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1、名师总结优秀知识点二次函数考点 1、二次函数的概念定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数 . 注意:(1)二次函数是关于自变量x 的二次式,二次项系数a 必须为非零实数,即a 0,而 b、c 为任意实数。(2)当 b=c=0 时,二次函数2axy是最简单的二次函数。( 3)二 次函数cbacbxaxy,(2是常数,)0a自变量的取值为全体实数(cbxax2为整式)例 1: 函数 y=(m 2)x22m2x1 是二次函数,则m= _例 2:已知函数y=ax2 bxc(其中 a,b,c 是常数),当 a_时,是二次函数;当a_,b_时,是一次函数; 当 a
2、_,b_,c_时,是正比例函数例 3:函数 y=(m n)x2mxn 是二次函数的条件是()Am 、n 为常数,且m 0 Bm 、n 为常数,且m n Cm 、n 为常数,且n0 Dm 、n 可以为任何常数例 4: 下列函数中是二次函数的有()y=xx1; y=3(x1)22; y=(x3)22x2; y=2x1xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点 2、三种函数 解析式 :(1)一般式: y=ax2+bx+c(a0) ,对称轴:直线x=ab2顶点坐标: ( abacab4422, ) (2)顶点式:khxay2(a0) ,对称轴:直线x=h顶点坐标为(h,k)(3)交点式: y=a(x
3、-x1 ) (x-x2 ) (a0), 对称轴 : 直线 x=22x1x( 其中 x1、x2 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标). 例 1:抛物线822xxy的顶点坐标为 _;对称轴是 _。例 2:二次函数y=-4 (1+2x) (x-3 )的一般形式是_ 例 3:已知函数2)(22xmmmxy的图象关于y 轴对称,则m _;例 4:抛物线y=x2-4x+3 与 x 轴的交点坐标是_. 例 5: 把方程 x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=_,b=_,c=_. 考点 3、用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值,通常
4、选择一般式. (2)顶点式:khxay2. 已知图像的顶点或对称轴或最值,通常选择顶点式. ( 3 ) 交 点 式 : 已 知 图 像 与x轴 的 交 点 坐 标1x、2x, 通 常 选 用 交 点 式 :21xxxxay. 例 1:一个二次函数的图象顶点坐标为(-5 ,1) ,形状与抛物线y=2x2相同,这个函数解析式为 _例 2:已知抛物线的顶点坐标是(2,1) ,且过点( 1, 2) ,求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页名师总结优秀知识点例 3:已知二次函数的图像经过(0,1) , (2,1)
5、和( 3,4) ,求该二次函数的解析式。例 4:已知二次函数的图像与x 轴的 2 个交点为( 1,0) , (2,0) ,并且过( 3,4) ,求该二次函数的解析式。考点 4. 二次函数的图象1、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线 . 2、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:2axy;kaxy2;2hxay;khxay2;cbxaxy2. 注:二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数cbxaxy2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时步骤是: (1)先找出顶点坐标,画出对称轴; (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点( 如
6、与坐标轴的交点等) ; (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 典型例题:例 1: 函数 y=x2的顶点坐标为_若点(a,4)在其图象上, 则 a 的值是 _例 2:若点 A(3,m )是抛物线y= x2上一点,则m= _例 3:函数y=x2与 y= x2的图象关于 _对称,也可以认为y=x2,是函数y=x2的图象绕 _旋转得到例 4:若二次函数y=ax2(a0) ,图象过点P(2, 8) ,则函数表达式为_例 5: 函数 y=x2的图象的对称轴为_, 与对称轴的交点为_, 是函数的顶点例 7:若 a1,点( a1,y1) 、 (a, y2) 、 (a1,y3)都在函数y=x2
7、的图象上,判断 y1、y2、y3 的大小关系?考点 5. 二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0 )kaxy20x(y轴)(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422,) 注:常用性质:1、开口方向:当a0 时,函数开口方向向上;当 a0 时,在对称轴左侧, y 随着 x 的增大而减少;在对称轴右侧, y 随着 x 的增大而增大;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页名师总结优秀知识点当
8、 a0 时,函数有最小值,并且当x=ab2, y 最小abac442当 a0 时,当 x 为何值时, y=0;当 x 为何值时, y0 时,函数开口方向向上;当 a0 ,b0,c=0 B. a0,b0,c=0 C. a0, b0,c0, b0,c=0 例 2:在同一直角坐标系中,直线y=ax+b 和抛物线)0(2ccbxaxy的图象只可能是图中的()例 3:在同一直角坐标系中, 函数axxybaxy22b和的图象只可能是图中的 ()例 4:抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是()A、y=x2-x-2 B 、y=121212xC、y=121212xx D、y=22xx例 6:
9、已知二次函数yax2 bxc(a 0) 的图象如图所示,给出以下结论:a 0. 该函数的图象关于直线1x对称 . 当13xx或时,函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是()A3 B 2 C 1 D 0 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页名师总结优秀知识点考点 9、抛物线的平移方法:左加右减,上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移,因为顶点决定抛物线的位置,所以, 抛物线平移时首先化为顶点式向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0 时,抛物线
10、有最低点,函数有最小值,当x=ab2, y最小abac442当 a时,抛物线有最高点,函数有最大值,当x=ab2, y最大abac442注:如果自变量x 有取值范围,则另当别论。典型例题:例 1: 抛物线的图象开口 _,对称轴是 _,顶点坐标为 _,当 x=_ 时, y 有最 _值为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页名师总结优秀知识点例 2: 当 m=_时, 抛物线开口向下, 对称轴是 _,在 对 称 轴 左 侧 , y随x 的 增 大 而 _ , 在 对 称 轴 右 侧 , y 随x的 增 大 而_。例 4:
11、二次函数2)1(2xy的最小值是()A.2 (B)1 (C) -1 (D)-2 例 2:抛物线y=-x2+x+7 与 x 轴的交点个数是()例 3:抛物线y=-3x2+2x-1 的图象与x 轴交点的个数是()A没有交点 B只有一个交点 C有且只有两个交点D有且只有三个交点考点 12、直线与抛物线的交点问题(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). ( 2 ) 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). (3)抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x,是对应一元二次方程02c
12、bxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离 . (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同( 3)一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是kcbxax2的两个实数根. (5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点,由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点;
13、方程组无解时l与G没有交点 . 例 1:已知0a,在同一直角坐标系中,函数axy与2axy的图象有可能是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页名师总结优秀知识点例 3:在同一直角坐标系中,函数ymxm和函数222ymxx(m是常数,且0m)的图象可能是例 4:已知直线y=2x3 与抛物线y=ax2相交于 A、B两点,且 A点坐标为( 3,m ) (1)求 a、m的值;(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标;(3) x 取何值时,二次函数y=ax2中的 y 随 x 的增大而减小;Oyx11AxyO11BxyO11CxyO11D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页