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1、 5.4 二元一次不等式(组)与简单的线性规划一、知识回顾1、画二元一次不等式表示的平面区域,常采用“直线定界,特殊点定域”的方法,当边界不过原点时,常把原点作为特殊点2、线性规划问题的有关概念:(1)线性约束条件(2)目标函数(3)线性规划问题( 4)解线性规划的基本步骤二、精题演练1、 在平面直角坐标系中,不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是()(A)4 2(B)4 (C) 2 2(D)2 解析: 如图, 作出可行域, 易知不等式组20200xyxyy表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为(,),B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的面积为:11| |
2、4 24.22SBCAO从而选。2、下面给出的四个点中, 位于表示的平面区域内的点是( ) A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0) 解析 : 将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是 (0,-2),选 C. 3、若实数 x,y 满足则 z3x+2y的最小值是( )A.0 B.1 C. D.9 解析 : 解出可行域的顶点, 代入验证即可. 答案 :B 4、若 A为不等式组表示的平面区域, 则当 a 从-2 连续变化到1 时, 动直线 x+ya 扫过 A中的那部分区域的面积为( ) 01y-x0,1-yx01y-x0,1-yx0,x0,yx0,1y-x32x-y0,y
3、0,x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页A. B.1 C. D.2 解析 : 如右图 , 知区域的面积是OAB去掉一个小直角三角形. ( 阴影部分面积比1 大, 比 SOAB22 2 小, 故选 C,不需要算出来) 答案 : C 5、当点 M(x,y) 在如图所示的三角形ABC内( 含边界 ) 运动时 , 目标函数zkx+y 取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数 k 的取值范围是( ) A.(- ,-1 1,+) B.-1,1 C.(-,-1) (1,+ ) D.(-1,1) 解析 : 目标函数所表示的直线的
4、斜率为-k, 当直线所表示的斜率比直线BC的斜率大 , 比直线 AC的斜率小时 , 恰好在点 C(1,2) 处取得最优解. kAC1,kBC-1, -1 -k 1, 解得 -1 k1. 答案 :B 6、 设 O为坐标原点 ,M(2,1),若 N(x,y)满足则取得最大值时, 点 N的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个解析 : 画出可行域如图, 设 z 2x+y, 当 z 2x+y 对应的直线同直线2x+y-12 0 重合时,z 最大,此时有无数个点. 答案 :D 4347211,x0,12-y2x0,34y-xONOMONOM精选学习资料 - - - - - - - - - 名
5、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页7、 若 x 、 y 满 足 约 束 条 件222xyxy, 则 z=x+2y的 取 值 范 围 是()A、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 ( 3,5 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线l: x+2y 0, 将l向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0 ) 时 , 有 最 小 值2, 过 点 B( 2,2 ) 时 , 有 最 大 值6, 故 选 A 8、不 等 式 组260302xyxyy表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为()A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大解 : 如 图
6、 , 作 出 可 行 域 , ABC 的 面 积 即 为 所 求 ,由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC的 面 积 即 可 , 选 B 9、已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件5503xyxyx,使z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数个 , 则a 的 值 为()A、 3 B、 3 C、 1 D、 1 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线l: x+ay 0, 要 使 目 标 函 数z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的最 优 解 有 无 数 个 , 则 将l向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重
7、 合 , 故 a=1 , 选 D 10、已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0 ) 和 ( 1,1 ) , 则m的 取 值 范 围是 ()A、 ( -3,6)B、 ( 0,6 )C、 ( 0,3 )D、 ( -3,3)解 : |2x y m| 3 等 价 于230230xymxym由 右 图 可 知3330mm, 故 0 m 3, 选 C x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y 6= 0 = 5 xy 3 = 0 O y x A B C M y =2 x + y = 5 x y + 5 = 0 O y x x=3
8、O 2x y = 0 y 2x y + 3 = 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页11、已知变量x,y满足约束条件xy20,x1,xy7 0,则yx的取值范围是() . (A)95,6 (B) (,95 6 ,)(C) (, 3 6 ,)(D)3 ,6 解析yx是可行域内的点M(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率,当直线OM过点(52,92)时,yx取得最小值95;当直线OM过点( 1,6)时,yx取得最大值6. 答案 A 12、已知点 (3,1)和( 4,6)在直线 3x2y+a=0 的两侧,则a 的取值范
9、围是( ) A. a 1 或 a24 B. a=7 或 a=24 C. 7a24 D. 24 a7 13、满足2yx的整点的点(x,y)的个数是()A5 B 8 C12 D13 14、 .完成一项装修工程, 请木工需付工资每人50 元 , 请瓦工需付工资每人40 元 , 现有工人工资预算2000元 , 设木工 x 人 , 瓦工 y 人 , 请工人的约束条件是( B ) A.20004050yxB. 20004050yxC. 20004050yxD. 20005040yx15、设 x,y 满足约束条件0, 002063yxyxyx, 若目标函数z=ax+by(a0,b0)的值是最大值为12,则2
10、3ab的最小值为 ( A ). A. 625B. 38C. 311D. 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页【解析】 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a0,b0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点( 4,6)时, 目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而23ab=23 23131325()()26666abbaabab,故选 A. 16、设变量 x、y 满足约束条件1122yxyxyx,则yxz32的
