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1、2.函数与导数1.求函数的定义域,关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根,被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出所有的不等式,不应遗漏.答案B2.求函数解析式的主要方法:(1)代入法;(2)待定系数法;(3)换元(配凑)法;(4)解方程法等.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题.答案f(x)x22x(x0)3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数.4.函数的奇偶性f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|); f(x)是奇函数f(x)f(x);定
2、义域含0的奇函数满足f(0)0;定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件;判断函数的奇偶性,先求定义域,再找f(x)与f(x)的关系.回扣问题4(1)若f(x)2x2xlg a是奇函数,则实数a_.(2)已知f(x)为偶函数,它在0,)上是减函数,若f(lg x)f(1),则x的取值范围是_.回扣问题5已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意xR,都有f(x4)f(x),若f(1)2,则f(2 015)等于()A.2 B.2C.2 015 D.2 015答案B求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接,可用“和”连接,或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,
3、而不能用集合或不等式代替.答案(1)(,0),(0,)(2)D7.求函数最值(值域)常用的方法:(1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数;(2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数;(3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数;(4)导数法:适合于可导函数;(5)换元法(特别注意新元的范围);(6)分离常数法:适合于一次分式;(7)有界函数法:适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成立,特别是基本不等式法,并且要优先考虑定义域.答案(0,1)8.函数图象的几种常见变换(1)平移变换:左右平移“左加右减”(注意是针对x而言);上下平移“
4、上加下减”.(2)翻折变换:f(x)|f(x)|;f(x)f(|x|).(3)对称变换:证明函数图象的对称性,即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上;函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称;函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0(y轴)对称;函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称.答案(1)(2,3)(2)(0,1)9.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向,二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)ax2bxc(a0);顶
5、点式:f(x)a(xh)2k(a0);零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(3)一元二次方程实根分布:先观察二次项系数,与0的关系,对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号,再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,要考虑到二次项系数可能为零的情形.答案A11.指数函数与对数函数的图象与性质:可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑,特别注意底数的取值对有关性质的影响,另外,指数函数yax的图象恒过定点(0,1),对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0).答案(1)D(2)当a1时,(0,);当0a1时,(,0)12.函数与方程(1)对
6、于函数yf(x),使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.事实上,函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根.(2)如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数yf(x)在区间a,b内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,此时这个c就是方程f(x)0的根;反之不成立.答案B13.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义:函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0),相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).注意过某点的切线不一定只有一条.回扣问题13已知函数f(x)x33x
7、,过点P(2,6)作曲线yf(x)的切线,则此切线的方程是_.答案3xy0或24xy54015.利用导数判断函数的单调性:设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么f(x)在该区间内为增函数;如果f(x)0,那么f(x)在该区间内为减函数;如果在某个区间内恒有f(x)0,那么f(x)在该区间内为常函数.注意如果已知f(x)为减函数求字母取值范围,那么不等式f(x)0恒成立,但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦如此.回扣问题15函数f(x)x3ax2在区间(1,)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.3,) B.3,)C.(3,) D.(,3)答案B16.导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数f(x)x3,有f (0)0,但x0不是极值点.回扣问题16函数f(x)x33x23xa的极值点的个数是()A.2 B.1 C.0 D.由a确定答案C