2022年线性代数教案-第六章

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1、学习必备欢迎下载第六章线性空间与线性变换1 线性空间的定义与性质一. 线性空间 . 在第四章中 , 我们介绍过向量空间的概念, 第四章中介绍的向量空间中的向量是n维有序数组 . 在这一节中 , 我们要引入抽象的向量空间的概念, 抽象的向量空间里的向量就有可能不再是n维有序数组 . 我们先来看抽象的向量空间的定义. 定义 .设V是一个非空集合为实数域对V中任意两个元素在V中总有唯一确定的一个元素与它们对应 , 称为与的和 , 记为 =+ . 对于任意实数k与V中任意一个元素, 在V中都有唯一确定的一个元素与它们对应, 称为k与的数量乘积, 记为k. 而且这两种运算满足下面规律: 对任意的,V ,

2、 ,k l. (1) ; (2) ()()(3) 存在0V, 使对任何的V, 都有0; (具有这个性质的元素0称为V的零元素 .) (4) 对任何V都有 V 中的元素, 使得0; ( 称为的负元素 .) (5) 1(6) k(l ) (kl)(7) (k l)kl(8) k() kk则称V是实数域上的线性空间(或向量空间 ), V中的元素称为向量. 加法和数乘这两种运算统称为线性运算. 很容易验证第四章定义的向量空间满足上面八条性质, 所以以前的向量空间的定义只是现在定义的特殊情况例 1. P x 所有的实数域上的一元多项式关于多项式的加法和数乘是线性空间. 1110 +|, 0nnnnniP

3、 xa xaxa xaain , 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间 ( nP x就是次数不超过n 的一元多项式的全体) 例 2.()|m nMAAmn是行 列 的矩阵 关于通常的矩阵的加法和数乘构成一个线性空间. 例 3. n 次多项式的全体Qxn1110 +|, 0,0nnnnina xaxa xaain a对于通常的多项式加法、数乘运算不构成线性空间这是因为 0 nQ x例 4.记|nV.对1naa, 1nbb, k, 定义11nnabab, 00k. 则V不是向量空间这是因为10对任何V. 不满足运算规律(5). 比较V和n作为集合它们是一样的但是因为定义的运算不一样使

4、得n构成线性空间而V不是线性空间所以线性空间的概念是集合与运算二者的结合例 5.在正实数的全体中定义加法及数乘运算为abab, * aa, (,a b, ). 验证对上述加法与乘数运算构成线性空间证: (i) ababbaba; (ii) ()abcabcab ca bcabc; (iii)中存在零元素1对任何a, 有11aaa; (iv) 对任何 a有负元素1a使111aaa a; (v) 11* aaa; (vi) *(*)*()*aaaaa; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载(vii) ()

5、* a aa aaa*a* a(viii) *( ab)*(ab) (ab)a bab* a*b因此对于所定义的运算构成线性空间性质 : 1零元素是唯一的证: 设 0102是线性空间V 中的两个零元素则 0101020201022任一元素的负元素是唯一的的负元素记作利用负元素 , 我们可以定义减法: 设,V, 则定义=(). 证: 设 、 都是的负元素则00 于是所以0()+()03 00 ( 1)k0 0证:010(1 0)1所以 00( 1)1( 1)1 ( 1)00所以 ( 1)k0 k(0 ) (k 0)004如果 k0 则 k 0 或0证 若0k, 则=1 = (1kk) =1k(k

6、 )=1k0=0. 2 节课完二. 子空间 . 我们以前学过一个集合的子集的概念, 类似的我们可以定义一个线性空间的子空间的概念. 定义 . 设 V 是一个线性空间W 是 V 的一个非空子集若 W 关于 V 的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间则称 W 为 V 的子空间关于线性空间的子空间, 我们有下面的一个简单性质. 定理 . 设 V 是线性空间WV , 则 W 是 V 的子空间W 对于 V 的加法和数乘封闭. 证: 只要证明W满足规律 (3), (4). 设W, 则00W, ( 1)W . 回忆一下我们在第四章中定义的向量空间, 当时我们定义向量空间为n的非空子集 , 而且这个子集对加法

