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1、学习必备欢迎下载列一元二次方程解应用题(1)解应用题步骤即:1审题;2设未知数,包括直接设未知数和间接设未知数两种;3找等量关系列方程;4解方程;5判断解是否符合题意;6写出正确的解(2)常见类型1、传播问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人可传染人数共传染人数第 0 轮1(传染源)1 第 1 轮x x+1 第 2 轮x(x+1) 1+x+ x(x+1) 列方程1+x+ x(x+1)=121 解方程,得X1=10,X2=-12 X2=-12 不符合题意,所以原方程的解是x=10 答:每轮传染中平均一个
2、人传染了10 个人。类似问题还有树枝开叉等。2、循环问题(握手问题)一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了66 次手这次会议到会的人数是多少?又可分为单循环问题,双循环问题和复杂循环问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载a参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛 45 场比赛, 共有多少个队参加比赛?b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90 场比赛,共有多少个队参加比赛?c.一个正八边形,它有多少条对角线?3、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或
3、降低率、增长或降低次数的基本关系:M=a(1 x)n n 为增长或降低次数M 为最后产量,a 为基数,x 为平均增长率或降低率平均率和时间相关,必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。(a)平均增长率问题某电脑公司2000年的各项经营收入中, 经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计20XX 年经营总收入要达到2160 万元, 且计划从 2000 年到 20XX 年,每年经营总收入的年增长率相同,问20XX 年预计经营总收入为多少万元?解:设每年经营总收入的年增长率为a. 列方程,600 40%(1+a)2=2160 解方程,a1=0.2 a2=-2.
4、2, (不符合题意,舍去) 每年经营总收入的年增长率为0.2 则 20XX 年预计经营总收入为:60040%(1+0.2)=600 40%1.2=1800 答: 20XX 年预计经营总收入为1800 万元 . (b)平均下降率问题从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升,然后用水注满,再倒出同样升数的混合液后,这时容器里剩下纯酒精5 升问每次倒出溶液的升数?剖析: 第一次倒出的是纯酒精,而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次倒出x升, 则第一次倒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载出纯酒精x升,第二次倒出
5、纯酒精(2020xx)升根据20 升纯酒精减去两次倒出的纯酒精,就等于容器内剩下的纯酒精的升数20x2020xx 54、商品销售问题常用关系式:售价进价=利润一件商品的利润销售量=总利润单价销售量 =销售额)(a)给出关系式1.某商店购进一种商品,进价 30 元 试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X( 元)满足关系: P=100-2X 销售量 P,若商店每天销售这种商品要获得200 元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件?(b)一个“ +” 一个“”3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10 元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,
6、在进货价不变的情况下,若每千克涨价1 元,日销售量将减少20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?例题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20 件,每件盈利45 元,为了扩大销售、增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1 元,商场平均每天可多售出4 件,若商场平均每天盈利2100 元,每件衬衫应降价多少元?变式: 合肥百货大搂服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件,每件盈利40 元.为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存. 经市精
7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载场调查发现:如果每件童装降价4 元,那么平均每天就可多售出8 件. 要想平均每天销售这种童装上盈利 1200 元,那么每件童装因应降价多少元?5、面积问题例 3: 如图 121,在宽 20 米,长 32 米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条路( 两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直) ,把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570 平方米,问道路应该多宽? 剖析:设路宽为x米,那么两条纵路所占的面积为2x2040x(米2) ,一条横路所占的面积为32x
8、(米2) 纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD 、EFGH的面积,所以三条路所占耕地面积应当是(40x32x 2x2) 米2,根据题意可列出方程3220( 40x32x2x2) 570解:设道路宽为x米,根据题意,得3220( 40x32x2x2) 570整理,得x236x35 0解这个方程,得x11,x2 35x2 35 不合题意,所以只能取x11答:道路宽为1 米说明:本题的分析中,若把所求三条路平移到矩形耕地边上( 如图122) ,就更易发现等量关系列出方程如前所设,知矩形MNPQ的长MN(32 2x) 米,宽NP(20 x)米,则矩形MNPQ的面积为: (32 2x)(20
9、x) 而由题意可知矩形MNPQ的面积为 570 平方米进而列出方程(32 2x)(20 x) 570,思路清晰,简单明了6、银行问题王明同学将100 元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的 50 元捐给 “希望工程” ,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半,这样到期后可得本金利息共63 元,求第一次存款时的年利率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载解:设第一次存款时的年利率为x,根据题意,得100(1x) 50 (121x) 6
10、3整理,得50x2 125x130解得x1101,x2513x2513不合题意,x10110答:第一次存款时的年利率为10说明:要理解“本金” “利息”“利率”“本息和”等有关的概念,再找清问题之间的相等关系7、图表信息问题14某开发区为改善居民的住房条件,每年都新建一批住房,人均住房面积逐年增加(人均住房面积该区人口总数该区住房总面积,单位:平方米/ 人) 该开发区1997 年至 1999 年,每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12 4,请根据两图中所提供的信息解答下面的问题:(1)该区 1998 年和 1999 年两年中, 哪一年比上一年增加的住房面积多?多增加多少万平方米?
