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1、第七章第七章 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 前前几几章章讨讨论论了了电电阻阻电电路路，即即由由独独立立电电源源和和电电阻阻、受受控控源源、理理想想变变压压器器等等电电阻阻元元件件构构成成的的电电路路。描描述述这这类类电电路路电电压压电电流流约约束束关关系系的的电电路路方方程程是是代代数数方方程程。但但在在实实际际电电路路的的分分析析中中，往往往往还还需需要要采采用用电电容容元元件件和和电电感感元元件件去去建建立立电电路路模模型型。这这些些元元件件的的电电压压电电流流关关系系涉涉及及到到电电压压电电流流对对时时间间的的微微分分或或积积分分，称称为为动动态态元元件件。含含动动态态元元件件的
2、的电电路路称称为为动动态态电电路路，描描述述动动态态电电路路的的方方程程是是微微分分方方程程。本本章章先先介介绍绍两两种种储储能能元元件件电电容容元元件件和和电电感感元元件件。再再介介绍绍简简单单动动态态电电路路微微分分方方程程的的建建立立。以以后后两两章章讨讨论论一一阶阶电电路路和和二二阶阶电电路路的的时时域域分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。电容电感电压电流关系课件常用的几种电容器电容电感电压电流关系课件71电容元件电容元件 一、一、电容元件电容元件 集集总总参参数数电电路路中中与与电电场场有有关关的的物物理理过过程程集集中中在
3、在电电容容元元件件中中进进行行，电电容容元元件件是是构构成成各各种种电电容容器器的的电电路路模模型型所所必必需需的一种理想电路元件。的一种理想电路元件。 电电容容元元件件的的定定义义是是：如如果果一一个个二二端端元元件件在在任任一一时时刻刻，其其电电荷荷与与电电压压之之间间的的关关系系由由u-q平平面面上上一一条条曲曲线线所所确确定定，则则称此二端元件为电容元件。称此二端元件为电容元件。图图7-1电容电感电压电流关系课件(a)电容元件的符号电容元件的符号(c)线性时不变电容元件的符号线性时不变电容元件的符号(b)电容元件的特性曲线电容元件的特性曲线(d)线性时不变电容元件的特性曲线线性时不变电
4、容元件的特性曲线电容元件的符号和特性曲线如图电容元件的符号和特性曲线如图7-1(a)和和(b)所示。所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。线性电容元件，否则称为非线性电容元件。图图7-1电容电感电压电流关系课件线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和和(d)所所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为其数学表达式为式中的系数式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电为常量，与直
5、线的斜率成正比，称为电容，单位是法容，单位是法拉拉,用用F表示。表示。图图7-1电容电感电压电流关系课件实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模
6、型，如图成电容器的电路模型，如图7-2所示。所示。图图7-2电容器的几种电路模型电容器的几种电路模型电容电感电压电流关系课件二、电容元件的电压电流关系二、电容元件的电压电流关系对对于于线线性性时时不不变变电电容容元元件件来来说说，在在采采用用电电压压电电流流关关联联参考方向的情况下，可以得到以下关系式参考方向的情况下，可以得到以下关系式此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束同，电容电流与此时刻
7、电压的数值之间并没有确定的约束关系。关系。在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。电容电感电压电流关系课件在已知电容电压在已知电容电压u(t)的条件下，用式的条件下，用式(6-2)容易求出其电流容易求出其电流i(t)。例如已知。例如已知C=1 F电容上的电压为电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波，其波形如图形如图7-3(a)所示，与电压参考方向关联的电容电流为所示，与电压参考方向关联的电容电流为图图7-3电容电感电压电流关系课件在幻灯片放
8、映时，请用鼠标单击图片放映录像。电容电感电压电流关系课件例例7-1已知已知C=0.5 F电容上的电压波形如图电容上的电压波形如图7-4(a)所示，所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画并画出波形图。出波形图。图图74例例71电容电感电压电流关系课件2.当当1s t 3s时，时，uC(t)=4-2t，根据式，根据式72可以得到可以得到1.当当0 t 1s时，时，uC(t)=2t，根据式，根据式72可以得到可以得到解：根据图解：根据图74(a)波形，按照时间分段来进行计算波形，按照时间分段来进行计算图图74例例71电容电感电压电流关系课件3.
