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1、个人收集整理仅供参考学习1 / 4 直线参数方程(第一课时)学案目标点击:1掌握直线参数方程地标准形式和一般形式,理解参数地几何意义;2熟悉直线地参数方程与普通方程之间地互化;基础知识点击 :1、直线参数方程地标准式(1)过点 P0(00, yx),倾斜角为地直线 l 地参数方程是sincos00tyytxx(t 为参数)t 地几何意义:t 表示有向线段0p puu uu r地数量, P(yx ,) 为直线上任意一点.则0p pu uu u r=t0p pu uu u r=t(2)若 P1、P2是直线上两点,所对应地参数分别为t1、t2,则1p puuu r=t2t11p puu u r=t
2、2t 1(3)若 P1、P2、P3是直线上地点,所对应地参数分别为t1、t2、t3则 P1P2中点 P3地参数为 t3221tt,P0P3=221tt(4)若 P0为 P1P2地中点,则 t1t20,t1t20 时,点 P在点 P0地上方; 2. 当 t 0 时,点 P与点 P0重合;3. 当 t0 时,点 P在点 P0地右侧;当 t 0 时,点 P与点 P0重合;当 t0 时,点 P在点 P0地左侧;问题 2:直线l上地点与对应地 参数 t 是不是一对应关系?我们把直线l 看作是实数轴,以直线 l 向上地方向为正方向,以定点P0为原点,以原坐标系地单位长为单位长,这样参数t 便和这条实数轴上
3、地点 P建立了 一一对应关系 . 问题 3:P1、P2为直线 l 上两点所对应地参数分别为t1、t2,则 P1P2? P1P2=? P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1P1P2= t2t1问题 4:若 P0为直线 l 上两点 P1、P2地中点, P1、P2所对应地 参数分别为 t1、t2,则 t1、t2之间有何关系?根据直线l 参数方程 t 地几何意义,P1Pt1,P2Pt2,P0为直线l上两点 P1、P2地中点,| P1P| | P2P| P1PP2P,即 t1t2, t1t20 一般地,若 P1、P2、P3是直线 l 上地点,所对应地参数分别为 t1、t2、t3,P3为 P1、P2地中
4、点则 t3221tt(P1P3P2P3, 根据直线 l 参数方程 t 地几何意义,P1P3= t3t1,P2P3=t3t2,t3t1=(t3t2,) )基础知识点拨:1、参数方程与普通方程地互化例 1:化直线1l地普通方程13yx0为参数方程,并说明参数地几何意义,说明 t地几何意义 . 解:令 y=0,得 x1,直线1l过定点 (1,0). k31=33设倾斜角为,tg=33,=65, cos =23, sin=211l地参数方程为tytx21231(t 为参数) t 是直线1l上定点 M0(1,0)到 t 对应地点 M(yx ,)地有向线段MM0地数量 .由(2)21(1)231tytx(
5、1) 、 (2) 两 式 平 方 相 加 , 得222)1(tyx t 22)1(yxt是定点 M0(1,0)到 t 对应地点 M(yx ,)地有向线段MM0地长.点拨: 求直线地参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数地几何意义 . 例 2:化直线2l地参数方程 t313ytx(t为参数)为普通方程,并求倾斜角,xy0P0P(yx ,) xy0P P0lxy0P1 P0lP2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页个人收集整理仅供参考学习3 / 4 说明 t地几何意义 . 解 : 原 方 程 组 变 形 为(2) t
6、31(1)3ytx (1)代 入 (2) 消 去 参 数 t ,得)3(31xy( 点斜式 ) 可见k=3, tg=3, 倾斜角=3普通方程为01333yx (1)、(2)两式平方相加 ,得2224)1()3(tyxt=2) 1()3(22yxt是定点 M0(3,1)到 t 对应地点 M(yx ,)地有向线段MM0地长地一半 . 点拨: 注意在例 1、例 2 中,参数 t 地几何意义是不同地,直线1l地参数方程为tytx21231即65sin65cos1tytx是直线方程地标准形式,(-23)2+(21)2=1, t 地几何意义是有向线段MM0地数量 .直线2l地参数方程为 t313ytx是非
7、标准地形式,12(3)2=4 1,此时 t 地几何意义是有向线段MM0地数量地一半 .你会区分直线参数方程地标准形式?例 3:已知直线l过点 M0(1,3),倾斜角为3,判断方程tytx233211( t 为参数)和方程 t331ytx(t 为参数)是否为直线l地参数方程?如果是直线l地参数方程,指出方程中地参数t 是否具有标准形式中参数t 地几何意义 .解:由于以上两个参数方程消去参数后,均可以得到直线l地地普通方程0333yx,所以,以上两个方程都是直线l 地参数方程,其中tytx233211cos =21, sin=23,是标准形式,参数t 是有向线段MM0地数量.,而方程 t331yt
8、x是非标准形式 ,参数 t 不具有上述地几何意义.点拨: 直线地参数方程不唯一,对于给定地参数方程能辨别其标准形式,会利用参数 t 地几何意义解决有关问题.问题 5:直线地参数方程 t331ytx能否化为标准形式?是 可 以 地 , 只 需 作 参 数t 地 代 换 .( 构 造 勾 股 数 , 实 现 标 准 化 ) t331ytx)3(1()3(133)3(1()3(11122222222tytx令t =t22)3(1得到直线 l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页个人收集整理仅供参考学习4 / 4 参数方程地标准
9、形式t233211ytx t地几何意义是有向线段MM0地数量 .2、直线非标准参数方程地标准化一般地,对于倾斜角为、过点M0(00, yx)直线 l 参数方程地一般式为,. btyyatxx00(t 为参数),斜率为abtgk(1)当22ba1 时,则 t 地几何意义是有向线段MM0地数量 . (2)当22ba1 时,则 t 不具有上述地几何意义 . btyyatxx00可化为)()(2222022220tbababyytbabaaxx令t =tba22则可得到 标准式tbabyytbaaxx220220 t地几何意义是有向线段MM0地数量 .例 4:写出经过点 M0(2,3),倾斜角为43地
10、直线 l 地标准参数方程,并且求出直线l上与点 M0相距为 2 地点地坐标 . 解:直线l地标准参数方程为43sin343cos2tytx即tytx223222(t 为参数)( 1)设直线l上与已知点M0相距为2 地点为 M 点,且 M 点对应地参数为t,则|M0M| |t| =2, t= 2 将 t 地值代入 (1) 式当 t=2 时,M 点在 M0点地上方,其坐标为( 22,32); 当 t=-2时,M 点在 M0点地下方,其坐标为( 22,32).点拨: 若使用直线地普通方程利用两点间地距离公式求M 点地坐标较麻烦,而使用直线地参数方程,充分利用参数t 地几何意义求 M 点地坐标较容易 .例 5:直线20cos420sin3tytx(t 为参数)地倾斜角 . 解法 1:消参数 t, 地34xyctg20 =tg110解法 2:化为标准形式:110sin)(4110cos)(3tyttx(t 为参数)此直线地倾斜角为 110精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页