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1、高等数学 戴本忠第十节一一、有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理二、二、零点定理与零点定理与介值定理介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 1高等数学 戴本忠学习指导教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用函数值的估计和根的估计上的应用。3注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的
2、练习学会运用它们2高等数学 戴本忠如果函数如果函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,在右端点在右端点b左连续左连续,在左端点在左端点a右连续右连续,那么函数那么函数f(x)就是在就是在闭区间闭区间a,b上连续的。上连续的。3高等数学 戴本忠 并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 应注意的问题:一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值) 4高等数学 戴本忠
3、例如,5高等数学 戴本忠说明:v定理1(最大值和最小值定理) 在闭闭区区间间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 又至少有一点x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值 至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值 定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么6高等数学 戴本忠应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 v定理1(最大值和最小值定理) 在闭闭区区间间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值
4、 7高等数学 戴本忠 又如 如下函数在闭区间0 2内既无最大值又无最小值 应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 v定理1(最大值和最小值定理) 在闭闭区区间间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 8高等数学 戴本忠v定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理1 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界 v定理1(最大值和最小
5、值定理) 在闭闭区区间间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 9高等数学 戴本忠有有界界性性与与最最大大值值最最小小值值定定理理: :在在闭闭区区间间上上连连续续的的函数有界且一定有最大值和最小值函数有界且一定有最大值和最小值. .注意注意:1.:1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定成立定理不一定成立. .10高等数学 戴本忠二、零点定理与介值定理注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 v定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(
6、b)异号 即f(a).f(b)0 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x 二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 即f(a).f(b)0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=012高等数学 戴本忠v定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C二、零点
7、定理与介值定理v定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 即f(a).f(b)0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=013高等数学 戴本忠二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值v定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C 1
8、4高等数学 戴本忠证证MBCAm15高等数学 戴本忠由零点定理由零点定理, ,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与与最小值最小值m之间的任何值之间的任何值. .几何解释几何解释: :16高等数学 戴本忠例2证由零点定理,17高等数学 戴本忠三、一致连续性三、一致连续性定理定理5(5(一致连续性定理一致连续性定理) )如果函数如果函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上连续上连续, ,那么它在该区间上一致连续那么它在该区间上一致连续. .不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。
9、定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1,x2，当|x1-x2| 时，就有|f(x1)-f(x2)| ，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。18高等数学 戴本忠思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？19高等数学 戴本忠思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数20高等数学 戴本忠五、小结五、小结关于关于闭区间闭区间上上连续函数连续函数整体性质的整体性质的四个定理四个定理：有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，注意条件：注意条件：1闭区间闭区间； 2连续函数连续函数这两点这两点不全满足不全满足时上述定理时上述定理不一定不一定成立成立它们是研究它们是研究连续函数连续函数性质的重要工具性质的重要工具。21高等数学 戴本忠内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在)(. 3xf,ba则设, ,)(baCxf)(. 1xf,ba)(. 2xf,ba0)()(bfaf, ),(bax. 0)(=xf22高等数学 戴本忠作业P74：2，3 23