9、当当3s t 5s时，时，uC(t)=-8+2t，根据式，根据式72可以得到可以得到4.当当5s t时，时，uC(t)=12-2t，根据式，根据式72可以得到可以得到图图74例例71根据以上计算结果，画出图根据以上计算结果，画出图74(b)所示的矩形波形。所示的矩形波形。电容电感电压电流关系课件在已知电容电流在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压的条件下，其电压uC(t)为为其中其中称为电容电压的初始值称为电容电压的初始值, ,它是从它是从t t=-=-到到t t=0=0时间范围内流过时间范围内流过电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。 电容电感电压
10、电流关系课件式式(73)表表示示t0某某时时刻刻电电容容电电压压uc(t)等等于于电电容容电电压压的的初初始始值值uc(0)加加上上t=0到到t时时刻刻范范围围内内电电容容电电流流在在电电容容上上积积累累电电荷荷所所产产生生电电压压之之和和，就就端端口口特特性性而而言言，等等效效为为一一个个直直流流电电压源压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联和一个初始电压为零的电容的串联如图如图75所示。所示。图图75电容电感电压电流关系课件从上式可以看出电容具有两个基本的性质从上式可以看出电容具有两个基本的性质(1)电容电压的记忆性。电容电压的记忆性。从从式式（73）可可见见，任任意意时时刻刻T电电
11、容容电电压压的的数数值值uC(T)，要要由由从从- 到到时时刻刻T之之间间的的全全部部电电流流iC(t)来来确确定定。也也就就是是说说，此此时时刻刻以以前前流流过过电电容容的的任任何何电电流流对对时时刻刻T 的的电电压压都都有有一一定定的的贡贡献献。这这与与电电阻阻元元件件的的电电压压或或电电流流仅仅仅仅取取决决于于此此时时刻刻的的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。电容电感电压电流关系课件例例72电路如图电路如图76(a)所示，已知电容电流波形如图所示，已知电容电流波形如图76(b)所示，试求电容电压所示，试求电容电压uC(t)，并画波
12、形图。，并画波形图。图图7-6电容电感电压电流关系课件解：根据图解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算波形的情况，按照时间分段来进行计算1当当t 0时，时，iC(t)=0，根据式，根据式7-3可以得到可以得到2当当0 t1s时，时，iC(t)=1 A，根据式，根据式7-3可以得到可以得到图图7-6电容电感电压电流关系课件3当当1s t3s时，时，iC(t)=0，根据式，根据式73可以得到可以得到4当当3s t5s时，时，iC(t)=1 A，根据式，根据式73可以得到可以得到5当当5s t时，时，iC(t)=0，根据式，根据式73可以得到可以得到电容电感电压电流关系课件根据以上计算结
13、果，可根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。前的全部电容电流均有关系。例如，当例如，当1st3s时，电时，电容电流容电流iC(t)=0，但是电容电压，但是电容电压并不等于零，电容上的并不等于零，电容上的2V电电压是压是0t1s时间内电流作用的时间内电流作用的结果。结果。图图7-6电容电感电压电流关系课件图图77(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形忆性，使输出电压波形如图如图(b
14、)中实线所示中实线所示保持输入电压保持输入电压uin(t)波形波形如图如图(b)中虚线所示中虚线所示中的峰值。中的峰值。图图77峰值检波器电路的输入输出波形峰值检波器电路的输入输出波形电容电感电压电流关系课件(2)电容电压的连续性电容电压的连续性从从例例72的的计计算算结结果果可可以以看看出出，电电容容电电流流的的波波形形是是不不连连续续的的矩矩形形波波，而而电电容容电电压压的的波波形形是是连连续续的的。从从这这个个平平滑滑的的电电容容电电压压波波形形可可以以看看出出电电容容电电压压是是连连续续的的一一般般性性质质。即即电电容容电电流流在在闭闭区区间间t1,t2有有界界时时，电电容容电电压压在
15、在开开区区间间(t1,t2)内内是是连连续续的的。这这可可以以从从电电容容电电压压、电电流流的的积积分分关关系系式式中中得得到到证明。证明。将将 t=T和和 t=T+dt代代 入入 式式 (6 3)中中 ， 其其 中中 t1Tt2和和t1T+dt0时，时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。从式从式(75)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，也可以理解为什么电容电压不
16、能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。容电压发生跃变的。电容电感电压电流关系课件若电容的初始储能为零，即若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在则任意时刻储存在电容中的能量为电容中的能量为此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。值，与电容的电流值无关。电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压电容电压的绝对值增