7、和数乘两种运算封闭. 根据我们这里的这个定理, 我们知道在第四章中定义的向量空间实际上就是n的子空间 . 2 维数基与坐标一. 维数 , 基与坐标 . 在第四章中我们介绍了很多重要的概念比如线性相关, 线性无关 , 最大无关组, 向量组的秩这些概念也适用于一般的线性空间中, 而且关于这些概念的定理对于一般的抽象空间也成立 . 特别的在第四章中介绍的向量空间的基与维数的概念对于一般的抽象的线性空间也适用. 我们有下面的定义. 定义 . 设 V 是线性空间若1,nV满足1.1,n线性无关2. V, 可由1,n线性表示则1,n称为V的一个基n 称为线性空间V的维数记为 dim()Vn . V称为 n

8、 维线性空间. 若0V, (这个时候V没有基 ), 则规定dim0V根据最大无关组的等价定义, 我们知道线性空间的基就是V的一个最大无关组, V的维数就是V的秩 . 例:31212(1,1,0)(0,1,0),.TTVkkk kRR则dim()2.V关于线性空间的基, 我们有一个简单的性质. 性质 1. 若12n为 V 的一个基则112212|,nnnVxxxxxx. 根据这个性质 , 我们如果知道了一个线性空间的一组基, 那么这个线性空间的结构就清楚了. 线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载性空间

9、就是由它的这组基生成的线性空间. 性质 2. 11,. dim, 设是由向量组生成的向量空间则=向量组的秩mmLL1,.向量组的任意一个最大无关组都是的基mL在第四章中我们介绍过坐标的概念, 坐标这个概念对于一般的抽象的线性空间也适用. 我们有下面的定义 . 定义 . 设1,n是V的一个基 . 则V, 存在唯一的1nnxx, 使11nnxx, 1nxx称为在1,n这个基下的坐标. 为了写起来方便, 我们引入一种形式的写法. 形式记法 : 1111(,)nnnnxxxx. 我们把这个向量组对应的矩阵看成是一行n列的矩阵 , 把等式的右边看成是一个一行n 列的矩阵和一个n 行一列的矩阵的乘积. 我

10、们以前说过线性空间的基的作用相当于平面解系几何里坐标系的作用, 向量在取定基下对应一个坐标相当于是平面解系几何里的平面上的一个点在取定坐标系下的坐标. 例 1. 2 2()|MA A是2行2列的矩阵. 1112212210010000,00001001EEEE是2 2()M的一组基 . 所以2 2dim()=4.Mdim()=.m nMmn2 2()AM, 1111121221212222Aa Ea Ea Ea E, 所以A在11122122,EEEE下的坐标是11122122aaaa. 按照我们的形式的写法, 我们有11121111121221212222111221222122(,)aaA

11、a Ea Ea Ea EEEEEaa. 注意等式右边看成是一个1 行 4 列的矩阵和一个4 行 1 列的矩阵的乘积, 而不是 2 行 8 列的矩阵和4行 1 列的矩阵的乘积, 如果把它看成是一个2 行 8 列的矩阵和4 行 1 列的矩阵的乘积, 那就没法乘了 . 例 2.在线性空间4 P x中234123451,ppx pxpxpx是它的一组基, 设23401234( )f xaa xa xa xa x , 则0112233445( )f xa pa pa pa pa p . 所以( )f x 在这个基下的坐标为01234aaaaa. 11q, 2qxa, 23()qxa, 34()qxa,

12、45()qxa也是它的一组基. (因为4dim( )5Fx, 所以只要证明这组向量线性无关. 只要证12345(,)0q qq qqX只有零解 . 设11223344550k qk qk qk qk q. 则4112233445550k qk qk qk qk qk x. 所以50k. 所以34112233440k xkqk qk qk q. 所以40k. 所以231122330k xk qk qk q. 所以30k. 所以211122()0kxakk qk q. 所以210kk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13

