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1、8-1 直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012 乌鲁木齐地区质检 )在圆 x2y22x4y0 内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是() A.6B.4C.3D.34答案B 解析圆心为 (1,2), 过点(0,1)的最长弦 (直径)所在直线斜率为1,且最长弦与最短弦垂直, 过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1,倾斜角是4. (理)(2012 内蒙包头模拟 )曲线 yx2bxc 在点 P(x0,f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0,4,则点 P 到该曲线对称轴距离的取值范围为 () A0,1B0,12 C0,|b|2 D0,|b1|2 答案B 解析y|xx02x
2、0b, 设切线的倾斜角为 , 则 0tan 1,即 02x0b1,点 P(x0,f(x0)到对称轴 xb2的距离 d|x0b2|12|2x0b|0,12,故选 B. 2(文)(2011 辽宁沈阳二中检测 )“a2”是“直线 2xay1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页0 与直线 ax2y20 平行”的 () A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B 解析两直线平行的充要条件是2aa212,即两直线平行的充要条件是 a 2.故 a2 是直线 2xay10与直线 ax2y20平行的充分不必
3、要条件点评如果适合 p 的集合是 A,适合 q 的集合是 B,若 A 是 B的真子集,则 p 是 q 的充分不必要条件,若AB,则 p,q 互为充要条件,若 B 是 A 的真子集,则 p 是 q 的必要不充分条件(理)(2011 东营模拟 )已知两条直线l1:axbyc0,直线 l2:mxnyp0,则 anbm是直线 l1l2的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B 解析l1l2时,anbm0;anbm0 时? /l1l2. 故 anbm 是直线 l1l2的必要不充分条件3(2011 烟台模拟 )点 P(3,4)关于直线 xy20 的对称点 Q的坐标是 (
4、) A(2,1) B(2,5) C(2,5) D(4,3) 答案B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页解析x242,y2(3)5,故选 B. 4(文)(2011 梅州模拟 )已知直线 a2xy20 与直线 bx(a21)y10 互相垂直,则 |ab|的最小值为 () A5B4C2D1 答案C 解析由题意知, a2b(a21)0 且 a0, a2ba21,aba21aa1a, |ab|a1a|a|1|a|2.(当且仅当 a 1 时取“”)(理)已知 a、b 为正数,且直线 (a1)x2y10 与直线 3x(b2)y2
5、0 互相垂直,则3a2b的最小值为 () A12 B.136C1 D25 答案D 解析两直线互相垂直,3(a1)2(b2)0, 3a2b1, a、b0,3a2b(3a2b)(3a2b) 136ba6ab1326ba6ab25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页等号成立时,6ba6ab3a2b1,ab15,故3a2b的最小值为 25. 5两条直线 l1:xayb1 和 l2:xbya1 在同一直角坐标系中的图象可以是 () 答案A 解析直线 l1在 x 轴上的截距与直线l2在 y 轴上的截距互为相反数,直线 l1在
6、 y 轴上的截距与 l2在 x 轴上的截距互为相反数,故选A. 点评可用斜率关系判断,也可取特值检验6(文)(2011 安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点 P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则这样的直线共有() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页A1 条B2 条C3 条D4 条答案C 解析设过点 P(2,1)的直线方程为xayb1,则2a1b1,即 2baab,又 S12|a|b|4,即|ab|8,由2baab,|ab|8,解得 a、b 有三组解a4,b2,a44 2,b22 2,或a4 2