17、大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。的绝对值减小时，电容储能减少。电容电感电压电流关系课件 1. 1. 两个线性电容并联单口网络，就其端口特性而言，两个线性电容并联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下：等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下： 四、电容的串联和并联四、电容的串联和并联图图710列列出出图图710(a)的的KCL方方程程，代代入入电电容容的的电电压压电电流流关关系系，得到端口的电压电流关系得到端口的电压电流关系其中其中 电容电感电压电流关系课件 2. 两个线性电容串联单口网络，就其端口特性而言，等效两个线性电
18、容串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下：于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下： 列列出出图图711(a)的的KVL方方程程，代代入入电电容容的的电电压压电电流流关关系系，得到端口的电压电流关系得到端口的电压电流关系图图711其中其中 由此求得由此求得 电容电感电压电流关系课件名名 称称时间时间名名 称称时间时间1 1电容的电压电流波形电容的电压电流波形4:162 2电感的电压电流波形电感的电压电流波形2:413 3回转器变电容为电感回转器变电容为电感2:42根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映
19、相关录像。电容电感电压电流关系课件郁金香电容电感电压电流关系课件常用的几种电感器常用的几种电感器72电电感感元件元件电容电感电压电流关系课件如如果果一一个个二二端端元元件件在在任任一一时时刻刻，其其磁磁通通链链与与电电流流之之间间的的关关系系由由i 平平面面上上一一条条曲曲线线所所确确定定，则则称称此此二二端端元元件件为为电电感感元元件件。电电感感元元件件的的符符号号和和特特性性曲曲线线如如图图712(a)和和(b)所所示。示。(a)电感元件的符号电感元件的符号(c)线性时不变电感元件的符线性时不变电感元件的符号号(b)电感元件的特性曲线电感元件的特性曲线(d)线性时不变电感的特性曲线线性时不
20、变电感的特性曲线图图7-12一、一、电感元件电感元件电容电感电压电流关系课件其其特特性性曲曲线线是是通通过过坐坐标标原原点点一一条条直直线线的的电电感感元元件件称称为为线线性性电电感感元元件件，否否则则称称为为非非线线性性电电感感元元件件。线线性性时时不不变变电电感感元元件件的的符符号号与与特特性性曲曲线线如如图图(c)和和(d)所所示示，它它的的特特性性曲曲线线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为式中的系数式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨单位是亨利利,用用H表示。表示。
21、图图7-12电容电感电压电流关系课件实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微亨亨( H，1 H=10-6H),低频滤波电路中使用扼流圈的电感低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图还需要增加一个电容来构成线圈的电路
22、模型，如图713所所示。示。图图913电感器的几种电路模型电感器的几种电路模型电容电感电压电流关系课件二、电感的电压电流关系二、电感的电压电流关系对对于于线线性性时时不不变变电电感感元元件件来来说说，在在采采用用电电压压电电流流关关联联参考方向的情况下，可以得到参考方向的情况下，可以得到此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激
23、励的电路中，磁场不随时间变化在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压电各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u=0)。电容电感电压电流关系课件在已知电感电流在已知电感电流i(t)的条件下，用式的条件下，用式(710)容易求出其容易求出其电压电压u(t)。例如例如L=1mH的电电感上，施加电流为的电电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)A时，时，其关联参考方向的电压为其关联参考方向的电压为电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量系，例如将电感电流增加一
24、个常量k，变为，变为i(t)=k+10sin5tA时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。件在电压电流之间有确定关系的特性。电容电感电压电流关系课件例例75电路如图电路如图714(a)所示，已知所示，已知L=5 H电感上的电流电感上的电流波形如图波形如图714(b)所示，求电感电压所示，求电感电压u(t),并画出波形图。并画出波形图。图图714例例75电容电感电压电流关系课件2.当当0 t 3 s时，时，i(t)=2 103t，根据式，根据式710可以得可以得到到解解：根根据据图图615(b)波波形形