13、页学习必备欢迎下载所以12345,q qq qq线性无关 .) 设1 122334455( )f xbqb qb qb qb q. 232345( )2()3()4()fxbb xabxabxa. 2345( )23 2()4 3()fxbbxabxa, 45( )3 24 3 2()fxbbxa, (4)5( )4 3 2fxb所以1234(4)5( )( )( )2!( )3!( )4!bf abfafabfabfab. 所以( )f x在这个基下的坐标是(4)( )( )( )2!( )3!( )4!f afafafafa. 二. 线性空间在同构意义下的分类. 取定线性空间的一组基后,

14、线性空间中每一个向量在这组基下都对应一个坐标, 这个对应是一一对应的 , 下面我们想说明这个对应保持向量的线性运算. 从而我们可以证明n维线性空间和n维有序数组所构成的向量空间n有相同的线性结构, 用严格的数学语言来说的话, 就是说这两个线性空间是同构的. 在引进线性空间的同构的定义之前, 我们需要介绍关于映射的几个基本概念. 我们现在研究线性空间在同构意义下的分类问题设:fAB是映射 , 则( )( ) |fAf aaA称为f的像集 . 设:fAB是映射 , 若对任意的aaA, 有( )( )f af a. 则称f是单射 . 设:fAB是映射 , 若()fAB, 则称f是满射 . 若映射:f

15、AB 即是单射又是满射, 则称f是 双射 (或一一对应 ). 介绍了关于映射的这几个概念以后, 我们就可以引进线性空间同构的定义. 定义 . 设1V, 2V是实数域上的两个线性空间, 若存在映射12:f VV满足(1) f是双射 . (2) f保持加法 . 即,V, ()( )()fff. (3) f保持数乘 . 即,FV, ()()ff. 则称f是1V到2V的一个同构映射, 并称1V和2V同构 . 下面我们来证明任何一个n维线性空间和n是同构的 . 我们有下面的定理. 定理 . 任意一个n维线性空间V和n同构 . 所以维数相等的线性空间是同构的. 证: 设1,n是V的一个基 , 我们有一个从

16、V到n的一一对应 . 定义映射:nfV111nnnxxxx. 就是把每个向量对应它在取定基下的坐标. 则 f 是双射 . 设11nnxx,11nnyy, 则1111111()()()()()nnnnnnnxyxyffxyxyffxyxy, 1111()()()nnnnkxxf kf kxkxkkfkxx. 所以 f 是同构映射 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载两个线性空间如果同构, 我们可以把它们等同. 根据这个定理我们可以把n维线性空间和n等同 , 也就是把向量和它在取定基下的坐标等同. 正

17、因为 n维线性空间都和n是同构的 , 所以我们前面讨论的在n里成立的只涉及到加法和数乘两种运算的定理对于抽象的线性空间都成立 . 在同构这个定义里, 如果我们把第一个条件去掉, 也就是说如果我们只要求映射f保持加法和保持数乘 , 则称f是线性变换 . 在第 4 节中我们会专门的讨论线性变换的一些性质. 3 基变换与坐标变换一个线性空间有很多组基, 下面我们来研究线性空间的两个不同基之间的关系. 我们有下面的基变换公式 . 基变换公式: 设1,n和1,n是线性空间V的两组基 . 则向量组1,n可由向量组1,n线性表示 , 所以存在ijp使得11112121212122221122nnnnnnnn

18、nnppppppppp, (1) 记111212122212nnnnnnppppppPppp. 注意 : 矩阵P的第一列是1在1,n这组基下的坐标, 矩阵P的第二列是2在1,n这组基下的坐标, 矩阵P的第n列是n在1,n这组基下的坐标. 为了写起来方便, 我们引入下面的形式的写法. 我们 把(1)式形式的记为11(,)(,)nnP. 我们把等式右边看是一个一行n列的矩阵和一个n行n列的矩阵的乘积. 所以1等于这个向量组对应的矩阵和矩阵P的第一列的乘积 , 2等于这个向量组对应的矩阵和矩阵P的第二列的乘积, n等于这个向量组对应的矩阵和矩阵P的第n列的乘积 . 式子 (1)称为 基变换公式 .