7、4,b22 2.所以所求直线共有3 条,故选 C. (理)(2012 山东模拟 )若直线(m21)xy2m10 不经过第一象限,则实数 m的取值范围是 () A.12m1 B1m12C12m1 D.12m1 答案D 解析若直线 (m21)xy2m10 不经过第一象限,则直线过二、三、四象限,则斜率和截距均小于等于0.直线变形为 y(m21)x2m1,则m210,2m10,?12m1,故选 D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页点评(1)令 x0 得 y2m1,令 y0 得,x2m1m21,则2m10,2m1m21
8、0,或2m10,m210,也可获解(2)取特值 m0,1,检验亦可获解7(2011 宁夏银川一中月考 )直线 l:axy2a0 在 x 轴和 y轴上的截距相等,则a 的值是_答案2 或 1 解析令 x0 得 y2a,令 y0 得 xa2a,由条件知 2aa2a,a2 或 1. 8(文)若直线 m 被两平行线 l1:xy10 与 l2:xy30所截得的线段的长为2 2,则 m 的倾斜角可以是15 30 45 60 75其中正确答案的序号为_(写出所有正确答案的序号) 答案解析求得两平行线间的距离为2, 则 m 与两平行线的夹角都是 30 ,而两平行线的倾斜角为45 ,则 m的倾斜角为 75 或
9、15 ,故填 . (理)(2012 佛山市高三检测 )已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页_答案12解析直线方程可化为x2y1, 故直线与 x 轴的交点为 A(2,0),与 y 轴的交点为 B(0,1),由动点 P(a,b)在线段 AB 上,可知 0b1,且 a2b2,从而 a22b,由 ab(22b)b2b22b2(b12)212,由于 0b1,故当 b12时,ab 取得最大值12. 9(201
10、1 大连模拟 )已知点 A(1,2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是x2y20,则实数 m 的值是 _答案3 解析由已知条件可知线段AB 的中点1m2,0在直线 x2y20 上,代入直线方程解得m3. 点评还可利用 ABl 求解,或 AB为 l 的法向量,则 ABa,a(1,2),或先求 AB 中点纵坐标 y0,利用 AB 的中点在直线上求出其横坐标 x0再求 m. 10已知两直线l1:mx8yn0 和 l2:2xmy10.试确定m、n 的值,使(1)l1与 l2相交于点 P(m,1);(2)l1l2;(3)l1l2,且 l1在 y 轴上的截距为 1. 精选学习资料 - -
11、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页解析(1)由题意得m28n0,2mm10,解得n7,m1,当m1,n7 时,l1与 l2相交于点 P(1,1)(2)l1l2?m28mn1,得:m4,n2,或 m4,n2. (3)l1l2? m28m0, m0,则 l1:8yn0. 又 l1在 y 轴上的截距为 1,则 n8. 综上知 m0,n8. 点评讨论 l1l2时要排除两直线重合的情况处理l1l2时,利用 l1l2? A1A2B1B20 可避免对斜率存在是否的讨论. 能力拓展提升11.(文)(2012 辽宁文 )将圆 x2y22x4y10 平分的
12、直线是() Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 答案C 解析本题考查了直线与圆的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页将圆 x2y22x4y10 化为标准方程 (x1)2(y2)24,直线平分圆,直线过圆心因此,可代入验证经验证得 C 正确点评关键是明确圆是轴对称图形,对称轴过圆心(理)(2011 西安八校联考 )已知直线 l 的倾斜角为34,直线 l1经过点 A(3,2),B(a,1),且直线 l1与 l 垂直,直线 l2:2xby10 与直线 l1平行,则 ab 等于() A4 B2 C0 D2
13、 答案B 解析依题意知,直线 l 的斜率为 ktan341,则直线 l1的斜率为 1,于是有213a1,a0,又直线 l2与 l1平行,12b, b2, ab2,选 B. 12(文)若三直线 l:2x3y80,l2:xy10,l3:xkyk120 能围成三角形,则k 不等于 () A.32B2 C.32和1 D.32、1 和12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页答案D 解析由xy10,2x3y80,得交点 P(1,2),若 P 在直线 xkyk120 上,则 k12. 此时三条直线交于一点;k32时,直线 l1与
14、l3平行k1 时,直线 l2与 l3平行,综上知,要使三条直线能围成三角形,应有k12,32和1. (理)(2011 北京文, 8)已知点 A(0,2),B(2,0)若点 C 在函数 yx2的图象上,则使得 ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 () A4B3C2D1 答案A 解析因为|AB|2 2,要使三角形面积是2,则 C 点到直线AB 的距离为2.直线 AB 的方程为 xy20, 设 C 点所在的直线方程为 xym0,所以 d|m2|2 2,解得 m0 或 m4,所以C 点的轨迹为 xy0,或 xy40.又因为点 C 在函数 yx2的图象上, xy0,和 xy40 与 yx2分别有两
