4b224b360,即直线 l 与圆 C 有两个交点所以存在直线l,其方程为xy10 或 xy40. 关键点拨 以 AB 为直径的圆过原点等价于OAOB,而 OAOB 又可以“直译”为x1x2y1y2 0,可以看出,解此类解析几何问题的总体思路为“直译”,然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”,将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”,最后联立“直译”的结果解决问题考点二角平分线条件的转化典例 已知动圆过定点A(4,0),且在 y 轴上截得的弦MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程
4、;(2)已知点 B(1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹 C 交于不同的两点P,Q,若 x 轴是 PBQ 的角平分线,求证:直线l 过定点解题观摩 (1)设动圆圆心为点P(x,y),则由勾股定理得x242(x4)2y2,化简即得圆心的轨迹C 的方程为 y28x. (2)证明: 法一: 由题意可设直线l 的方程为ykxb(k0)联立ykxb,y28x,得 k2x22(kb4)xb20.由 4(kb4)24k2b20,得 kb2. 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1x22 kb4k2,x1x2b2k2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
5、- - - - -第 1 页,共 9 页因为 x 轴是 PBQ 的角平分线,所以kPBkQB0,即 kPBkQBy1x11y2x212kx1x2 kb x1x22bx11 x218 kbx11 x21 k20,所以 kb0,即 b k,所以 l 的方程为 yk(x1)故直线l 恒过定点 (1,0)法二: 设直线 PB 的方程为xmy 1,它与抛物线C 的另一个交点为Q,设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),由条件可得,Q 与 Q关于 x 轴对称,故Q(x2, y2)联立xmy 1,y28x,消去 x 得 y28my80,其中 64m2320,y1y28m,y1y28. 所以 kPQy1y2
6、x1x28y1y2,因而直线PQ 的方程为yy18y1 y2(xx1)又 y1y28,y218x1,将 PQ 的方程化简得(y1y2)y8(x 1),故直线 l 过定点 (1,0)法三: 由抛物线的对称性可知,如果定点存在,则它一定在x 轴上,所以设定点坐标为(a,0),直线 PQ 的方程为xmya.联立xmya,y28x消去 x,整理得 y28my8a0, 0. 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y28m,y1y2 8a.由条件可知kPBkQB0,即 kPBkQ By1x1 1y2x21my1a y2 my2a y1y1y2x1 1 x212my1y2 a1 y1y2x11 x
7、21 0,所以 8ma8m0. 由 m 的任意性可知a1,所以直线l 恒过定点 (1,0)法四: 设 P),8(121yy,Q),8(222yy,因为 x 轴是 PBQ 的角平分线,所以 kPBkQ By1y218 1y2y22810,整理得 (y1y2)18(21yy0. 因为直线l 不垂直于x 轴,所以y1y20,可得 y1y2 8.因为 kPQy1y2y218y2288y1y2,所以直线 PQ 的方程为yy18y1y2)8(21yx,即 y8y1y2(x1)故直线l 恒过定点 (1,0)法五角平分线性质|y|QPyQMPMBQBP,|) 1() 1(22222121BAyyyxyx,y1
8、x1 1y2x210关键点拨 本题前面的三种解法属于比较常规的解法,主要是设点,设直线方程,联立方程,并借助判别式、根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页与系数的关系等知识解题,计算量较大解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点,避免了联立方程组,计算相对简单,但是解法二和解法四中含有两个参数y1,y2,因此判定直线过定点时,要注意将直线的方程变为特殊的形式考点三弦长条件的转化典例 如图所示,已知椭圆G:x22y21,与 x 轴不重合的直线l 经过左焦点F1,且与椭圆G 相交于 A,B 两点,弦AB 的中点为M,直线
9、 OM 与椭圆 G 相交于 C,D 两点(1)若直线 l 的斜率为1,求直线OM 的斜率(2)是否存在直线l,使得 |AM|2 |CM|DM |成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由解题观摩 (1)由题意可知点F1(1,0),又直线 l 的斜率为 1,故直线l 的方程为yx 1. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由yx1,x22y21,消去 y 并整理得3x24x0,则 x1x243,y1y223,因此中点M 的坐标为)31,32(.故直线 OM 的斜率为132312. 中点弦点差法算不出来?(2)假设存在直线l,使得 |AM|2 |CM|DM |成立由题意,直线l
10、不与 x 轴重合 ,设直线 l 的方程为x my1.由xmy1,x22y21,消去 x 并整理得 (m22)y22my10. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y22mm22,y1y21m22,可得 |AB|1m2|y1 y2| 1m22mm2224m222 2 m21m22,x1x2m(y1y2)22m2m2 224m22,所以弦 AB 的中点 M 的坐标为)2,22(22mmm,故直线 CD 的方程为ym2x. 联立ym2x,x22y21,消去 y 并整理得 2x2m2x240,解得 x24m22. 由对称性,设C(x0,y0),D(x0, y0),则 x204m22,可得
