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1、第第2 2章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 内内 容容 提提 要要v 问题的提出问题的提出v 有限长序列的傅里叶分析有限长序列的傅里叶分析v 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质v 利用利用DFT计算线性卷积计算线性卷积v 利用利用DFT分析信号的频谱分析信号的频谱DFTDFTDFTDFT学学 习习 要要 求求1.1.了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点。2.2.深刻理解有限长序列深刻理解有限长序列深刻理解有限长序列深刻理解有限长序列DFTDFT的定义及概
2、念的定义及概念的定义及概念的定义及概念。3.3.掌握序列掌握序列掌握序列掌握序列DFTDFT与序列与序列与序列与序列DTFTDTFT和和和和z z变换的相互关系变换的相互关系变换的相互关系变换的相互关系 。4.4.掌握利用掌握利用掌握利用掌握利用DFTDFT分析任意信号频谱的原理和方法分析任意信号频谱的原理和方法分析任意信号频谱的原理和方法分析任意信号频谱的原理和方法 。5.5.理解理解理解理解DFTDFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些分析信号频谱中出现的现象以及改善这些分析信号频谱中出现的现象以及改善这些分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法现象的方法现象的方法现象的方法 。
3、6.6.掌握利用掌握利用掌握利用掌握利用DFTDFT实现序列线性卷积的原理和方法。实现序列线性卷积的原理和方法。实现序列线性卷积的原理和方法。实现序列线性卷积的原理和方法。 DFTDFTDFTDFT重重 点点 和和 难难 点点 本章的重点是信号本章的重点是信号本章的重点是信号本章的重点是信号DFTDFTDFTDFT的数学概念和物理概念，的数学概念和物理概念，的数学概念和物理概念，的数学概念和物理概念，以及以及以及以及DFTDFTDFTDFT在信号分析和系统分析中的重要作用在信号分析和系统分析中的重要作用在信号分析和系统分析中的重要作用在信号分析和系统分析中的重要作用 本章的难点是利用本章的难点
4、是利用本章的难点是利用本章的难点是利用DFTDFTDFTDFT分析连续信号频谱过程中分析连续信号频谱过程中分析连续信号频谱过程中分析连续信号频谱过程中出现的现象出现的现象出现的现象出现的现象 DFTDFTDFTDFT问题的提出问题的提出信号的频域分析在信息技术领域广泛应用信号的频域分析在信息技术领域广泛应用信号的频域分析在信息技术领域广泛应用信号的频域分析在信息技术领域广泛应用为什么进行信号频谱的数值化分析为什么进行信号频谱的数值化分析为什么进行信号频谱的数值化分析为什么进行信号频谱的数值化分析? ? ? ?1.1.1.1.许多实际信号不存在数学解析式许多实际信号不存在数学解析式许多实际信号不
5、存在数学解析式许多实际信号不存在数学解析式2.2.2.2.利用计算机数值计算利用计算机数值计算利用计算机数值计算利用计算机数值计算, , , ,简单快捷简单快捷简单快捷简单快捷DFTDFTDFTDFT 有限长序列的傅里叶分析有限长序列的傅里叶分析 四种信号傅里叶表示四种信号傅里叶表示 有限长序列离散傅里叶变换有限长序列离散傅里叶变换 DFT矩阵表示矩阵表示 利用利用MATLAB计算计算DFTDFTDFTDFTDFT四种信号傅里叶表示四种信号傅里叶表示1. 周期为周期为T0的的连续时间周期信号连续时间周期信号频谱特点：频谱特点：频谱特点：频谱特点： 离散非周期谱离散非周期谱离散非周期谱离散非周期
6、谱DFTDFTDFTDFT四种信号傅里叶表示四种信号傅里叶表示2. 连续时间非周期信号连续时间非周期信号频谱特点：频谱特点：频谱特点：频谱特点： 连续非周期谱连续非周期谱连续非周期谱连续非周期谱DFTDFTDFTDFT四种信号傅里叶表示四种信号傅里叶表示3. 离散非周期信号离散非周期信号频谱特点：频谱特点：频谱特点：频谱特点： 周期为周期为周期为周期为2 2 2 2 的连续谱的连续谱的连续谱的连续谱DFTDFTDFTDFT四种信号傅里叶表示四种信号傅里叶表示4. 周期为周期为N的的离散周期信号离散周期信号频谱特点：频谱特点：频谱特点：频谱特点： 周期为周期为周期为周期为N N的离散谱的离散谱的
7、离散谱的离散谱DFTDFTDFTDFT有限长序列离散傅里叶变换有限长序列离散傅里叶变换 IDFT IDFT DFT DFT符号表示符号表示DFTDFTDFTDFT有限长序列有限长序列DFT与与DTFT关系关系 有限长序列有限长序列xk离散傅里叶变换离散傅里叶变换Xm是其离散时是其离散时间傅里叶变换间傅里叶变换X(ejW W)在一个周期在一个周期0,2 )的等间隔抽样的等间隔抽样DFTDFTDFTDFTDFT与与DFS关系关系DFT可以看成是截取可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对的主值区间构成的变换对DFTDFTDFTDFT例例例例3: 3: 求有限长求有限长4点序列点序列 的的DFT。