15、个交点故这样的点共有 4 个点评 可利用点到直线距离公式,转化为方程解的个数的判精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页定13 已知指数函数 y2x的图象与 y 轴交于点 A, 对数函数 ylgx的图象与 x 轴交于点 B, 点 P 在直线 AB 上移动,点 M(0, 2), 则|MP|的最小值为 _答案3 22解析A(0,1),B(1,0),直线AB:xy10,又 M(0,2),当|MP|取最小值时, MPAB, |MP|的最小值为 M 到直线 AB 的距离 d|021|23 22. 14已知直线 l1:(k3)x(
16、4k)y10 与直线 l2:2(k3)x2y30 平行,则 l1与 l2的距离为 _答案3 或 5 解析由(k3)(2)2(k3)(4k)0,且 21(4k)30,k3 或 5. 当 k3 时,l1:y10,l2:2y30,此时 l1与 l2距离为:52;当 k5 时,l1:2xy10,l2:4x2y30,此时 l1与 l2的距离为|32|42 22510. 15(文)已知两条直线 l1:(3m)x4y53m,l2:2x(5m)y8.当 m分别为何值时, l1与 l2:(1)相交?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21
17、页(2)平行?(3)垂直?解析(1)当 m5 时,显然 l1与 l2相交;当 m5 时,两直线 l1和 l2的斜率分别为 k13m4,k225m,它们在 y 轴上的截距分别为b153m4,b285m. 由 k1k2,得3m425m,即 m7,且 m1. 当m7,且 m1 时,l1与 l2相交(2)由k1k2,b1b2,得3m425m,53m485m,得 m7. 当m7 时,l1与 l2平行(3)由 k1k21,得3m4 (25m)1,m133. 当m133时,l1与 l2垂直(理)(2011 青岛模拟 )已知三点A(5,1)、B(1,1)、C(2,m),分精选学习资料 - - - - - -
18、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页别求满足下列条件的m 值(1)三点构成直角三角形ABC;(2)A、B、C 三点共线解析(1)若角 A 为直角,则 ACAB, kAC kAB1,即m12511151,得 m7;若角 B 为直角,则 ABBC, kAB kBC1,即12m1211,得 m3;若角 C 为直角,则 ACBC, kAC kBC1,即m13m1211,得 m 2,综上可知, m7,或 m3,或 m 2. (2)方法一:A(5,1),B(1,1),C(2,m), kAB115112,kAC1m521m3,精选学习资料 - - - - - - -
19、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页由 kABkAC,得121m3,即 m12. 当m12时,三点 A、B、C 共线方法二:A(5,1),B(1,1),C(2,m), AB(4,2),AC(3,m1),由AB AC,得432m1,得 43,m12,当m12时,三点 A、B、C 共线方法三:A(5,1),B(1,1),C(2,m), |AB|2 5,|BC|m22m2,|AC|m22m10. 由三点横坐标可知, |BC|AC|AB|,即m22m2m22m102 5,m22m10 m22m2 25 , 两 边 平 方 , 得5 m22m23m,两边平方,得
20、4m24m10, m12,经验证 m12符合题意,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页故 m12时,三点 A、B、C 共线方法四:点 A(5,1)与 B(1,1)确定的直线方程为x2y30,将 C(2,m)的坐标代入得 m12,故 m12时,三点 A、B、C 共线16 (文)(2011 西安模拟 )设直线 l 的方程为 (a1)xy2a0(aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程(2)若 l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围解析(1)令 x0,得 ya2. 令 y0,得 xa2a1(a1)由 a
21、2a2a1,解得 a2,或 a0. 所求直线 l 的方程为 3xy0,或 xy20. (2)直线 l 的方程可化为 y(a1)xa2. l 不过第二象限, a1 0,a20. a1. a 的取值范围为 (,1(理)过点 A(3,1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y2x 于点 C,若|BC|2|AB|,求直线 l 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页解析当 k 不存在时 B(3,0),C(3,6)此时|BC|6,|AB|1,|BC|2|AB|,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y1k