11、|CD|1m24 |2x0|m2 4 4m222 m24m22. 因为 |AM|2 |CM|DM |(|OC|OM|)(|OD|OM|),且|OC|OD|,所以 |AM|2|OC|2|OM|2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页故|AB|24|CD|24|OM|2, 即|AB|2|CD|2 4|OM|2,则8 m212m2224 m24m2 244m222m2m222,解得 m22,故 m 2. 所以直线l 的方程为x2y10 或 x2y10. 关键点拨 本题 (2)的核心在于转化|AM|2|CM| |DM |中弦长
12、的关系 由|CM|OC| |OM|,|DM |OD |OM|,又|OC|OD|,得|AM|2|OC|2 |OM|2.又|AM|12|AB|, |OC|12|CD|, 因此 |AB|2|CD|24|OM|2,转化为弦长 |AB|,|CD|和 |OM|三者之间的数量关系,易计算考点四面积条件的转化典例 设椭圆的中心在坐标原点,A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(k0)与椭圆交于E,F 两点,求四边形AEBF 的面积的最大值解题观摩 法一: 如图所示,依题意得椭圆的方程为x24y21,直线 AB,EF 的方程分别为x 2y2, ykx(k0)设点 E(x1,kx1),F(x2,k
13、x2),其中 x1x2,且 x1,x2满足方程 (14k2)x24,故 x2 x1214k2.根据点到直线的距离公式和,得点E,F 到直线 AB 的距离分别为h1|x12kx12|52 12k14k25 14k2,h2|x22kx22|52 12k14k25 14k2. 又|AB|22125,所以四边形AEBF 的面积为S12|AB| (h1h2)12 54 12k5 14k22 12k14k2214k24k14k2214k14k22141k4k22,当且仅当1k4k,即 k12时取等号因此四边形AEBF 的面积的最大值为22. 法二: 依题意得椭圆的方程为x24y21.直线 EF 的方程为y
14、kx(k0)设点 E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1x2.联立ykx,x24y21消去 y,得 (14k2)x24. 故 x1214k2,x2214k2,|EF|1k2 |x1x2|41k214k2. 根据点到直线的距离公式,得点A,B 到直线 EF 的距离分别为d1|2k|1k22k1k2,d211k2. 因此四边形AEBF 的面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页S12|EF| (d1 d2) 1241 k214k212k1k22 12k14k2 24k24k114k2 214k14k2 214
15、1k4k2 2,当且仅当1k4k,即 k12时取等号因此四边形AEBF 的面积的最大值为22. 关键点拨 如果利用常规方法理解为S四边形AEBFSAEFSBEF12|EF| (d1d2)(其中 d1,d2分别表示点A,B 到直线 EF的距离 ),则需要通过联立直线与椭圆的方程,先由根与系数的关系求出EF 的弦长, 再表示出两个点线距,其过程很复杂 而通过分析, 若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形 ABE 和ABF 的面积之和,则更为简单因为直线AB 的方程及其长度易求出,故只需表示出点E 与点 F 到直线 AB 的距离即可总结规律 快速转化 做数学,就是要学会翻译,把文字语言、符号语言
16、、图形语言、表格语言相互转换,我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理,在理解题意的同时,牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”,核心思想是“数形结合”,牢固树立“转化”意识,那么就能顺利破解解析几何的有关问题附几种几何条件的转化,以供参考1平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等,或向量平行(2)对边相等长度相等,横 (纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为 1,或向量数量积为0 (2)勾股定理两点的距离公式(3)斜边中线性质 (中线等于斜边一半)两点的距离公式3等腰三角形条件
17、的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时,两腰斜率相反(3)三线合一 (垂直且平分 )垂直:斜率或向量平分:中点坐标公式4菱形条件的转化几何性质代数实现精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页(1)对边平行斜率相等,或向量平行(2)对边相等长度相等,横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直:斜率或向量平分:中点坐标公式、中点重合5圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负
18、数6角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角,直角,钝角角的余弦 (向量数量积 )的符号(2)倍角,半角,平分角角平分线性质,定理(夹角、到角公式) (3)等角 (相等或相似 )比例线段或斜率课时跟踪检测 1已知椭圆C 经过点)23, 1(,且与椭圆E:x22y21 有相同的焦点(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若动直线l:ykxm 与椭圆 C 有且只有一个公共点P,且与直线x4 交于点 Q,问:以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M?若存在,求出定点M 的坐标;若不存在,请说明理由解: (1)椭圆 E 的焦点为 ( 1,0),设椭圆 C 的标准方程为x2a2y2b2 1(ab0),则1a29