19、矩阵P称为从基1,n到基1,n的 过渡矩阵 . 注意 : 矩阵P一定是可逆矩阵. ( 只 要 证0PX只 有 零 解 , 设00PX, 则1010(,)(,)0nnXPX, 因 为1,n线性无关 , 所以00X. 所以0PX只有零解 , 所以P可逆 .) (我们还有一个更快的方法来说明矩阵P是可逆矩阵 . 我们前面说过取定线性空间的一组基以后 , 我们可以把线性空间的任何一个向量和它在这组基下的坐标等同. 矩阵P的第一列是1在这组基下的坐标, 矩阵P的第二列是2在这组基下的坐标, 矩阵P的第 n 列是n在这组基下的坐标. 所以我们可以把1和矩阵P的第一列等同, 把2和矩阵P的第二列等同 , 把

20、n和矩阵P的第n列等同 . 所以我们可以把这个向量组和矩阵P的列向量组等同 , 所以这个向量组的秩和矩阵P的列向量组的秩是相等的, 但是12,n这个向量组线性无关, 所以矩阵P的秩等于n, 所以P是可逆矩阵 .) 同一个向量在不同基下的坐标是不一样的, 下面我们来研究同一个向量在不同基下的坐标之间的关系 , 我们以前说过线性空间的基的作用相当于平面解系几何里坐标系的作用, 所以研究同一个向量在不同基下的坐标相当于我们在平面解系几何里面要研究平面上的同一个点在不同坐标系下的坐标之间的关系. 我们有下面的坐标变换公式. 定理 . 设向量组1,n和向量组1,n是线性空间V的两组基 , 精选学习资料

21、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载11,nnxx, 11,nnyy, 11(,)(,)nnP. 则有 坐标变换公式11nnxyPxy, 或111nnyxPyx. 证: 1111(,)(,)nnnnxyxy. 11(,)(,)nnP所以111111(,)(,) )(,)nnnnnnxyyPPxyy. 所以111(,)0nnnxyPxy. 因为1,n线性无关 , 所以110nnxyPxy, 所以11nnxyPxy. 例. 在3 P x中取两个基32132232332421211xxxxxxxxxxx和32122323

22、32421222232xxxxxxxxxx. 求3 P x中任一多项式在这两个基下的坐标变换公式. 解: 只要求出这两组基的过渡矩阵就可以了. 直接求这两组基的过渡矩阵不好求, 我们需要找第三组基过渡一下. 32, ,1xxx也是3 P x 的一个基 . 这组自然基和已知的基和基间的过渡矩阵都很容易可以求出来, 从而我们可以求出基和基间的过渡矩阵. 则321234(,)(, ,1)xxxA, 321234(,)(, ,1)xxxB . 其中1111212111100111A, 2021111312110222B. 所以3211234(, ,1)(,)xxxA, 所以112341234(,)(,

23、) A B . 设3 fP x, 12123434,xxfxx, 12123434,yyfyy. 则112213344yxyxBAyxyx. BXA, (,)B A行变换1(,)E BA . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载20211111111321211211111002220111行变换10000111010011000010000100011111. 所以10111110000011111B A. 所以112233440111110000011111yxyxyxyx. 2 节课完4 线性变

24、换为了研究两个集合之间的关系.我们可以定义集合之间的映射. 所以为了研究两个线性空间之间的关系 , 我们需要在这两个线性空间之间建立映射, 但是因为线性空间不但是一个集合, 而且线性空间里有加法和数乘两种运算, 所以在两个线性空间之间光是建立映射还不够, 我们需要建立的映射保持加法和数乘两种运算, 这样我们就能够研究两个线性空间的线性结构之间的关系 . 两个线性空间之间的保持加法和数乘两种运算的映射就称为线性变换. 下面我们来看一下线性变换的严格的数学定义. 定义 . 设,VU是两个线性空间, :T VU是映射 , 满足(1)T保持加法 , 即()()()TTT, ,V . (2)T保持数乘