8、例题：例题：例题：例题：例例例例4 4 有限长有限长4点序列点序列DFT矩阵表示。矩阵表示。DFTDFTDFTDFTDFTDFTDFTDFT例例例例4: 4: 求有限长求有限长4点序列点序列 的的DFT。如果序列后补零，其如果序列后补零，其DFT有何变化有何变化? ?解解解解: :DFTDFTDFTDFTXm=2，2，-2，2, m=0,1,2,3有限长有限长4 4点序列点序列DFT矩阵表示矩阵表示:DFT矩阵表示矩阵表示DFTDFTDFTDFTDFT矩阵表示矩阵表示DFTDFTDFTDFT利用利用MATLAB计算计算DFTfft(xfft(x) ) fft(x,Nfft(x,N) ) iff
9、t(xifft(x) ) ifft(x,Nifft(x,N) ) fft(xfft(x) ) 计算计算M点的点的DFT。M是序列是序列x的长度。的长度。 fft(x,Nfft(x,N) ) 计算计算N点的点的DFT。 M N，将原序列裁为将原序列裁为N点计算点计算N点的点的DFT； M N，将原序列补零至将原序列补零至N点，然后计算点，然后计算N点点DFT。DFTDFTDFTDFTx=1 1 -1 1; xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm);axis(0 4 -1 3);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(
10、xm1);axis(0 8 -1 3);xm2=fft(x,16); subplot(313);stem(0:15,abs(xm2);axis(0 16 -1 3);利用利用利用利用MATLABMATLAB计算计算计算计算DFT-N=4DFT-N=4、8 8、1616DFTDFTDFTDFTx=0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm);axis(0 16 -1 7);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1);axis(0 64 -1 7
11、); subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2);axis(0 256 -1 7); 利用利用利用利用MATLABMATLAB计算计算计算计算DFT-N=16DFT-N=16、6464、256256DFTDFTDFTDFTx=0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;x1=0 0 0 0 0 1;N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1);xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);x2=0 0 0 0 0 1
12、 1;N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2);gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);gridx3=0 0 0 0 0 1 1 1;N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3);xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);gridx4=0 0 0 0 0 1 1 1 1;N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs
13、(xm4);gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm);DFTDFTDFTDFTDFTDFTDFTDFT离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 1. 线性线性 2. 循环位移循环位移 3. 对称性对称性 4. 序列的循环卷积序列的循环卷积 5. Parseval定理定理 6. 序列序列DFT与与z变换的关系变换的关系DFTDFTDFTDFT1. 1. 线性线性线性线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做需将较短序列补零后，再按长序列的
14、点数做DFTDFTDFTDFTDFT2. 2. 循环位移循环位移循环位移循环位移( (圆周移位圆周移位圆周移位圆周移位) ) 循环位移定义为循环位移定义为:注意：隐含的周期性注意：隐含的周期性DFTDFTDFTDFT时移特性时移特性时移特性时移特性: :若若 DFT xk = Xm 则则 DFT xpk nRNk = WNnm Xm 表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。证明：证明：DFT xpk nRN k DFTDFTDFTDFT频移特性频移特性频移特性频移特性: :若若 DFT xk = Xm 则则 DFT xk WN lk