19、4b21,a2b21,解得a24,b23,所以椭圆 C 的标准方程为x24y23 1. (2)联立y kxm,x24y231消去 y,得 (34k2)x28kmx4m2120,所以 64k2m24(34k2)(4m212)0,即 m234k2. 设 P(xP,yP),则 xP 4km34k24km,yPkxPm4k2mm3m,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页即 P)3,4(mmk.假设存在定点M(s,t)满足题意,因为Q(4,4km),则 MP)3,4(tmsmk,MQ(4s,4kmt),所以MP MQ )4(sm
20、k(4s)3(tm(4kmt)4km(1s)43(kmmt(s24s 3t2)0恒成立,故1s0,t0,s24s3t20,解得s1,t0.所以存在点M(1,0)符合题意2已知椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的短轴长为2 2,离心率为63,点 A(3,0), P 是 C 上的动点, F 为 C的左焦点(1)求椭圆 C 的方程;(2)若点 P 在 y 轴的右侧,以AP 为底边的等腰ABP 的顶点 B 在 y 轴上,求四边形FPAB 面积的最小值解: (1)依题意得2b22,ca63,a2b2c2解得a6,b2椭圆 C 的方程是x26y22 1. (2)设 P(x0,y0)(2y02,y0 0,
21、x00),线段 AP 的中点为M,则 AP 的中点 M)2,23(00yx,直线 AP 的斜率为y0x03,由 ABP 是以 AP 为底边的等腰三角形,可得BMAP,直线 AP 的垂直平分线方程为yy02x0 3y0)23(0xx,令 x0 得 B)29, 0(02020yxy,x206y2021, B)232,0(020yy,F(2,0),四边形FPAB 的面积 S52)232|(|0200yyy52)|23|2(00yy53,当且仅当2|y0|32|y0|,即 y032时等号成立,四边形FPAB 面积的最小值为5 3. 3椭圆C:x2a2y2b21(ab 0)的左、右焦点分别是F1, F2
22、,离心率为32,过点F1且垂直于x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为1. (1)求椭圆 C 的方程;(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设 F1PF2的角平分线PM 交 C 的长轴于点M(m,0),求 m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页解: (1)将 x c 代入椭圆的方程x2a2y2b2 1,得 yb2a. 由题意知2b2a1,故 a2b2.又 eca32,则ba12,即 a2b,所以a 2,b1,故椭圆C 的方程为x24y21. (2)由 PM 是 F1PF2的角
23、平分线,可得|PF1|F1M|PF2|F2M|,即|PF1|PF2|F1M|F2M|. 设点 P(x0,y0)(2x02),又点 F1(3,0),F2(3,0),M(m,0),则|PF1|3x02 y20232x0,|PF2|3x02 y20 232x0. 又|F1M|m3|,|F2M|m3|,且3m3,所以 |F1M|m3,|F2M|3m. 所以232x0232x03 m3 m,化简得m34x0,而 2x02,因此32 m32.故实数 m 的取值范围为)23,23(. 4(2018 沈阳模拟 )已知椭圆x2a2y2b21(ab 0)的左,右焦点分别为F1, F2,且 |F1F2| 6,直线y
24、kx 与椭圆交于 A,B 两点(1)若 AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程;(2)若 k24,且 A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e 的值;(3)在(2)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA 的斜率 k1(2, 1),试求直线PB 的斜率 k2的取值范围解: (1)由题意得c3,根据 2a2c 16,得 a5.结合 a2 b2c2,解得 a225,b216.所以椭圆的标准方程为x225y2161.(2)由x2a2y2b21,y24x,得)81(22abx2a2b2 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)所以 x1x20, x1x2a2b2b218a2,由 A
25、B,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2 BF2,因为 F2A(x13,y1), F2B(x23,y2),所以 F2A F2B (x13)(x23)y1y2)811(x1x29 0. 即 x1x2 8,所以有a2b2b218a2 8,结合 b29a2,解得 a212,所以离心率e32. (3)由(2)的结论知,椭圆方程为x212y231,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页由题可知 A(x1,y1),B(x1, y1),k1y0y1x0x1,k2y0y1x0x1,所以 k1k2y20y21x20x21,又y20y21x20x2121202120)121(3)121(3xxxx14,即 k214k1,由 2k1 1 可知,18k214.即直线 PB 的斜率 k2)41,81(.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页