25、, 即()()T kkT, V. 则称T是从V到U的线性映射 , 或称为线性变换. 若VU, 则称T是线性空间V上的线性变换 . 我们如果要求线性变换T是双射 ,那么T就是我们前面介绍的同构映射. 定义 : 11, . 设 为 阶矩阵则关系式称为线性变换nnxyPnXYXPYxy例 1. 给定一个矩阵m nA, 我们定义映射:nmT11m nnnxxAxx, 则T是一个线性映射. 这 是 因 为 对 任 何,nX Y, k, ()()()( )T XYA XYAXAYT XT Y. ()()()()T kXA kXk AXkT X . 下面我们只讨论线性空间V上的线性变换. 例 2. 设V是线

26、性空间 , (1) 恒等变换 : :VVE, . (2) 零变换 : :VV0, 0. (3) 数乘变换 : 取定实数k, k :VVk. 显然上面的这三个映射都是线性变换. 例 3. 微分运算: nnDP xP x10112( )( )2nnnnf xaa xa xfxaa xna x. 则D是线性变换 . 证: 根据导数的性质我们知道对, nf gP x, k, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载()()( )( )D fgfgfgD fD g, ()()( )D kfkfkfkD f. 例4.

27、平 面 上 的 旋 转 变 换T.取 定.设OP的 坐 标 是xy,OP逆 时 针 旋 转角 得 到xOQy, 定义22:T. xxyy记OPOQr, 则cos()xr, sin()yr. cos()cos cossinsincossinsin()sincoscos sinsincosxrrrxyyrrrxy. cossinsincosxxyy. 所以T是一个线性变换. 下面我们讨论一下线性变换的几个简单性质. 性质 . (1)(0)0T, ()()TT. (2)11221122()()()()mmmmT kkkkTk Tk T. (3)若1,m线性相关 , 则1(),()mTT线性相关 .

28、也就是说线性变换保持向量组的线性相关性 , 注意它的逆命题不成立, 例如零变换:VV0. (4)设T是V上的线性变换, 则像集()() |T VTV和 ker()|()0TVT都是V的子空间 , ()T V称为T的像空间 . ker()T 称为T的核 . (ker是 Kernel 的缩写 .) 证: 只要证这两个集合对加法和数乘两种运算封闭. 设11()T, 22()()TT V , k, 则121212()()()()TTTT V111()()( )kkTT kT V. 所以( )T V是V的子空间 . 设,ker( )T , 则()0T, ()0T. 所以()()()0TTT, ()()0

29、0T kkTk.所以 ker( )T 是V的子空间 . (5)设1,n是线性空间V的一组基 , T是V上的线性变换, 则11( )()T VkT22()() |,1nnik Tk Tkin, 所以dim()T V向量组12(),(), ()nTTT的秩. 证: 因为112212|,nnnVxxxx xx, 利用性质2, 知( )T V是由12(),(), ()nTTT生成 . 例. 设A是 n 阶方阵 , 对A列分块1,nA. 定义:nnT. X11nnAXxx则T是n上的线性变换, 11()|,1nniT Vxxxin . (所以线性变换T的像空间就是由矩阵A的列向量组生成的向量空间.) 1

30、1ker( )0nnnxxTAxx, 所以线性变OPQx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载换T的核是齐次线性方程组0AX的解空间 . 5 线性变换的矩阵表示式在这一节当中我们讨论n 维线性空间上的线性变换和n阶方阵之间的关系. 我们先讨论n上的线性变换 . 设A是一个n阶矩阵 , 则:nnTA是n上的线性变换 . 反之设T是n上的线性变换. 令0( )10eii, (1)in. 则对任意11 1nnnaa ea ea. 有1 111()()()()nnnnTT a ea eaT ea T e. 令