15、= Xp m l RNm 表明：若序列在时域上乘以复数指数序列表明：若序列在时域上乘以复数指数序列WN lk，则在，则在频域上，频域上， Xm将圆周移位将圆周移位 l 位，也称位，也称“调制定理调制定理”。DFTDFTDFTDFT设设xk为实序列，为实序列， DFT xk = Xm ，则，则 Xm的实部的实部XRm是是m的偶函数的偶函数,虚部虚部XIm是是m的奇函数的奇函数 Xm的幅频是的幅频是m的偶函数，相位是的偶函数，相位是m的奇函数。的奇函数。 具有半周期对称的特点，即具有半周期对称的特点，即 Xm = X*N m 3. 3. 对称性对称性对称性对称性 (symmetry)(symmet
16、ry) -1）实数序列）实数序列xkDFTDFTDFTDFTx=0 0 0 1 1 1 1 0 0 0;xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm);subplot(222);stem(0:9,angle(xm);subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1);subplot(224);stem(0:10,angle(xm1);设设xk为实序列，为实序列， DFT xk = Xm ，则，则 Xm的实部的实部XRm是是m的偶函数的偶函数,虚部虚部XIm是是m的奇函数的奇函数 Xm的幅频是的幅频是m的偶函数，相位是
17、的偶函数，相位是m的奇函数。的奇函数。 具有半周期对称的特点，即具有半周期对称的特点，即 Xm = X*N m DFTDFTDFTDFT3. 3. 对称性对称性对称性对称性 - - 2）复数序列）复数序列xkDFTDFTDFTDFT若若x*k是有限长序列是有限长序列xk的共轭复数的共轭复数序列，并设序列，并设 xk = xRk + jxIk, x*k = xRk jxIk 有有 DFT x*k = X*N m 且且 Xepm = DFT xRk = Xm + X*N m/2 Xopm = DFT jxIk = Xm X*N m/23. 3. 对称性对称性对称性对称性 - - 2）复数序列）复数
18、序列证明：证明：证明：证明：DFTDFTDFTDFT循环卷积循环卷积循环卷积循环卷积DFTDFTDFTDFT4. 4. 循环卷积定理循环卷积定理循环卷积定理循环卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理时域卷积定理时域卷积定理 频域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理时域的循环卷积对应频域的乘积时域的循环卷积对应频域的乘积时域的循环卷积对应频域的乘积时域的循环卷积对应频域的乘积时域的乘积对应频域的循环卷积时域的乘积对应频域的循环卷积时域的乘积对应频域的循环卷积时域的乘积对应频域的循环卷积5. 5. ParsevalParseval定理定理定理定理DFTDFTDFTDFT序列序列DFT与与z变换
19、的关系变换的关系有限长序列有限长序列xk的的DFT：有限长序列有限长序列xk的的z变换：变换：DFTDFTDFTDFT序列序列序列序列DFTDFT与与与与z z变换的关系：变换的关系：变换的关系：变换的关系：x x k k 的的的的X X mm 等于其等于其等于其等于其z z变换变换变换变换X X( (z z) )在单位圆上等间隔抽样在单位圆上等间隔抽样在单位圆上等间隔抽样在单位圆上等间隔抽样DFTDFTDFTDFT 两个有限长序列的线性卷积两个有限长序列的线性卷积两个有限长序列的线性卷积两个有限长序列的线性卷积利用利用DFT计算序列线性卷积计算序列线性卷积h(n)x(n) y(n) 如果序列
20、如果序列x(n)的长度为的长度为 N1 、序列、序列h(n)的长度为的长度为N2 ，那么线，那么线性卷积性卷积y(n)也是一个有限长序列，且其长度为也是一个有限长序列，且其长度为 N1+N2 1。 每个每个x(n)的样值都必须与每个的样值都必须与每个h(n)的样值相乘，需的样值相乘，需N1N2次乘次乘法运算，在法运算，在 N1 = N2 = N 时，需时，需 N2次乘法运算。次乘法运算。 能否用圆周卷积代替线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积 ? 将进行卷积的两序列长度均加长至将进行卷积的两序列长度均加长至N N1 + N2 1，然后再进，然后再进行圆卷积，则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。行
21、圆卷积，则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。DFTDFTDFTDFT序列线性卷积序列线性卷积序列线性卷积序列线性卷积DFTDFTDFTDFT序列线性卷积序列线性卷积序列线性卷积序列线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积 ?序列圆周卷积序列圆周卷积序列圆周卷积序列圆周卷积DFTDFTDFTDFTDFTDFTDFTDFT利用利用DFT计算序列线性卷积的步骤计算序列线性卷积的步骤 若若若若x x k k 的长度为的长度为的长度为的长度为N N，h h k k 的长度为的长度为的长度为的长度为MM，则，则，则，则L L= =N N+ +MM 1 1点循环卷点循环卷点循环卷点循环卷