25、，按按照照时时间间分分段段来来进进行行计计算算1.当当t 0时，时，i(t)=0，根据式，根据式710可以得到可以得到图图714例例75电容电感电压电流关系课件3.当当3 s t 4 s时，时， i(t)=24 103-6 103t，根据式，根据式710可以得到可以得到4.当当4 s t 时，时，i(t)=0，根据式，根据式710可以得到可以得到图图714例例75电容电感电压电流关系课件根据以上计算结根据以上计算结果，画出相应的波形，果，画出相应的波形，如图如图714(c)所示。所示。这说明电感电流为三这说明电感电流为三角波形时，其电感电角波形时，其电感电压为矩形波形。压为矩形波形。图图714
26、电容电感电压电流关系课件在已知电感电压在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流的条件下，其电流iL(t)为为其中其中称为电感电压的初始值称为电感电压的初始值, ,它是从它是从t t=-=-到到t t=0=0时间范围内电感电时间范围内电感电压作用于电感所产生的电流。压作用于电感所产生的电流。 电容电感电压电流关系课件式式(711)表表示示t0的的某某时时刻刻电电感感电电流流iL(t)等等于于电电感感电电流流的的初初始始值值iL(0)加加上上t=0到到t时时刻刻范范围围内内电电感感电电压压在在电电感感中中所所产产生生电电流流之之和和，就就端端口口特特性性而而言言，等等效效为为一一个个直直流流电电流
27、流源源iL(0)和和一一个个初始电流为零的电感的并联，如图初始电流为零的电感的并联，如图715所示。所示。图图715电容电感电压电流关系课件从式从式(711)可以看出电感具有两个基本的性质。可以看出电感具有两个基本的性质。(1)电感电流的记忆性。电感电流的记忆性。从从式式（68）可可见见，任任意意时时刻刻T电电感感电电流流的的数数值值iL(T)，要由从，要由从- 到时刻到时刻T之间的全部电压来确定。之间的全部电压来确定。也也就就是是说说，此此时时刻刻以以前前在在电电感感上上的的任任何何电电压压对对时时刻刻T的的电电感感电电流流都都有有一一份份贡贡献献。这这与与电电阻阻元元件件的的电电压压或或电
28、电流流仅仅取取决决于于此此时时刻刻的的电电流流或或电电压压完完全全不不同同，我我们们说说电电感感是是一一种种记记忆元件。忆元件。电容电感电压电流关系课件例例76电电路路如如图图716(a)所所示示，电电感感电电压压波波形形如如图图716(b)所所示，试求电感电流示，试求电感电流i(t),并画波形图。并画波形图。图图716电容电感电压电流关系课件解：根据图解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算波形，按照时间分段来进行积分运算1.当当t0时，时，u(t)=0，根据式，根据式711可以得到可以得到2.当当0t1s时，时，u(t)=1mV，根据式，根据式711可以得到可以得到图图716电容电
29、感电压电流关系课件3.当当1st2s时，时，u(t)=-1mV，根据式，根据式711可以得到可以得到4.当当2st3s时，时，u(t)=1mV，根据式，根据式711可以得到可以得到5.当当3st0时，电感吸收功率；当时，电感吸收功率；当p0时，电感发出功率。时，电感发出功率。电容电感电压电流关系课件电感在从初始时刻电感在从初始时刻t0到任意时刻到任意时刻t时间内得到的能量为时间内得到的能量为若电感的初始储能为零，即若电感的初始储能为零，即i(t0)=0,则任意时刻储存在则任意时刻储存在电感中的能量为电感中的能量为电容电感电压电流关系课件此此式式说说明明某某时时刻刻电电感感的的储储能能取取决决于
30、于该该时时刻刻电电感感的的电电流流值值，与与电电感感的的电电压压值值无无关关。电电感感电电流流的的绝绝对对值值增增大大时时，电电感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。由由于于电电感感电电流流确确定定了了电电感感的的储储能能状状态态，称称电电感感电电流流为为状态变量。状态变量。从从式式(713)也也可可以以理理解解为为什什么么电电感感电电流流不不能能轻轻易易跃跃变变，这这是是因因为为电电感感电电流流的的跃跃变变要要伴伴随随电电感感储储存存能能量量的的跃跃变变，在在电电压压有有界界的的情情况况下下，是是不不可可能能造造成成磁磁场场能能量
31、量发发生生突突变变和和电电感电流发生跃变的。感电流发生跃变的。电容电感电压电流关系课件四、电感的串联和并联四、电感的串联和并联 1. 两个线性电感串联单口网络，就其端口特性而言，等效两个线性电感串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下：于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中其中 列列出出图图718(a)的的KVL方方程程，代代入入电电感感的的电电压压电电流流关关系系，得到端口电压电流关系得到端口电压电流关系图图718电容电感电压电流关系课件 2. 两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等效两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等