31、1( (), ()nAT eT e. 则( )TA. 所以n上的线性变换和n阶矩阵是一一对应的. 因为 n 维线性空间和n是同构的 , 同构的线性空间可以把它们等同. 所以粗略的说任意n维线性空间上的线性变换也是和n阶矩阵是一一对应的. 下面让我们来看一看任意n 维线性空间上的线性变换和n阶矩阵是怎么一一对应的. 首先任意给定一个线性变换, 它对应一个矩阵. 定义 . 设T是线性空间V中的线性变换, 在V中取定一个基1,n. 设11112121212122221122()()()nnnnnnnnnnTaaaTaaaTaaa, 令111212122212,nnnnnnaaaaaaAaaa记11(

32、,)(), ()nnTTT. 则111(,)(), ()(,)nnnTTTA.称矩阵A为线性变换T在基1,n下的矩阵 . 注意 : 矩阵A的第一列是1()T在1,n这组基下的坐标, 矩阵A的第二列是2()T在1,n这组基下的坐标, 矩阵A的第n列是()nT在1,n这组基下的坐标. 所以在取定线性空间的一组基后n维线性空间上的线性变换对应一个n阶矩阵 . 反过来 , 任意给定一个n阶矩阵 , 都有一个线性变换和它对应. 设A是一个n阶矩阵 , 1,n是V的一组基 . 令11(,)iinniaa, (1)in. 定义:T VV1111( )nnnnxxTxx. 则易证T是V上的线性变换. 而且11

33、1(), ()(,)(,)nnnTTA. 所以我们定义的线性变换T在这组基下的矩阵就是矩阵A. 根据我们上面的讨论, 我们知道 一般的 n 维线性空间上的线性变换也是和n阶矩阵是一一对应的 . 如果一个线性变换的矩阵知道了, 我们就可以利用这个矩阵来直接计算向量在线性变换下的像的坐标 . 我们有下面的计算公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载定理 . 设1,n是V的基 , 1,nTA, 11,nnxx, 则11,()nnxTAx. 根据这个定理, 如果我们把向量和它的坐标等同, 也就是把线性空间

34、V和n等同 , 那么这个线性变换T把列向量X对应到矩阵A乘以X: :nnT, XAX. 这就是我们前面讨论过的用矩阵A来定义的n上的线性变换. 证: 111111()()()(), ()nnnnnnxTT xxxTx TTTx1111(,)(,)nnnnxxAAxx. 例 1. 在3 P x中, 取基321234,1pxpxpx p.求微分变换 (运算 )D的矩阵 . 解: 21123421234312344123430300200201000100000DpxppppDpxppppDpppppDppppp. 所以 , D在这组基下的矩阵为00003000.02000010A同一个线性变换在不

35、同的基下的矩阵一般来说是不一样的. 下面我们来研究同一个线性变换在不同的基下的矩阵之间的关系. 我们有下面的定理. 定理 . 设1,n和1,n是V的两个基 . 11(,)(,)nnP. T是V上的线性变换 , 1,nTA, 1,nTB. 则1BPAP. 根据这个定理 , 我们知道同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 证: 11(,)(,)nnTA, 11(,)(,)nnTB, 11(,)(,)nnP. 所以11111(,)(,)(,) )(,)(,)nnnnnBTTPTPA P=111(,)()(,)nnAPPAP. 因为1,n线性无关 , 所以1BPAP. 例. 设V的线性变换T在基12

36、,下的矩阵为11122122,aaAaa求T在基21,下的矩阵 . 解: 211201(,)(,)10, 记0110P, 则10110P. 所以T在基21,下的矩阵为1112222112122121101011010aaaaBPAPaaaa. 2 节课完最后我们来研究线性变换的像空间的维数和线性变换核的维数. 我们有下面的定理. 定理 . 设1,n是V的基 , T是V上的线性变换, 1,nTA. 则dim( )( )T VR A(称dim()T V为T的秩 ), dim(ker)( )TnR A. 我们前面说过了在取定n维线性空间的一组基以后, 线性空间上的线性变换和n阶矩阵是一一对应的 ,

