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1、学习必备欢迎下载解析几何中的最值问题一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景,以函数和不等式等知识作为工具, 具有较强的综合性, 这类问题的解决没有固定的模式,其解法一般灵活多样,且对于解题者有着相当高的能力要求,正基于此, 这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容:有关距离的最值,角的最值,面积的最值。二、教学重点方法的灵活应用。三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种: (1) 函数法 (设法将一个较复杂的最值问题,通过引入适当的变量能归为某初等函数(常见)的有二次函数和三角函数)的最值问题,然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。(2) 不
2、等式法 :(常用的不等式法主要有基本不等式等)(3) 曲线定义法 :利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点(或定直线)距离之间的不变关系,一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法(4)平面几何法 :有些最值问题具有相应的几何意义(如分式最值联想到斜率公式,求平方和最值联想到距离公式等等)(1)函数法例 1、已知P点在圆2241xy上移动,Q点在椭圆2219xy上移动 , 试求PQ 的最大值。分析:两个都是动点,看不出究竟,P、Q在什么位置时 |PQ|最大故先让 Q点在椭圆上固定,显然当 PQ通过圆心 O1时|PQ|最大, 因此要求 |PQ|的最大值,只要求 |OQ|的最大值。说明:函数法
3、其我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。例 2 在平面直角坐标系xOy中,点,P x y 是椭圆2213xy上的一个动点,求Sxy的最大值(2)不等式法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载例 2、 设21, FF是椭圆1422yx的两个焦点,P是这个椭圆上任一点,则21PFPF的最大值是解:124PFPF由12122PFPFPFPF得44)(22121PFPFPFPF即21PFPF的最大值是 4 。说明:在用基本不等式时
4、要注意条件“一正二定三相等”须同时具备,缺一不可(3) 曲线定义法 :例 3、 给定点( 2,2)A,已知 B 是椭圆2212516xy上的动点, F 是右焦点,当53ABBF取得最小值时,试求B点的坐标。分析:因为椭圆的离心率35e,所以513ABBFABBFe,而1BFe为动点 B 到左准线的距离。 故本题转法为, 在椭圆上求一点 B ,使得它到 A点和左准线的距离之和最小,过点B 作 l 的垂线,垂点为 N ,过 A作此准线的垂线,垂点为 M ,由椭圆定义|35|BFeBFBNeBNBF于是5| |3ABBFABBNANAM为定值其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时
5、 B 为5 3(,2)2所以,当53ABBF取得最小值时, B 点坐标为5 3(,2)2说明:圆锥曲线的定义在处理许多解析几何问题(包括最值问题) 时常常显得极其简便。(4)平面几何法例 4、已知,x y满足22221(2),xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载(1) 求33yx的最大值和最小值 ; (2) 若2bxy,求 b的最大值和最小值。例 4. 椭圆离心率为,过点 M (1,2),并以 y 轴为准线,则长轴的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析: 设椭圆方程为由已知得,a2
6、=4c2b2=3c2 m=4c,椭圆为化为 12c2-8c+1=. 故选 A. 2综合问题例 5、已知椭圆222210xyabab过点3,2 ,离心率为33,圆 O的圆心为坐标原点,直径为椭圆的短轴, 圆 M 的方程为22864xy, 过圆 M上任一点 P 作圆的切线,PA PB,切点分别为,A B(1) 求椭圆的方程;(2) 若直线 PA与圆 M 的另一交点为Q点,当弦PQ最大时,求 PA的方程(3) 求OA OB的最大值与最小值。例 5. 设动点 P到定点 F(1,0)及定直线 L:x=3 距离之和为 4,求 P点轨迹方程,并画出草图 . 若过 F 点的直线被上述轨迹截得弦 AB ,求|A
7、B| 的最大值 . 解:设动点 P(x,y ),P 到定直线 L 的距离 d=|x-3| 依题 意 |PF|+d=4. 即若x 3 ,;. P点轨迹为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载设直线 AB的倾角 . . 3 归纳小结(1). 解决解几中最值问题的基本思路: (2)求最值常见的方法和技巧:4课后思考题:(20XX年春季高考北京、安徽试题)已知抛物线,过动点 M (a,0 )且斜率为1 的直线 L 与该抛物线交于不同两点A、B,(1)求 a 的取值范围。( 2)若线段 AB的垂直平分线交 x 轴与点 N,求 面积的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页