22、积等于积等于积等于积等于x x k k 与与与与h h k k 的线性卷积。的线性卷积。的线性卷积。的线性卷积。序列补零加序列补零加长至长至LxkN点点L点点DFTXkL N + M 1序列补零加序列补零加长至长至LhkM点点L点点DFTHkIFFT yk相乘相乘直接线卷积直接线卷积：N1N2次乘运算，次乘运算， N1 N2 = N 时，需时，需 N 2乘。乘。利用圆卷积利用圆卷积：两次两次FFT，一次一次IFFTDFTDFTDFTDFT 在一般的数字滤波器中，由于在一般的数字滤波器中，由于h(k)或或H(m)是预先设计好的，是预先设计好的，已置于存储器中，故实际只需二次已置于存储器中，故实际
23、只需二次FFT的运算量。假定的运算量。假定N = M= L，补零后长度补零后长度 N + M 1 2L，需要需要2 ( L log22L )次乘。次乘。此外完成此外完成X(k)与与H(k)两序列相乘，全部复运算次数为两序列相乘，全部复运算次数为2 ( L log22L ) + 2L = 2L ( 1 + log22L ) 比如比如 L = 210 = 1024 L = 26 = 64直接线卷积直接线卷积：1048576 64 64=4096利用圆卷积利用圆卷积： 24576 896 显然，随显然，随L ，利用圆卷积利用圆卷积比比L 2显著减小，所以采用圆卷积显著减小，所以采用圆卷积的方案可以加
24、快完成卷积运算。的方案可以加快完成卷积运算。利用利用DFT计算序列线性卷积的步骤计算序列线性卷积的步骤DFTDFTDFTDFT利用利用DFT计算序列线性卷积的步骤计算序列线性卷积的步骤 两序列长度接近或相等的情况下，采用圆卷积的方两序列长度接近或相等的情况下，采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。如果其中一个序列较短，而案可以加快完成卷积运算。如果其中一个序列较短，而另一序列很长，圆卷积方案的相对运算量可能减小不多，另一序列很长，圆卷积方案的相对运算量可能减小不多，甚至增多。这时，可采用分段卷积（分段过滤）的方法。甚至增多。这时，可采用分段卷积（分段过滤）的方法。 其基本原理是：将较长的一个序
25、列，比如其基本原理是：将较长的一个序列，比如xn分成分成许多小段，每小段长度都与许多小段，每小段长度都与hn接近，将接近，将xn的每个小的每个小段分别与段分别与hn作卷积，最后取和。这时，仍有可能发挥作卷积，最后取和。这时，仍有可能发挥快速卷积的优越性。此方案的具体实现不是唯一的。快速卷积的优越性。此方案的具体实现不是唯一的。DFTDFTDFTDFT长序列和短序列的线性卷积长序列和短序列的线性卷积 直接利用直接利用直接利用直接利用DFTDFT计算的缺点：计算的缺点：计算的缺点：计算的缺点：(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多。信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多。(2) 内存要求大
26、。内存要求大。(3) 算法效率不高。算法效率不高。 解决问题方法：采用分段卷积解决问题方法：采用分段卷积解决问题方法：采用分段卷积解决问题方法：采用分段卷积分段卷积可采用分段卷积可采用重叠相加法重叠相加法重叠相加法重叠相加法和和重叠保留法重叠保留法重叠保留法重叠保留法。DFTDFTDFTDFT长序列和短序列的线性卷积长序列和短序列的线性卷积1. 1. 重叠相加法（重叠相加法（重叠相加法（重叠相加法（overlap addoverlap add）将长序列将长序列xk 分为若干段长度为分为若干段长度为L的序列的序列长度、起止点？长度、起止点？长度、起止点？长度、起止点？DFTDFTDFTDFT长序
27、列和短序列的线性卷积长序列和短序列的线性卷积1. 1. 重叠相加法（重叠相加法（重叠相加法（重叠相加法（overlap addoverlap add）y0k的长度及起止点：的长度及起止点：y1k- -L的长度及起止点：的长度及起止点：注意：序列注意：序列 y0k, y1k的重叠部分的重叠部分重叠的点数：重叠的点数：L+M 2 L+1=M 1依次将相邻两段的依次将相邻两段的依次将相邻两段的依次将相邻两段的MM 1 1个个个个重叠点相加重叠点相加重叠点相加重叠点相加？，即得到最终的线，即得到最终的线，即得到最终的线，即得到最终的线性卷积结果。性卷积结果。性卷积结果。性卷积结果。DFTDFTDFTD
28、FTDFTDFTDFTDFT2. 2. 重叠保留法（重叠保留法（重叠保留法（重叠保留法（overlap saveoverlap save）长序列和短序列的线性卷积长序列和短序列的线性卷积 方法：方法：方法：方法： (1) 将将xk长序列分段，每段长度为长序列分段，每段长度为L。 (2) 各段序列各段序列xnk与与 M点短序列点短序列hk循环卷积。循环卷积。 (3) 从各段循环卷积中从各段循环卷积中提取提取线性卷积结果。线性卷积结果。因因ynk=xn k hk前前M-1个点不是线性卷积的点，故分段时，个点不是线性卷积的点，故分段时，每段与其前一段每段与其前一段有有M-1个点重叠个点重叠。第一段前