37、根据这个定理. 我们知道研究n维线性空间上的线性变换可以归结为研究n阶矩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载阵. 证: 我们前面已经证过dim( )T V向量组1(), ()nTT的秩 . 我们有同构映射:nf V. 111nnnxxxx通过这个同构映射, 我们可以把向量和它的坐标等同. 令1(,)nA. 则()iT的坐标是i, (1)in. 所以dim( )T V向量组1(), ()nTT的秩向量组1,n的秩( )R A. 而11(ker( )0nnxxfTAxx. 所以dim(ker)dim(k

38、er()()TfTnR A. 例 1.(2005.1)(10 分)(3 学分 )在次数不超过n的实系数多项式所形成的线性空间 nVP x中定义线性变换T为( ( )(1)( )Tf xf xf x. 求线性变换T在V的一个基11, 2x, 31(1)2x x, , 11(1)(1)!nx xxnn下的矩阵B. 解: 1()110T. 21()(1)1Txx, 3211()(1)(1)22Txxx xx. 111()(1)(2)(1)(1)!nTxxxnx xxnnn11(1)(2)(1(1)(1)(2)!(1)!nx xxnxxnx xxnnn. 所以12311231010000100000(

39、,)(,)00010000nnT. 例 2. (2007.9)(15 分)(3 学分 )设V为全部二阶实方阵所构成的线性空间. 对任意AV, 定义 : 1()()2TP AAA. 其中TA表示转置矩阵. (1) 证明 : P为线性变换 . (2) 求P在基11122110010000,00001011EEEB下的矩阵 . (3) 求P的核及像空间 . 证: (1) 对任意的1,A2AV和任意的k, 121212112212111()() )()()()()222TTTP AAAAAAAAAAP AP A. 11111111()() )()()22TTP kAkAkAkAAkP A. 所以P是线

40、性变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载(2)11()0P E, 12122101001111()00102222P EEE. 21122100011111()10002222P EEE. 122100010111111()11011022222P BEE. 所以11122111122111122100001110222(,)( (),(),(),( )(,)11102220000P EEEBP EP EP EP BEEEB. 注意 : 上面的等式的右边的矩阵乘积我们把111221(,)EEEB看

41、成是 1行4列的矩阵 , 这个 1行4列的矩阵中的元素是看成向量空间中的向量. 它和后面的4行4列的矩阵的乘积是按照一 个 1 行4列 的 矩 阵 和 一 个4行4列 的 矩 阵 的 乘 法 运 算 规 则 来 运 算 的 . 你 不 能 把111221(,)EEEB看成2行8列的矩阵 , 如果你把它看成是2行8列的矩阵的话, 它就没法和后面的4行4列的矩阵相乘了. (3)12Ker()|( )()0|TTPAV P AAAAVAA. 111212321422()()|()()()() |,1iP VP AAVk P Ek P Ek P Ek P Ekin. 11111121221312214

42、1221234222222()()() |,kEEkEEkEEkk k. 1234122123412212 ()() |, ()|kkkEEkk kk EEk. 例3. (2007.12)(20分 ) 设101120143A, 定义映射33:T如下 : 对任意3, ()TA. (1) 证明T为3上的线性变换 ; (2) 求线性变换T的核1(0)T. (3) 求线性变换T的像空间3()T的维数及一组基; (4) 求线性变换T在基1111, 2011, 3001下的矩阵 . 解: (1) 对任意的3, k. ()()( )()TAAATT, ()()()( )T kA kk AkT. 所以T为3上

43、的线性变换 . (2) 133(0)|( )0|0TTA. 下面求解方程组0AX. 1210101000A行初等变换. 求得基础解系为1121. 所以13(0)|Tkk. (3) 对矩阵A列分块 , 123(,)A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载则333112233123()() |,TT XXAXXxxxx xx. 1210101000A行初等变换, 所以12,是123,的最大无关组. 所以12,是3()T的基 , 3()T的维数是2. (4) 11230()3336TA, 221231()257TA, 331231()033TA. 所以T在基123,下的矩阵是011311353. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页