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1、十章二阶线偏微分方程的分十章二阶线偏微分方程的分类类10.1 基本概念基本概念(1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知是未知变量；量； 为的偏的偏导数数. 有有时为了了书（10.2.1） 其中其中 为为的已知函数的已知函数 定理定理10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程 (10.2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1. 当判别式当判
2、别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(10.2.4)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(10.2.6) 即为即为 (10.2.4)或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以又可以进一步将方程又可以进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方我们前面建立的波动方程就属于此类型程就属于此类型2当判别式当判别式 时
3、：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如， ，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有 ，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换， 只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式即可这样，方程即可这样，方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型3. 当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到
4、的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又可以进一步化为又可以进一步化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述
5、，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可. 10.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程 (10.3.1)若判别式为若判别式为 ，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型; 1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族
6、不同的实函数曲线，设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式 (10.3.3) 上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为 (10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。 2抛物型偏微分方程抛物型偏
7、微分方程因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线 ，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (10.3.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式 ，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为 (10.3.7)若令若令 (10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方
8、程变为作自变量变换，则偏微分方程变为 (10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代
9、表常系数，以便与我我们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来, 例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简 (10.4.3) 式中式中 均为常系数若令均为常系数若令 则有则有(10.4.4) (10.4.5)其中其中 对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6） 还可以进一步化简上式中小写字母还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令
10、为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7)2.抛物型抛物型3.椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数) (10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为常系数为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：面的形式：其中其中 L 是二阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y的函数的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：
11、线性偏微分算符有以下两个基本特征： 10.5 线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征其中其中 均为常数进一步有如下结论：均为常数进一步有如下结论： 1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为方程的解方程的解时，则也也为方程的解；方程的解；(1).当当为方程的解，方程的解，则也是方程的解；也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：为非非齐次方程的特解，次方程的特解，为齐次方程的通解，次方程的通解，则为非非齐次方程的通解；次方程的通解；(1)若若(2) 若若 则则3线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线性偏微分算符）的解性偏微分算符）的解.如果如果级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 的解的解 程右端的级数是收敛的）程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方（当然要假定这个方