29、需第一段前需补补M-1个零个零DFTDFTDFTDFT2. 2. 重叠保留法（重叠保留法（重叠保留法（重叠保留法（overlap saveoverlap save）长序列和短序列的线性卷积长序列和短序列的线性卷积记：ynk =xn k L hk01-Lk0k1-LM -1M-1DFTDFTDFTDFTDFTDFTDFTDFT例例例例: : : : 已知序列已知序列xk=k+2,0 k 12, hk=1,2,1，试分别试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积, , 取取L=5 。解法一解法一解法一解法一：使用重叠相加法：使用重叠相加法：使用重叠相加法：使
30、用重叠相加法-时域序列按时域序列按时域序列按时域序列按L L个点连续分段、计算个点连续分段、计算个点连续分段、计算个点连续分段、计算L+M-1L+M-1点圆周卷积（或计算点圆周卷积（或计算点圆周卷积（或计算点圆周卷积（或计算L L、MM个点线性卷积）、前一个分段卷个点线性卷积）、前一个分段卷个点线性卷积）、前一个分段卷个点线性卷积）、前一个分段卷积结果的后积结果的后积结果的后积结果的后M-1M-1个点的序列值与后一个分段卷积结果的前个点的序列值与后一个分段卷积结果的前个点的序列值与后一个分段卷积结果的前个点的序列值与后一个分段卷积结果的前M-1M-1个点个点个点个点的序列值对应相加，构成要求的
31、卷积结果。的序列值对应相加，构成要求的卷积结果。的序列值对应相加，构成要求的卷积结果。的序列值对应相加，构成要求的卷积结果。解法二解法二解法二解法二：使用重叠保留法：使用重叠保留法：使用重叠保留法：使用重叠保留法-时域序列以前后两段重叠时域序列以前后两段重叠时域序列以前后两段重叠时域序列以前后两段重叠M-1M-1个点的个点的个点的个点的形式按形式按形式按形式按L L个点分段、计算个点分段、计算个点分段、计算个点分段、计算L L点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的后后后后L-(M-1)L-(M-1
32、)个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。DFTDFTDFTDFT例例例例: : : : 已知序列已知序列xk=k+2,0 k 12, hk=1,2,1，试分别试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积, , 取取L=5 。1 1）重叠相加法）重叠相加法）重叠相加法）重叠相加法DFTDFTDFTDFT例例例例: : : : 已知序列已知序列xk=k+2,0 k 12, hk=1,2,1，试分别利用重叠试分别利用重
33、叠相加法和重叠保留法计算线性卷积相加法和重叠保留法计算线性卷积, , 取取L=5 。2 2）重叠保留法）重叠保留法）重叠保留法）重叠保留法DFTDFTDFTDFT利用利用DFT分析信号频谱分析信号频谱 问题的提出问题的提出 四种信号频谱之间的关系四种信号频谱之间的关系 利用利用DFT分析连续非周期信号频谱分析连续非周期信号频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 DFT参数选取参数选取DFTDFTDFTDFT四种信号频谱之间的关系：公式？四种信号频谱之间的关系：公式？四种信号频谱之间的关系：公式？四种信号频谱之间的关系：公式？利用利用DFT分析信号频谱分析信号频谱DFTD
34、FTDFTDFT四种信号的时域与频域对应关系四种信号的时域与频域对应关系 DFTDFTDFTDFT利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 假设连续信号持续时间有限，假设连续信号持续时间有限，频带有限频带有限离散化抽样N点 DFTDFTDFTDFTDFT例：已知语音信号例：已知语音信号x(t)的最高频率为的最高频率为fm=3.4kHz, 用用fsam=8kHz对对x(t)进行进行抽样。如对抽样信号做抽样。如对抽样信号做N=1600点的点的DFT，试确定试确定Xm中中m=600和和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1 和和f2
35、 (kHz)。 解：解：DFTDFTDFTDFT利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 求x(t)=e-t u(t)的幅度谱fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);DFTDFTDFTDFTN=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X);gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw);gridhold onXX1=X(1:50);XX2=X
