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1、第六节、定积分的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、定积分在经济分析中的应用二、定积分在经济分析中的应用:微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分2回忆回忆 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab xyo一、平面图形的面积一、平面图形的面积2024/7/19:一般地由曲线所围成的平面图形的面积一般地由曲线所围成的平面图形的面积计算可分为：计算可分为：微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分3 1. 若平面图形 D 由两条曲线 y = (x)和 y = g(x) ( (x)g(x) ）和两条直线 x = a与 x = b 所围成图形的面积为S证明：证明：2024/7/19:4解
2、：解： 为了求出面积为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形一般先划出两条曲线所围成的图形.为了定出图形的所在范围为了定出图形的所在范围,应先求出这应先求出这计算由曲线计算由曲线 所围成图形的面积所围成图形的面积. .例例 1两条曲线的交点，为此解方程组两条曲线的交点，为此解方程组即这两条抛物线的交点为即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及及(1, 1). 从而知道所求图形在从而知道所求图形在直线直线 x = 0 及及 x = 1 之间之间.微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分那么那么练习：练习：ox(1,1)x x+dx1y2024/7/19:微积分微积分II 第六章定积分第六
3、章定积分51,(1)由曲线由曲线在区间在区间0,1上的曲边梯形的面积上的曲边梯形的面积解：作图解：作图xy0132024/7/19:微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分6 为了定出图形所在范围, 应先求出抛物线和直线的交点, 为此解方程组解解oy 4(2, 2) y=x4(8,4)x 例例2 计算由抛物线计算由抛物线与直线与直线 y = x - 4 所围成图形的面积所围成图形的面积.练习：练习：2024/7/19:7计算计算xy=1及直线及直线y=x，y=3所围图形的面积。所围图形的面积。解：作图解：作图3微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分2024/7/19:微积分微积分II 第
4、六章定积分第六章定积分8二、定积分在经济分析中的应用二、定积分在经济分析中的应用1.已知边际函数求总函数已知边际函数求总函数.由牛顿由牛顿莱布尼兹公式知：假设莱布尼兹公式知：假设连续，那么连续，那么即即(1) 在经济问题中, 经常都要涉及到各种经济量的总量. 这些总量, 在一定条件下, 也可用定积分来进行计算.(1) 总成本函数总成本函数已知边际成本函数已知边际成本函数那么那么为固定成本为固定成本, 从而总从而总成本函数成本函数为为2024/7/19:2024/7/19微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分9(2) 总收益函数总收益函数已知边际收益函数已知边际收益函数则产品未销售前的收益则
5、产品未销售前的收益从而总收益函数从而总收益函数(3) 总利润函数总利润函数总利润函数总利润函数为为例例7设某种产品生产设某种产品生产Q单位时的边际成本和边际收益分别为单位时的边际成本和边际收益分别为与与(1)当固定成本当固定成本时时, 求出成本、收益、利润求出成本、收益、利润;解解:(1):2024/7/19微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分10(3)当产量为多少时？利润可以达到最大？最大利润又是多少？当产量为多少时？利润可以达到最大？最大利润又是多少？(3) 由由得得因为因为且驻点唯一且驻点唯一, 所以当所以当Q=2时时, 利润达到最大利润达到最大,且且练习：练习：(2)当产量从当产
6、量从10增加到增加到100时时, 求成本的增量求成本的增量.:2024/7/19微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分114.设商品的需求函数设商品的需求函数（Q为需求为需求,P为价格）为价格）边际成本函数边际成本函数且且求当价格求当价格P为什么值时，利润最大，并求最大利润为什么值时，利润最大，并求最大利润.解解令令得得此时利润最大，最大值是此时利润最大，最大值是:122.资本现值和将来值资本现值和将来值可获利息的银行，若以连续利率可获利息的银行，若以连续利率r记息，记息，t年以后的将来值为年以后的将来值为若若t年以后得到年以后得到R人民币人民币, 则现值则现值 (现在需要存入银行的金额现
7、在需要存入银行的金额)为为资本现值是这样一笔款项，设有资本现值是这样一笔款项，设有 P元钱人民币，把它存入元钱人民币，把它存入我们设在时间区间我们设在时间区间0, T内内t时刻的单位时间收入为时刻的单位时间收入为R(t), 称此为称此为收入率收入率, 在在0,T内得到的总收入现值为内得到的总收入现值为特别地特别地, 当收入率当收入率R(t)是常量是常量A, 称其为均匀收入率称其为均匀收入率. 如果年如果年 利率利率r也为常数也为常数, 则总收入的现值为则总收入的现值为2024/7/19微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分:13解解应付款多少万元？应付款多少万元？每年付款相同每年付款相同,
8、 这是均匀流是均匀流.已知的，即已知的，即现售价扣除首付的部分售价扣除首付的部分 设每年付款每年付款 A(单位：万元位：万元), 因因为全部付款的全部付款的总现值是是（50020 500万元万元400万元万元万元万元.于是有于是有 例例8 某栋别墅现售价某栋别墅现售价500万元万元, 首付首付20 , 剩下部分可分期剩下部分可分期付款付款, 10年付清年付清, 每年付款相同每年付款相同. 若连续利率若连续利率r是是6 ,求每年求每年故每年故每年应付款付款53.19万元万元 . 2024/7/19微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分练习：练习：:2024/7/19微积分微积分II 第六章定积分第六章定积分146.假设年连续利率为假设年连续利率为6，借款为，借款为500万元，万元，15年还清，每月还款年还清，每月还款数相同，按连续利率计算，每月应还债多少万元？数相同，按连续利率计算，每月应还债多少万元？解：解：:
