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1、名师总结优秀知识点二次函数考点 1、二次函数的概念定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 注意：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a 0，而 b、c 为任意实数。（2）当 b=c=0 时，二次函数2axy是最简单的二次函数。（ 3）二 次函数cbacbxaxy,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数（cbxax2为整式）例 1： 函数 y=（m 2）x22m2x1 是二次函数，则m= _例 2：已知函数y=ax2 bxc（其中 a，b，c 是常数），当 a_时，是二次函数；当a_，b_时，是一次函数； 当 a
2、_，b_，c_时，是正比例函数例 3：函数 y=（m n）x2mxn 是二次函数的条件是（）Am 、n 为常数，且m 0 Bm 、n 为常数，且m n Cm 、n 为常数，且n0 Dm 、n 可以为任何常数例 4： 下列函数中是二次函数的有（）y=xx1； y=3（x1）22； y=（x3）22x2； y=2x1xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点 2、三种函数 解析式 ：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a0） ，对称轴：直线x=ab2顶点坐标： ( abacab4422， ) （2）顶点式：khxay2（a0） ，对称轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）（3）交点式： y=a（x
3、-x1 ） （x-x2 ） （a0）, 对称轴 : 直线 x=22x1x( 其中 x1、x2 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标). 例 1：抛物线822xxy的顶点坐标为 _；对称轴是 _。例 2：二次函数y=-4 （1+2x） （x-3 ）的一般形式是_ 例 3：已知函数2)(22xmmmxy的图象关于y 轴对称，则m _；例 4：抛物线y=x2-4x+3 与 x 轴的交点坐标是_. 例 5： 把方程 x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=_,b=_,c=_. 考点 3、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常
4、选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式. （ 3 ） 交 点 式 ： 已 知 图 像 与x轴 的 交 点 坐 标1x、2x， 通 常 选 用 交 点 式 ：21xxxxay. 例 1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5 ，1） ，形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为 _例 2：已知抛物线的顶点坐标是（2，1） ，且过点（ 1， 2） ，求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师总结优秀知识点例 3：已知二次函数的图像经过（0，1） ， （2，1）
5、和（ 3，4） ，求该二次函数的解析式。例 4：已知二次函数的图像与x 轴的 2 个交点为（ 1，0） ， （2，0） ，并且过（ 3，4） ，求该二次函数的解析式。考点 4. 二次函数的图象1、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数cbxaxy2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点( 如
6、与坐标轴的交点等) ； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 典型例题：例 1： 函数 y=x2的顶点坐标为_若点（a，4）在其图象上， 则 a 的值是 _例 2：若点 A（3，m ）是抛物线y= x2上一点，则m= _例 3：函数y=x2与 y= x2的图象关于 _对称，也可以认为y=x2，是函数y=x2的图象绕 _旋转得到例 4：若二次函数y=ax2（a0） ，图象过点P（2， 8） ，则函数表达式为_例 5： 函数 y=x2的图象的对称轴为_， 与对称轴的交点为_， 是函数的顶点例 7：若 a1，点（ a1，y1） 、 （a， y2） 、 （a1，y3）都在函数y=x2
7、的图象上，判断 y1、y2、y3 的大小关系？考点 5. 二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0 ）kaxy20x（y轴）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 注：常用性质：1、开口方向：当a0 时，函数开口方向向上；当 a0 时，在对称轴左侧， y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师总结优秀知识点当
8、 a0 时，函数有最小值，并且当x=ab2， y 最小abac442当 a0 时，当 x 为何值时， y=0；当 x 为何值时， y0 时，函数开口方向向上；当 a0 ，b0，c=0 B. a0，b0，c=0 C. a0， b0，c0， b0，c=0 例 2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b 和抛物线)0(2ccbxaxy的图象只可能是图中的（）例 3：在同一直角坐标系中， 函数axxybaxy22b和的图象只可能是图中的 （）例 4：抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A、y=x2-x-2 B 、y=121212xC、y=121212xx D、y=22xx例 6：
9、已知二次函数yax2 bxc(a 0) 的图象如图所示，给出以下结论：a 0. 该函数的图象关于直线1x对称 . 当13xx或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（）A3 B 2 C 1 D 0 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师总结优秀知识点考点 9、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以， 抛物线平移时首先化为顶点式向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0 时，抛物线
10、有最低点，函数有最小值，当x=ab2， y最小abac442当 a时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=ab2， y最大abac442注：如果自变量x 有取值范围，则另当别论。典型例题：例 1： 抛物线的图象开口 _，对称轴是 _，顶点坐标为 _，当 x=_ 时， y 有最 _值为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师总结优秀知识点例 2： 当 m=_时， 抛物线开口向下， 对称轴是 _，在 对 称 轴 左 侧 ， y随x 的 增 大 而 _ ， 在 对 称 轴 右 侧 ， y 随x的 增 大 而_。例 4：
11、二次函数2)1(2xy的最小值是（）A.2 （B）1 （C） -1 （D）-2 例 2：抛物线y=-x2+x+7 与 x 轴的交点个数是（）例 3：抛物线y=-3x2+2x-1 的图象与x 轴交点的个数是（）A没有交点 B只有一个交点 C有且只有两个交点D有且只有三个交点考点 12、直线与抛物线的交点问题（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02c
12、bxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. (5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；
13、方程组无解时l与G没有交点 . 例 1：已知0a，在同一直角坐标系中，函数axy与2axy的图象有可能是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师总结优秀知识点例 3：在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数222ymxx（m是常数，且0m）的图象可能是例 4：已知直线y=2x3 与抛物线y=ax2相交于 A、B两点，且 A点坐标为（ 3，m ） （1）求 a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3） x 取何值时，二次函数y=ax2中的 y 随 x 的增大而减小；Oyx11AxyO11BxyO11CxyO11D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