36、(51:100);XX=XX2 XX1;stem(-50:49,abs(XX);gridDFTDFTDFTDFTN=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X);gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw);gridhold onXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=XX2 XX1;stem(-50:49,abs(XX);gridDFTDFTDFTDFT讨论讨论1：x(t)无限长，其频带有限无限
37、长，其频带有限加窗加窗抽样抽样DFT利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 DFTDFTDFTDFT讨论讨论2：x(t) 有限长，其频带无限有限长，其频带无限利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 抽样抽样DFTDFTDFTDFTDFT讨论讨论3：x(t)无限长，其频带无限无限长，其频带无限利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 出现三种现象：混叠(抽样频率)、泄漏(加窗截断)、栅栏(离散频率点)抽样抽样DFT加窗加窗DFTDFTDFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(1)混叠现象混叠现象DFTDFTDFTDFTf1=5
38、0.0; w1=2*pi*f1; fs=2000; t=-10:1/fs:10; x=-cos(w1*t) ;for n=1:19x=x- cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311); plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem(0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN2=512;x2=x(1:N2);X2=fft(x2,N2);subplot(313);stem(0:N2-1),abs(X2)/N2*2);gridf1=50.0; w1=2*pi*f1; fs=2000; t=-10:1
39、/fs:10; x=-cos(w1*t) ;for n=1:19x=x- cos(n*w1*t)/n;endsubplot(411); stem(t,x);N1=1024;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(412);plot(0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridf1=50.0; w1=2*pi*f1; fs1=500; t=-10:1/fs1:10; xx=-cos(w1*t) ;for n=1:19xx=xx- cos(n*w1*t)/n;endsubplot(413); stem(t,xx);N2=1024;x2=xx(1:N1);X2=ff
40、t(x2,N2);subplot(414);plot(0:N2-1),abs(X2)/N2*2);gridDFTDFTDFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(2)泄漏现象泄漏现象DFTDFTDFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(3)栅栏现象栅栏现象DFTDFTDFTDFTfs=1000; t=0:1/fs:5; x=10*exp(-10*t) ;subplot(411);plot(t,x);N1=64;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(412);stem(0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN1=256;x1=x(1:N1);X1=fft(
41、x1,N1);subplot(413);stem(0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN1=1024;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(414);stem(0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridDFTDFTDFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法解决方法1-抗混叠滤波抗混叠滤波避免避免混叠现象混叠现象抗混滤波抗混滤波抽样间隔抽样间隔T抽样抽样DFTDFTDFTDFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法解决方法2-选择旁瓣幅度小的窗函数选择旁瓣幅度小的窗函数减少减少泄漏泄漏加窗加窗DFT其中：DFTDFTDFTDFTDFTDFTDFTDFT