11、最大值为。解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4) 处,目标函数z 最大值为18 17、若 x,y 满足约束条件则 z2x-y 的最大值为 _. 解析 : 如图 , 作出可行域 , 3,x00,3y-x0,yxx 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 图 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页作出直线l0:2x-y 0, 将 l0平移至过点A处时 , 函数 z2x-y 有最大值9. 答案 : 9 18、已知则 x2+y2的最小值是 _
12、. 解析 :画出可行域 , 得交点 A(1,2),B(3,4),则 x2+y2的最小值是5. 答案 : 5 19、已知变量x,y 满足约束条件若目标函数zax+y( 其中 a0) 仅在点 (3,0) 处取得最大值 ,则 a 的取值范围为_. 解析 : 画出可行域如图所示,其中B(3,0) ,C (1,1) ,D(0,1) ,若目标函数zax+y 取得最大值,必在B,C,D三点处取得,故有3aa+1 且 3a1,解得 a. 答案 : ( ,+ )20、点 P(x,y) 满足不等式组i为 x 轴正方向上的单位向量,则向量OP在向量i方向上的投影的最大值为_. 解析 : 画出可行域,其可行域为以A(
13、2,3) 、B(-3,-2)、 C(1,-2)为顶点的三角形内部部分(包含边界),过A作 x 轴的垂线,垂足为D,由图形可知向量在向量i方向上的投影的最大值为OD的长度,即为2. 0,2-y-2x0,1y-x1,x0,2-y-2x0,1y-x1,x0,1-y0,3-3yx0,3-2yx2121-2,y0,7-y-5x0,1y-xOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页答案 : 2 21、下图所示的阴影区域用不等式组表示为22、已知点 P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式012byx表示的平面区域内,则b 的取
14、值范围是23、不等式1yx所表示的平面区域的面积是24、若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分,则k的值是 _解析 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC 由3434xyxy得 A(1, 1) ,又 B(0,4) ,C(0,43)SABC=144(4) 1233,设ykx与34xy的交点为 D,则由1223BCDSS ABC知12Dx,52Dy5147,2233kk25、不等式2313xxaa对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 _ 因为24314313xxxxaa对对任意 x 恒成立,所以22343041aaaaaa即,解得或x 121
15、32y O A x D y C O y=kx+43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页26、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨, B 原料 2吨;生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润5 万元,每吨乙产品可获得利润3 万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨, B 原料不超过18 吨.那么该企业可获得最大利润是_万【解析】 设生产甲产品x吨,生产乙产品y吨,则有关系:A原料B原料甲产品x吨3x2x乙 产 品y吨y3y则有:183213
16、300yxyxyx目标函数yxz35作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知: 当x3,y 5 时可获得最大利润为27 万元,27、若A为不等式组002xyyx表示的平面区域, 则当a从 2 连续变化到1 时,动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为7428已知实数xy,满足|1|1xyy, 则yx2的最大值为 _;29在坐标平面上, 不等式组11|2xyxy所表示的平面区域的面积为_; (3,4)(0,6)O (313,0)yx9 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页30若不等式组ayxyyxyx0
17、220, 表示的平面区域是一个三角形, 则a的取值范围是 _; 31.画出不等式组02042xyxyx所表示的平面区域32.求由约束条件0,0625yxyxyx确定的平面区域的面积阴影部分S和周长阴影部分C解析 :由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分),其四个顶点为O(0,0) ,B(3,0) ,A(0,5) ,P(1,4) 过P 点作 y 轴的垂线,垂足为C则 AC=|5-4|=1 ,PC=|1-0|=1,OC=4,OB=3,AP=2,PB=52)31()04(22得PCACSACP21=21,8)(21OCOBCPSCOBP梯形所以阴影部分S=ACPS+COBPS梯形=217,阴影部
18、分C=OA+AP+PB+OB=8+2+5233. 求目标函数yxz1510的最大值及对应的最优解,约束条件是01001232122yxyxyx解析 :作出其可行域如图所示,约束条件所确定的平面区域的五个顶点为(0,4) , (0,6) , (6,0) (10,0) , (10,1) ,作直线 l0:10 x +15 y =0,再作与直线l0平行的直线l:10 x +15 y =z,由图象可知,当l 经过点( 10,1)时使yxz1510取得最大值,xyO352x+y=6x+y=55PABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共
19、11 页显然1151151010maxz,此时最优解为( 10,1) 34、预算用2 000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可能得多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5 倍,问桌子、椅子各买多少才行?解: 设桌、椅分别买x 张、 y 把,目标函数zx+y, 把所给的条件表示成不等式组,即约束条件为由解得所以 A点的坐标为(,). 由解得所以 B点的坐标为 (25,). 所以满足条件的可行域是以A(,) ,B (25,) ,O (0,0)为顶点的三角形区域(如下图),由图形可知,目标函数zx+y 在可行域内的最优解为(25,), 但注意到xN*,y
20、N* ,故取故买桌子25 张,椅子37 把是最好的选择. 35、某机械厂的车工分、两个等级,各级车工每人每天加工能力,成品合格率及日工资数如下表所示:级别加工能力 (个/人天 ) 成品合格率 (%) 工资 (元/天) 240 97 5.6 160 95.5 3.6 0.y0,x1.5x,yx,y000,220y50xx,y000,220y50x,7200,7200yx720072001.5x,y000,220y50x275,25yx2757200720027527537.y25,x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页工厂要求每天至少加工配件2400 个,车工每出一个废品,工厂要损失2 元,现有级车工8 人,级车工 12 人,且工厂要求至少安排6 名级车工,试问如何安排工作,使工厂每天支出的费用最少. 36. .实数yx,满足不等式组02200yxyxy, 求11xy的取值范围 ? 37.已知10101yyxyx且84422yxyxu, 求u的最小值; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页