11、 答: _年比上一年增加的住房面积多,多增加_万平方米( 2)由于经济的发展,预计到20XX年底,该区人口总数将比1999 年年底增加2 万,为使到20XX年年底该区人均住房面积达到11 平方米 / 人, 试求 2000 年和 20XX年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几?14(1)1999 ,74(2)10 8、行程问题:1、A、B 两地相距82km,甲骑车由A 向 B 驶去, 9 分钟后,乙骑自行车由B 出发以每小时比甲快2km的速度向A 驶去,两人在相距B 点 40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
12、- - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载9、工程问题:1、某公司需在一个月(31 天)内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做,12 天可完成;如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用10 天完成(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数 (2)如果请甲工程队施工,公司每日需付费用2000 元;如果请乙队施工,公司每日需付费用 1400 元在规定时间内:A请甲队单独完成此项工程出B 请乙队单独完成此项工程;C请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少?10、数学问题:例 1:一个两位数,十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互换后
13、再乘以原数得736,求原来两位数剖析:设原来两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为(5 x) ,原来的两位数就是:10(5 x) x新的两位数个位上的数字为(5 x) ,十位上的数字为x,新的两位数就是:10x(5x) 可列出方程: 10(5x)x 10x(5 x) 736解:设原来两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为(5x) 根据题意,得10(5x)x 10x(5 x) 736整理,得x25x60,解得x1 2,x23当x2 时, 5x523;当x3 时, 5x532答:原来的两位数是32 或 23说明:解决这类问题,关键是写出表示这个数的代数式11、动态几何:例】如图4 所示,在 A
14、BC中, C90, AC 6cm ,BC 8cm ,点 P从点 A出发沿边AC向点 C以1cm/s 的速度移动,点Q从 C点出发沿CB边向点 B以 2cm/s 的速度移动 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载( 1)如果 P、Q同时出发,几秒钟后,可使PCQ的面积为8 平方厘米?( 2)点 P 、 Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得 PCQ的面积等于 ABC 的面积的一半. 若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由. 解 因为 C 90,所以AB 10( cm). ( 1)设 xs 后,可使
15、PCQ的面积为8cm2 ,所以 APxcm,PC (6x)cm,CQ 2xcm. 则根据题意,得21(6x) 2x 8. 整理,得x26x+80,解这个方程,得x12,x24. 所以 P、Q同时出发, 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为8cm2. ( 2)设点 P出发 x 秒后, PCQ的面积等于 ABC 面积的一半 . 则根据题意,得21 (6 x) 2x212168. 整理,得x26x+120. 由于此方程没有实数根,所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 如图,在 ABC 中, B=90o。点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s的速度移动,与此同时,点
16、Q 从点 B 开始沿边BC 向点 C 以 2cm/s的速度移动。如果P、Q 分别从 A,B 同时出发,经过几秒, PBQ 的面积等于8cm2 ?解:设经过x 秒,得:BP=6-x,BQ=2x SPBQ=BP BQ2 ( 6-x) 2x 2=8 解得: x1=2,x2=4 【变式 1】三角形 ABC中, B90,点 P从 A点开始沿AB边向点 B以1cm/s 的速度移动,点Q从 B点开始沿BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动。(1)如果 P、Q分别从 A、 B 同时出发,经过几秒后三角形PBQ的面积等于 8 平方厘米?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
17、 - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载(2)如果 P 、Q分别从 A、B同时出发,并且P到 B 点后又继续在BC边上前进, Q到 C点后又继续在 CA边上前进,经过几秒后使三角形PCQ 的面积等于12.6 平方厘米?如 图 : Rt ABC中 , B=90 ,AB=6cm, BC=8cm, 点 P 从 A 点 开 始 沿 AB 边 向 点 B 以 2cm/s的 速 度 移 动 , 点 Q 从 B 点 开 始 沿 BC 边 向 点 C 以 4cm/s的 速 度 移 动 , 则 P、 Q 分 别 从 A、 B同 时 出 发 , 经 过 多 少 秒 钟 , PBQ的 面 积 等 于 10cm2?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页