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1、 运筹学 运运运运 筹筹筹筹 帷帷帷帷 幄幄幄幄 之之之之 中中中中决决决决 胜胜胜胜 千千千千 里里里里 之之之之 外外外外第第15章章 对策论对策论目能剂刹落阅兑瓤峨漾恍摇银术鸽捐蛙鳞希累殷芬餐瘩孵覆刘舰滦文随纵第15章对策论第15章对策论1 1 运筹学 对策论（对策论（game theory）简介）简介 19281928年年年年, , 德国数学家冯德国数学家冯德国数学家冯德国数学家冯 诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼(John (John von von NeumannNeumann， 1903.12.28.-1957.2.8) 1903.12.28.-1957.2.8)创立了二人零和博弈理论创
2、立了二人零和博弈理论创立了二人零和博弈理论创立了二人零和博弈理论. . 1944 1944年年年年, , 冯冯冯冯 诺伊曼邀请在普林斯顿工作的诺伊曼邀请在普林斯顿工作的诺伊曼邀请在普林斯顿工作的诺伊曼邀请在普林斯顿工作的 奥地利经济学家莫根斯坦因奥地利经济学家莫根斯坦因奥地利经济学家莫根斯坦因奥地利经济学家莫根斯坦因(Morgensten)(Morgensten) 共同研究博弈论在经济领域中的应用共同研究博弈论在经济领域中的应用共同研究博弈论在经济领域中的应用共同研究博弈论在经济领域中的应用, , 两两两两 人合著了博弈论与经济行为，经济学人合著了博弈论与经济行为，经济学人合著了博弈论与经济行
3、为，经济学人合著了博弈论与经济行为，经济学 领域的革命，成为领域的革命，成为领域的革命，成为领域的革命，成为“ “博弈论博弈论博弈论博弈论” ”的经典著作，的经典著作，的经典著作，的经典著作， 也成为也成为也成为也成为“ “数理经济学数理经济学数理经济学数理经济学” ”的奠基石的奠基石的奠基石的奠基石 . . 1950 1950年年年年, 22, 22岁的岁的岁的岁的Nash(1928-)Nash(1928-)以以以以Non-cooperative Non-cooperative Games Games为题的为题的为题的为题的2727页博士论文毕业页博士论文毕业页博士论文毕业页博士论文毕业,
4、, 建立了非合建立了非合建立了非合建立了非合 作博弈的纳什均衡理论作博弈的纳什均衡理论作博弈的纳什均衡理论作博弈的纳什均衡理论, , 对经济理论具有划时对经济理论具有划时对经济理论具有划时对经济理论具有划时 代意义代意义代意义代意义. . 警裳场怒慷称伎张徐碳前斤皇导海宅酉鄂奄铣卡写轩睡泼启贬床徐杠曳伊第15章对策论第15章对策论2 2 运筹学 如果问上个世纪谁是希尔伯特之后最伟大的数学家？如果问上个世纪谁是希尔伯特之后最伟大的数学家？如果问上个世纪谁是希尔伯特之后最伟大的数学家？如果问上个世纪谁是希尔伯特之后最伟大的数学家？数学界的绝大多数学者会毫不犹豫地把票投给约翰数学界的绝大多数学者会毫
5、不犹豫地把票投给约翰数学界的绝大多数学者会毫不犹豫地把票投给约翰数学界的绝大多数学者会毫不犹豫地把票投给约翰 冯冯冯冯 诺伊曼诺伊曼诺伊曼诺伊曼. .他出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭他出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭他出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭他出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭, , 父亲是位银行家父亲是位银行家父亲是位银行家父亲是位银行家, , 为了挤为了挤为了挤为了挤入上层社会入上层社会入上层社会入上层社会, , 花钱买了个爵位花钱买了个爵位花钱买了个爵位花钱买了个爵位, , 于是他们的姓氏前面加上了个于是他们的姓氏前面加上了个于是他们的姓氏前面加上了个于是他们的姓氏前面加上了个“