22、(x3),令 y0 得 B(31k,0),由y2xy1k x3得 C 点横坐标 xc13kk2. 若|BC|2|AB|则|xBxC|2|xAxB|, |13kk21k3|2|1k|,13kk21k32k或13kk21k32k,解得 k32或 k14. 所求直线 l 的方程为: 3x2y70 或 x4y70. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页1函数 yasinxbcosx 的图象的一条对称轴方程为x4,则直线 axbyc0 的倾斜角为 () A45B60C120D135答案D 分析由函数的对称轴方程可以得到a、b
23、 的关系式,进而可求得直线 axbyc0 的斜率 k,再由 ktan可求倾斜角 . 解析令 f(x)asinxbcosx, f(x)的一条对称轴为 x4, f(0)f2,即 ba,ab1. 直线 axbyc0 的斜率为 1,倾斜角为 135 . 2若三直线 2x3y80,xy10,xkyk120 相交于一点,则 k 的值为 () A2 B12C2 D.12答案B 解析由xy102x3y80得交点 P(1,2),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页P 在直线 xkyk120 上, k12. 3(2011 江西)若曲线
24、 C1:x2y22x0 与曲线 C2:y(ymxm)0 有 4 个不同的交点,则实数m 的取值范围是 () A(33,33) B(33,0)(0,33) C33,33 D(,33)(33,) 答案B 解析曲线 C1:(x1)2y21,图形为圆心为 (1,0),半径为 1 的圆;曲线 C2:y0 或者 ymxm0,直线 ymxm0 恒过定点 (1,0),即曲线 C2图象为 x 轴与恒过定点 (1,0)的两条直线作图分析: k1tan3033,k2tan3033,又直线 l1(或直线 l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点, 结合图形可知 mk(33,0)(0,33)4设 a、b、c 分别是 ABC
25、 中角 A、B、C 所对边的边长,则直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页线 xsinAayc0 与 bxysinBsinC0 的位置关系是 () A平行B重合C垂直D相交但不垂直答案C 解析由已知得a0,sinB0,所以两直线的斜率分别为k1sinAa,k2bsinB,由正弦定理得: k1 k2sinAabsinB1,所以两条直线垂直,故选C. 5(2011 安徽省高三联考 )点 P 到点 A(1,0)和直线 x1 的距离相等,且点 P 到直线 yx 的距离为22,这样的点 P 的个数是 () A1B2C3D4
26、答案C 解析点P 到点 A 和定直线 x1 距离相等,易知 P 点轨迹为抛物线,方程为y24x. 设 P(t2,2t),则22|2tt2|2,解之得 t11,t212,t31 2,P 点有三个,故选 C. 6(2011 深圳二月模拟 )设 l1的倾斜角为 , (0,2),l1绕其上一点 P 沿逆时针方向旋转角得直线 l2,l2的纵截距为 2,l2绕 P沿逆时针方向旋转2角得直线l3:x2y10,则 l1的方程为_答案2xy80 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页解析由条件知 l1l3,kl12,tan 2,又 l
27、2的倾斜角为 2 ,tan2 43, l2:y43x2,由y43x2,x2y10,得 P(3,2),又 P 在 l1上,l1:2xy80. 7曲线 yxx2在(1,1)处的切线为 l,直线 kx2y100与 2x3y50 与 x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆, 则外接圆的圆心到 l 的距离为 _答案19 530解析由 yxx2得,y|x 12x22|x 12,切线 l:y12(x1),即 2xy10,又由条件知,直线kx2y100 与 2x3y50 垂直,2k60,k3. 在 3x2y100 中含 y0 得 x103,A(103,0),在 2x3y50 中令 x0 得 y53,B(0,53),AB 的中点 C(53,56)为圆心,故所求距离为19 530. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页8(2011 苏北四市二调 )已知直线 l1:axy2a10 和 l2:2x(a1)y20(aR),则 l1l2的充要条件是 a_. 答案13解析两条直线垂直的充要条件是A1A2B1B20, 对于本题而言就是 2a(a1)0,解得 a13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页