32、效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下：于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中其中 列列出出图图719(a)单单口口网网络络的的KCL方方程程，代代入入电电感感的的电电压压电流关系，得到端口的电压电流关系电流关系，得到端口的电压电流关系图图719由此求得由此求得 电容电感电压电流关系课件电容电感电压电流关系课件二二端端电电阻阻，二二端端电电容容和和二二端端电电感感是是三三种种最最基基本本的的电电路路元元件件。它它们们是是用用两两个个电电路路变变量量之之间间的的关关系系来来定定义义的的。这这些些关关系系从从下下图可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是图可以清楚看
33、到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是四个基本电路变量之间的关系四个基本电路变量之间的关系电容电感电压电流关系课件 亨利亨利是一个美国物理学家，他发明了电感是一个美国物理学家，他发明了电感和制造了电动机。和制造了电动机。他比他比法拉第法拉第先发现电磁感应现象，电感的先发现电磁感应现象，电感的单位是用他的名字命名的。单位是用他的名字命名的。电容电感电压电流关系课件MichaelFaraday(17911867)法拉第是英国化学家和物理学家，1931年发现的电磁感应定律是工程上的一个主要突破。法拉第法拉第是一个英国化学家和物理学家，他是一个是一个英国化学家和物理学家，他是一个最伟大的实验家。最伟
34、大的实验家。他在他在1931年发现的电磁感应是工程上的一个重要突年发现的电磁感应是工程上的一个重要突破，电磁感应提供了产生电的一种方法。电磁感应是破，电磁感应提供了产生电的一种方法。电磁感应是电动机和发电机的工作原理。电容的单位电动机和发电机的工作原理。电容的单位(farad)用他用他的名字命名是他的荣誉。的名字命名是他的荣誉。电容电感电压电流关系课件名名 称称时间时间名名 称称时间时间1 1电容的电压电流波形电容的电压电流波形4:162 2电感的电压电流波形电感的电压电流波形2:413 3回转器变电容为电感回转器变电容为电感2:42根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要
35、，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。电容电感电压电流关系课件郁金香电容电感电压电流关系课件73动态电路的电路方程动态电路的电路方程含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性的拓扑约束和元件特性VCR的约的约束。一般来说，根据束。一般来说，根据KCL、KVL和和VCR写出的电写出的电路方程是一组微分方程。路方程是一组微分方程。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由由n阶微分方程描述的电路称为阶微分方程描述的
36、电路称为n阶电路。阶电路。电容电感电压电流关系课件例例78列出图列出图720所示电路的一阶微分方程。所示电路的一阶微分方程。图图7-20电容电感电压电流关系课件得到得到这是常系数非齐次一阶微分方程，图这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。是一阶电路。在上式中代入在上式中代入:解：对于图解：对于图(a)所示所示RC串联电路，可以写出以下方程串联电路，可以写出以下方程图图7-20电容电感电压电流关系课件对于图对于图(b)所示所示RL并联电路，可以写出以下方程并联电路，可以写出以下方程在上式中代入在上式中代入：得到得到这是常系数非齐次一阶微分方程。图这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)
37、是一阶电路。是一阶电路。图图7-20电容电感电压电流关系课件例例7-9电路如图电路如图721(a)所示，以所示，以iL为变量列出电路的微分为变量列出电路的微分方程。方程。图图7-21电容电感电压电流关系课件解一：列出网孔方程解一：列出网孔方程由式由式(2)求得求得代入式代入式(1)得到得到整理整理电容电感电压电流关系课件解解二二：将将含含源源电电阻阻单单口口用用诺诺顿顿等等效效电电路路代代替替，得得到到图图(b)电电路，其中路，其中图图7-21电容电感电压电流关系课件图图721(b)电路与图电路与图720(b)电路完全相同，直接引用电路完全相同，直接引用式式718可以得到可以得到此方程与式此方
38、程与式719相同，这是常系数非齐次一阶微分方相同，这是常系数非齐次一阶微分方程，图程，图(a)是一阶电路。是一阶电路。图图7-21电容电感电压电流关系课件例例7-10电路如图电路如图7-22(a)所示，以所示，以uC(t)为变量列出电路的微为变量列出电路的微分方程。分方程。解一：列出网孔方程解一：列出网孔方程图图7-22电容电感电压电流关系课件补充方程补充方程得到以得到以i1(t)和和uC(t)为变量的方程为变量的方程电容电感电压电流关系课件将将 i1(t)代入式代入式(1)，得到以下方程，得到以下方程这是以电容电压为变量的一阶微分方程。这是以电容电压为变量的一阶微分方程。从式从式(2)中写出