6、 “冯冯冯冯” ”字，那是对贵族的尊称字，那是对贵族的尊称字，那是对贵族的尊称字，那是对贵族的尊称. .精通七种语言精通七种语言精通七种语言精通七种语言, , 是现代电子计算机创始人（之一）是现代电子计算机创始人（之一）是现代电子计算机创始人（之一）是现代电子计算机创始人（之一）,“ ,“数理经济学数理经济学数理经济学数理经济学” ”的奠基人的奠基人的奠基人的奠基人, , 他在计算机科学、经济、量子力学以及几乎所有数学他在计算机科学、经济、量子力学以及几乎所有数学他在计算机科学、经济、量子力学以及几乎所有数学他在计算机科学、经济、量子力学以及几乎所有数学领域都作过重大贡献领域都作过重大贡献领域
7、都作过重大贡献领域都作过重大贡献. .6 6岁能心算岁能心算岁能心算岁能心算8 8位数除法位数除法位数除法位数除法. . 年少的他只需要慢慢地看一遍，就能把电年少的他只需要慢慢地看一遍，就能把电年少的他只需要慢慢地看一遍，就能把电年少的他只需要慢慢地看一遍，就能把电话簿上整页的姓名和电话号码记住，过目不忘话簿上整页的姓名和电话号码记住，过目不忘话簿上整页的姓名和电话号码记住，过目不忘话簿上整页的姓名和电话号码记住，过目不忘. .8 8岁学会了微积分，当今理工科大学生的重要基础课岁学会了微积分，当今理工科大学生的重要基础课岁学会了微积分，当今理工科大学生的重要基础课岁学会了微积分，当今理工科大学
8、生的重要基础课. .1212岁弄懂了函数论，一门数学系三年级的课程岁弄懂了函数论，一门数学系三年级的课程岁弄懂了函数论，一门数学系三年级的课程岁弄懂了函数论，一门数学系三年级的课程. .祟拼禾枚虞贫悄鹃射筋样壮沮液躯啦蠕痞癸懊蛾溯推寸苏油临界崖演却声第15章对策论第15章对策论3 3 运筹学 15.1 15.1 对策问题三要素及分类对策问题三要素及分类对策问题三要素及分类对策问题三要素及分类一、对策问题三要素一、对策问题三要素一、对策问题三要素一、对策问题三要素 引例引例引例引例: : 田忌与齐王赛马田忌与齐王赛马田忌与齐王赛马田忌与齐王赛马1. 1.局中人局中人局中人局中人：有权决定自己策略
9、：有权决定自己策略：有权决定自己策略：有权决定自己策略( (行动方案行动方案行动方案行动方案) )的对策参加者的对策参加者的对策参加者的对策参加者, , 用用用用P Pi i 表示第表示第表示第表示第 i i 个局中人个局中人个局中人个局中人. .2. 2.策略集策略集策略集策略集：局中人：局中人：局中人：局中人 P Pi i 的所有策略的集合的所有策略的集合的所有策略的集合的所有策略的集合, , 用用用用 S Si i 表示第表示第表示第表示第 i i 个局中个局中个局中个局中 人的策略集人的策略集人的策略集人的策略集. .3. 3.赢得函数赢得函数赢得函数赢得函数( (赢得赢得赢得赢得)
10、)：一局对策结束后：一局对策结束后：一局对策结束后：一局对策结束后, , 局中人所获得的结果局中人所获得的结果局中人所获得的结果局中人所获得的结果. .二、对策问题分类二、对策问题分类二、对策问题分类二、对策问题分类1. 1. 按局中人的个数分按局中人的个数分按局中人的个数分按局中人的个数分: : 二人对策二人对策二人对策二人对策与与与与 n n人对策人对策人对策人对策. .2. 2. 按局中人策略的个数分按局中人策略的个数分按局中人策略的个数分按局中人策略的个数分: : 有限对策有限对策有限对策有限对策与与与与无限对策无限对策无限对策无限对策. .3. 3. 按各局中人赢得之和是否为按各局中
11、人赢得之和是否为按各局中人赢得之和是否为按各局中人赢得之和是否为0 0分分分分: : 零和对策零和对策零和对策零和对策与与与与非零和对策非零和对策非零和对策非零和对策. .4. 4. 按局中人是否合作分按局中人是否合作分按局中人是否合作分按局中人是否合作分: : 合作对策合作对策合作对策合作对策与与与与非合作对策非合作对策非合作对策非合作对策. .5. 5. 按决策过程是否与时间有关分按决策过程是否与时间有关分按决策过程是否与时间有关分按决策过程是否与时间有关分: : 静态对策静态对策静态对策静态对策与与与与动态对策动态对策动态对策动态对策. .畸庙单拼把孕经甭威王娄吹魁常慨疆柑责馏靶忻已钨砚