39、中写出i1(t)的表达式的表达式图图7-22电容电感电压电流关系课件解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路代替，得到图代替，得到图(b)所示电路，其中所示电路，其中图图722(b)电路与图电路与图720(a)相同，直接引用式相同，直接引用式717可以可以所得到与式所得到与式720相同的的微分方程。相同的的微分方程。图图7-22电容电感电压电流关系课件例例7-11电路如图电路如图7-23所示，以所示，以uC(t)为变量列出电路的微分为变量列出电路的微分方程。方程。解：以解：以iL(t)和和iC(t)为网孔电流，列出网孔方程为网孔电流，
40、列出网孔方程图图7-23电容电感电压电流关系课件代入电容的代入电容的VCR方程方程得到以得到以iL(t)和和uC(t)为变量的方程为变量的方程电容电感电压电流关系课件从式从式(2)得到得到将将iL(t)代入式代入式(1)中中经过整理得到以下微分方程经过整理得到以下微分方程这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。图图7-23电容电感电压电流关系课件 L7-11s Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L R 3 2 3
41、R1 C 4 2 3 C R 5 3 0 R2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 - R1Us U4 (S)= - R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)= - R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1 * 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *电容电感电压电流关系课件名名 称称时间时间名名 称称时间时间1 1电容的电压电流波形电容的电压电流波形4:162 2电感的电压电流波形电感的电压电流波形2:413 3回转器变电容为电感回转器变电容为电
42、感2:42根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。电容电感电压电流关系课件郁金香电容电感电压电流关系课件74电路应用，电路实验和计算机分析电路实例电路应用，电路实验和计算机分析电路实例首先证明端接电容器的回转器等效为一个电感，再介绍由两个运算放大器构成的回转器可以将一个0.2F电容变为0.2H的电感。然后介绍利用计算机程序来建立动态电路的微分方程。最后介绍用双踪示波器观察电容和电感电压电流波形的实验方法。电容电感电压电流关系课件例713证明图725所示单口网络等效为一个电感。一、回转器的应用 图7-25 在第五章中介绍了回转器的电压电流关
43、系，现在介绍回转器可以将电容变换为电感，这在集成电路设计中十分有用。 电容电感电压电流关系课件联立求解以上方程得到单口网络的电压电流关系 列出电容的电压电流关系解：列出回转器的电压电流关系图7-25电容电感电压电流关系课件以上计算证明了回转器输出端接一个电容，其输入端的特性等效为一个电感，其电感值为当回转电导等于1时，电感值与电容值相同。图7-25电容电感电压电流关系课件例714含运算放大器的单口网络如图726所示，假如运算放大器工作于线性区域，证明单口网络的特性等效为一个L=0.2H的电感。图726电容电感电压电流关系课件解:在例58中已经证明了图726中的双口网络可以实现回转器的特性，其回
44、转电导为将R=1k代入上式得到回转电导为G=-10-3S，将G=-10-3S和C=0.2F代入式(721)计算表明图726的单口网络的确等效为L=0.2H的电感。请观看教材光盘中的“回转器变电容为电感” 实验录像。电容电感电压电流关系课件在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。电容电感电压电流关系课件二、计算机辅助电路分析动态电路分析的基本方法是建立并求解微分方程，而用笔算方法列出高阶动态电路的微分方程是十分困难的事情。符号网络分析程序SNAP可以计算动态电路电压电流的频域表达式，由此可以写出电路的微分方程，下面举例说明。电容电感电压电流关系课件例715利用SNAP程序列出图727(a)电路
45、的微分方程。图727解:运行SNAP程序，读入图727(b)所示电路数据，计算电容电压，电感电流和电感电压，得到以下结果。电容电感电压电流关系课件 L7-15 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L C 3 2 3 C R 4 2 3 R1 R 5 3 0 R2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 - R1Us U3 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)=
46、- R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCSLUs+SLUs U2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1* 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *由此可写出微分方程电容电感电压电流关系课件 L7-15 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L C 3 2 3 C R 4 2 3 R1 R 5 3 0 R2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路
47、电 流 - R1Us U3 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1 R1SCSLUs+SLUs U2 (S)= - R1SCSL+R1R2SC+SL+R2+R1* 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *由此可写出微分方程电容电感电压电流关系课件计算得到图727电路中电容电压的频域表达式为将频域表达式中的s作为微分算子进行数学运算可以得到以下微分方程 用相似的方法得到图727电路中电感电流的微分方程为用不同电压电流作为变量列出的微分方程系数完全相同
48、。 电容电感电压电流关系课件三、电路实验设计 1用双踪示波器观测电容器的电压和电流波形示波器是一种观测电压波形的仪器，由于线性电阻电压和电流的波形相同，可以用观测电阻电压的方法来间接观测电流的波形。728例如为了观测电容器的电压和电流波形，可以用一个阻值很小的电阻器与电容器串联，如图728所示。用双踪示波器观测电路的总电压u1和电阻器电压uR，当电阻器阻值很小时，总电压u1(t)与电容电压uC(t)波形基本相同。请观看教材光盘中的“电容的电压电流波形”实验录像。电容电感电压电流关系课件在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。电容电感电压电流关系课件2用双踪示波器观测电感器的电压和电流波形 与
49、观测电容电压和电流波形的方法相似，也可以用一个阻值很小的电阻器与电感器串联的方法来观测电感的电压和电流。在图729所示实验电路中，采用运算放大器构成的电压跟随器来降低信号发生器的输出电阻，使它接近一个理想的电压源。请观看教材光盘中的“电感的电压电流波形”实验录像。 图729电容电感电压电流关系课件在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。电容电感电压电流关系课件名 称时间名 称时间1电容的电压电流波形4:162电感的电压电流波形2:413回转器变电容为电感2:42根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。电容电感电压电流关系课件摘要1线性时不变电容元件的特性曲线是通过uq平面坐标原点的一
50、条直线，该直线方程为电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述由上式可见，电容电压随时间变化时才有电容电流。若电容电压不随时间变化，则电容电流等于零，电容相当于开路。因此电容是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。电容的储能为电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关。电容电感电压电流关系课件2线性时不变电感元件的特性曲线是通过i平面坐标原点的一条直线，该直线方程为电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述由上式可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。电感
51、的储能为电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关。电容电感电压电流关系课件3电容和电感的一个重要性质是连续性，其内容是若电容电流iC(t)在闭区间t1,t2内有界，则电容电压uC(t)在开区间(t1,t2)内是连续的。例如电容电流iC(t)在闭区间0-,0+内有界，则有若电感电压uL(t)在闭区间t1,t2内有界，则电感电流iL(t)在开区间(t1,t2)内是连续的。例如电感电压uL(t)在闭区间0,0内有界，则有利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换(称为换路)时，电容电压和电感电流的初始值。初始值是在下一章求解微分方程时必须知道的数据。电容电感电压电流关系课件4二端电阻，二端电容和二端电感是三种最基本的电路元件。它们是用两个电路变量之间的关系来定义的。也就是说：电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件；电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件；磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件。这些关系从图730可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是电容电感电压电流关系课件5含动态元件的电路称为动态电路。根据KCL，KVL和元件VCR方程可以列出动态电路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。由n阶微分方程描述的电路，称为n阶电路。图730电容电感电压电流关系课件郁金香电容电感电压电流关系课件