12、向域命佣一腊钟洋第15章对策论第15章对策论4 4 运筹学 当当当当 P P1 1 选定纯策略选定纯策略选定纯策略选定纯策略 i i , , P P2 2选定纯策略选定纯策略选定纯策略选定纯策略 j j后后后后, , 就形成一个局势就形成一个局势就形成一个局势就形成一个局势( ( i , i , j j), ), 共有共有共有共有 mm n n 个局势个局势个局势个局势. . 对任一局势对任一局势对任一局势对任一局势( ( i , i , j j), ), 记记记记P P1 1 的赢得为的赢得为的赢得为的赢得为a aij ij , P, P2 2的赢的赢的赢的赢得为得为得为得为- -a aij
13、 ij , , 称称称称15.2 矩阵对策矩阵对策一、矩阵对策的数学模型一、矩阵对策的数学模型一、矩阵对策的数学模型一、矩阵对策的数学模型1. 1. 矩阵对策矩阵对策矩阵对策矩阵对策, , 即即即即二人有限零和对策二人有限零和对策二人有限零和对策二人有限零和对策. .2. 2. 设局中人设局中人设局中人设局中人P P1 1 有有有有 m m 个纯策略个纯策略个纯策略个纯策略, , 即即即即局中人局中人局中人局中人P P2 2有有有有 n n 个纯策略个纯策略个纯策略个纯策略, , 即即即即为为为为P P1 1的的的的赢得矩阵赢得矩阵赢得矩阵赢得矩阵, , 即即即即P P2 2的的的的付出矩阵付
14、出矩阵付出矩阵付出矩阵. . 显然显然显然显然, , - -A A为为为为P P2 2的赢得矩阵的赢得矩阵的赢得矩阵的赢得矩阵. .通常将矩阵对策记为通常将矩阵对策记为通常将矩阵对策记为通常将矩阵对策记为G G G G = = = = S S S S1 1 1 1, , , , S S S S1 1 1 1, , , , A A A A. . . .逢货副则椎唱坟码赌寡和煞漆庄嘛藕琵烬鉴觅眨液与焙衍柏痪摄单揭疯蜡第15章对策论第15章对策论5 5 运筹学 15.2 矩阵对策矩阵对策二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的
15、矩阵对策及其最优纯策略1. 1. 悲观准则悲观准则悲观准则悲观准则( (最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则与与与与最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则) )例例例例 已知矩阵对策已知矩阵对策已知矩阵对策已知矩阵对策G G = = S S1 1, , S S1 1, , A A , , 其中其中其中其中求求求求: : 局中人局中人局中人局中人P P1 1 , , P P2 2 的最优纯策略的最优纯策略的最优纯策略的最优纯策略. .鼓婶薪彭帖圣毫蔓莫扦躇巍款蛤琢矽剁烂味漳唉翁栈梦芋敌荣壹熔命赤牙第15章对策论第15章对策论6 6 运筹学 1
16、5.2 矩阵对策矩阵对策二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略1. 1. 悲观准则悲观准则悲观准则悲观准则( (最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则与与与与最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则) )2. 2. 最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点蜂有诈泛兜埃都勃芥转构颊荧萎忘焕股旱魁烹蓑厩秋纯婆闪虽殆坷蕊渐疟第15章对策论第15章对策论7 7 运筹学 二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯
17、策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略1. 1. 悲观准则悲观准则悲观准则悲观准则( (最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则与与与与最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则) )2. 2. 最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点3. 3. 纯策略意义下有解的充要条件纯策略意义下有解的充要条件纯策略意义下有解的充要条件纯策略意义下有解的充要条件脏湘瘪搪凡谅憎支浊橇靳裳伎啸裤萝奖悯蹦烩始敌荤蔽驹阴虏妖被棱边滋第15章对策论第15章对策论8 8 运筹学 二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二
18、、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略1. 1. 悲观准则悲观准则悲观准则悲观准则( (最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则最大最小赢得准则与与与与最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则最小最大付出准则) )2. 2. 最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点最优纯策略与鞍点3. 3. 纯策略意义下有解的充要条件纯策略意义下有解的充要条件纯策略意义下有解的充要条件纯策略意义下有解的充要条件4. 4. 有鞍点情况下的多重解有鞍点情况下的多重解有鞍点情况下的多重解有鞍点情况下的多重解例例例例 已知矩阵对策已
19、知矩阵对策已知矩阵对策已知矩阵对策G G = = S S1 1, , S S1 1, , A A , , 其中其中其中其中求求求求: : 对策对策对策对策G G 的解和值的解和值的解和值的解和值. .碗板璃辟吊衰袭钢焕孙艺樊夹诣重省歼舷徒奔母握撵孵拆棱篆杀润励负稍第15章对策论第15章对策论9 9 运筹学 三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略例例例例 已知矩阵对策已知矩阵对策已知矩阵对策已知矩阵对策G G =S S1 1, , S S2 2, , A A ，其中，其中，其中，其中S S1
20、 1= 1 1, , 2 2, , S S2 2= 1 1, , 2 2, , 求对策求对策求对策求对策G G的鞍点的鞍点的鞍点的鞍点. .无鞍点，即对策在纯策略意义下无解无鞍点，即对策在纯策略意义下无解无鞍点，即对策在纯策略意义下无解无鞍点，即对策在纯策略意义下无解. .1. 1. 混合策略与混合扩充混合策略与混合扩充混合策略与混合扩充混合策略与混合扩充 设设设设矩阵对策矩阵对策矩阵对策矩阵对策G G =S S1 1, , S S2 2, , A A, ,其中其中其中其中S S1 1= 1 1, , , mm, , S S2 2= 1 1, , , , n n, , A A=(=(a aij
21、 ij) )m nm n. .将纯策略将纯策略将纯策略将纯策略S S1 1, , S S2 2上对应的概率向量上对应的概率向量上对应的概率向量上对应的概率向量X X=x x1 1, , ,x xmm 和和和和 Y Y=y y1 1, , ,y yn n 分别称为局中人分别称为局中人分别称为局中人分别称为局中人P P1 1, , P P2 2的的的的混合策略混合策略混合策略混合策略( (或或或或策略策略策略策略), (), (X X, ,Y Y) ) 称为称为称为称为混合局势混合局势混合局势混合局势( (或或或或局势局势局势局势) )灌铜惧妖慌稼羡梢键太氟鞍辟玉袁掣却硷播趴吧镭癣峻刽确埔净烧崇瑶
22、嘲第15章对策论第15章对策论1010 运筹学 三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略1. 1. 混合策略与混合局势混合策略与混合局势混合策略与混合局势混合策略与混合局势 设设设设矩阵对策矩阵对策矩阵对策矩阵对策G G =S S1 1, , S S2 2, , A A, ,其中其中其中其中S S1 1= 1 1, , , mm, , S S2 2= 1 1, , , , n n, , A A=(=(a aij ij) )m nm n. .将纯策略将纯策略将纯策略将纯策略S S1 1, ,
23、S S2 2上对应的概率向量上对应的概率向量上对应的概率向量上对应的概率向量X X=x x1 1, , ,x xmm 和和和和 Y Y=y y1 1, , ,y yn n 分别称为局中人分别称为局中人分别称为局中人分别称为局中人P P1 1, , P P2 2的的的的混合策略混合策略混合策略混合策略( (或或或或策略策略策略策略), (), (X X, ,Y Y) ) 称为称为称为称为混合局势混合局势混合局势混合局势( (或或或或局势局势局势局势) )2. 2. 混合扩充混合扩充混合扩充混合扩充 将将将将局中人局中人局中人局中人P P1 1, , P P2 2各自的所有混合策略的集合分别记为各
24、自的所有混合策略的集合分别记为各自的所有混合策略的集合分别记为各自的所有混合策略的集合分别记为 S S1 1* * = =X X E Emm, , S S2 2* * = =Y Y E En n. . 称期望函数称期望函数称期望函数称期望函数 为局中人为局中人为局中人为局中人P P1 1的赢得函数的赢得函数的赢得函数的赢得函数, , 称称称称G G* *= = S S1 1* * , , S S2 2* * , ,E E 为对策为对策为对策为对策G G的的的的混合扩充混合扩充混合扩充混合扩充. .姬渍茧梁聊寸派舰贵娶酿拴绚沸株芒痉昏瓣耸晾斜磊偷辅狞咖仕况秃腮嫁第15章对策论第15章对策论111
25、1 运筹学 三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略3. 3. 最优混合策略与混合策略意义下的解最优混合策略与混合策略意义下的解最优混合策略与混合策略意义下的解最优混合策略与混合策略意义下的解 设设设设G G* *= = S S1 1* * , , S S2 2* * , ,E E 为为为为矩阵对策矩阵对策矩阵对策矩阵对策G G =S S1 1, , S S2 2, , A A 的混合扩充，若的混合扩充，若的混合扩充，若的混合扩充，若则则则则(1)(1)称使上式成立的混合策略称使上式成立的混
26、合策略称使上式成立的混合策略称使上式成立的混合策略X X* *, , Y Y* *分别为局中人分别为局中人分别为局中人分别为局中人P P1 1, , P P2 2的最优的最优的最优的最优混合策略混合策略混合策略混合策略. .(2)(2) 称混合局势称混合局势称混合局势称混合局势( (X X* *, , Y Y* *) )为对策为对策为对策为对策G G在混合策略意义下的解在混合策略意义下的解在混合策略意义下的解在混合策略意义下的解( (或平衡或平衡或平衡或平衡 局势局势局势局势). ).(3) (3) 称上式的值为对策称上式的值为对策称上式的值为对策称上式的值为对策G G在混合策略意义下的值在混
27、合策略意义下的值在混合策略意义下的值在混合策略意义下的值, , 记作记作记作记作V VG G4. 4. 混合策略意义下解的存在性混合策略意义下解的存在性混合策略意义下解的存在性混合策略意义下解的存在性 任一任一任一任一矩阵对策矩阵对策矩阵对策矩阵对策G G =S S1 1, , S S2 2, , A A 一定存在混合策略意义下的解一定存在混合策略意义下的解一定存在混合策略意义下的解一定存在混合策略意义下的解. .元澜抵咨繁潜毙朔稽或盒苫丘揩鄙严隘壕甘侈厂洗梦莉剐踪适科芦碳敷犁第15章对策论第15章对策论1212 运筹学 建鄂姑瘪榆铣倘蝎烈佑麓炎误雪屉碌胜忧叫沈矛廷食衰稼疫罪画怪得镍氮第15章对策论第15章对策论1313
