风险决策模型层次分析法

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1、7.3 层次分析法建模次分析法建模层次分析法是次分析法是对一些一些较为复复杂、较为模糊的模糊的问题作出决策的作出决策的简易方法，易方法，它特它特别适用于那些适用于那些难于完全定量分析的于完全定量分析的问题。社会的。社会的发展展导致了社会致了社会结构、构、经济体系及人体系及人们之之间相互关系的日益复相互关系的日益复杂，人，人们希望能在希望能在错综复复杂的情况下，利用各种信息，通的情况下，利用各种信息，通过理智的、科学的分析，作出最佳理智的、科学的分析，作出最佳决策。例如，生决策。例如，生产者面者面对消消费者的各种喜好或者的各种喜好或竞争争对手的策略要作出手的策略要作出最佳决策；消最佳决策；消费者

2、面者面对琳琅琳琅满目的商品要根据它目的商品要根据它们的性能的性能质量的好坏、量的好坏、价格的高低、外形的美价格的高低、外形的美观程度等程度等选择自己最自己最为满意的商品；意的商品；毕业生要生要根据自己的根据自己的专业特特长、社会的需求情况、福利待遇的好坏等挑、社会的需求情况、福利待遇的好坏等挑选最最为合意的工作；科研合意的工作；科研单位要根据位要根据项目的科学意目的科学意义和和实用价用价值的大小、的大小、项目的可行性、目的可行性、项目的目的资助情况及周期助情况及周期长短等短等选择最合适的研究最合适的研究课题。当我。当我们面面对这类决策决策问题时，容易，容易发现，影响我，影响我们作决策的因作决策

3、的因素很多，其中某些因素存在定量指素很多，其中某些因素存在定量指标，可以，可以给以度量，但也有些因素以度量，但也有些因素不存在定量指不存在定量指标，只能定性地比，只能定性地比较它它们的的强强弱。在弱。在处理理这类比比较复复杂而又比而又比较模糊的模糊的问题时，如何尽可能克服因主，如何尽可能克服因主观臆断而造成的片面性，臆断而造成的片面性，较系系统、全面地比、全面地比较分析并作出分析并作出较为明智的决策呢？明智的决策呢？Saaty.T.L等人在等人在70年代提出了一种以定性与定量相年代提出了一种以定性与定量相结合，系合，系统化、化、层次化次化分析分析问题的方法，称的方法，称为层次分析法（次分析法（

4、Analytic Hiearchy Process，简称称AHP）。）。层次分析法将人次分析法将人们的思的思维过程程层次化，逐次化，逐层比比较其其间的相关因素的相关因素并逐并逐层检验比比较结果是否合理，从而果是否合理，从而为分析决策提供了分析决策提供了较具具说服力的定量服力的定量依据，依据，层次分析法的提出不次分析法的提出不仅为处理理这类问题提供了一种提供了一种实用的决策方法，用的决策方法，而且也提供了一个在而且也提供了一个在处理机理比理机理比较模糊的模糊的问题时，如何通，如何通过科学分析，在科学分析，在系系统全面分析机理及因果关系的基全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。上建立数

5、学模型的范例。 一、一、层次分析的基本步次分析的基本步骤 层次分析次分析过程可分程可分为四个基本步四个基本步骤：（：（1）建立）建立层次次结构模型；（构模型；（2）构）构造出各造出各层次中的所有判断矩次中的所有判断矩阵；（；（3）层次次单排序及一致性排序及一致性检验；（；（4）层次次总排序及一致性排序及一致性检验。下面通下面通过一个一个简单的的实例来例来说明各步明各步骤中所做的工作。中所做的工作。例例7.13 某工厂有一笔企某工厂有一笔企业留成利留成利润要由厂要由厂领导决定如何使用。可供决定如何使用。可供选择的方案有：的方案有：给职工工发奖金、金、扩建企建企业的福利的福利设施（改善企施（改善企

6、业环境、改善境、改善食堂等）和引食堂等）和引进新技新技术新新设备。工厂。工厂领导希望知道按怎希望知道按怎样的比例来使用的比例来使用这笔笔资金金较为合理。合理。步步1 建立建立层次次结构模型构模型在用在用层次分析法研究次分析法研究问题时，首先要根据，首先要根据问题的因果关系并将的因果关系并将这些关系些关系分解成若干个分解成若干个层次。次。较简单的的问题通常可分解通常可分解为目目标层（最高（最高层）、准）、准则层（中（中间层）和方案措施）和方案措施层（最低（最低层）。与其他决策）。与其他决策问题一一样，研究，研究分析者不一定是决策者，不分析者不一定是决策者，不应自作主自作主张地作出决策。地作出决策

7、。对于本例，如果分于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂析者自行决定分配比例，厂领导必定会必定会询问为什么要按此比例分配，符什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于合决策者要求的决策来自于对决策者意决策者意图的真的真实了解。了解。经过双方沟通，双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利的留成利润，而，而利利润的利用是否合理，决策者的主要的利用是否合理，决策者的主要标准准为：（：（1）是否有利于）是否有利于调动企企业职工的工的积极性，（极性，（2）是否有利于提高企）是否有利于提高企业的生的生产能力，（能力，（3）是否有利

8、）是否有利于改善于改善职工的工作、生活工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但境。分析者可以提出自己的看法，但标准的准的最最终确定将由决策者决定。确定将由决策者决定。根据决策者的意根据决策者的意图，可以建立起本，可以建立起本问题的的层次次结构模型如构模型如图8.7所示。所示。合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P图中的中的连线反映了因素反映了因素间存在的关存在的关联关系，哪

9、些因素存在关关系，哪些因素存在关联关系也关系也应由决策者决定。由决策者决定。对于因果关系于因果关系较为复复杂的的问题也可以引也可以引进更多的更多的层次。例如，在次。例如，在选购电冰冰箱箱时，如以，如以质量、外量、外观、价格、品牌及信誉等、价格、品牌及信誉等为准准则，也，也许在衡量在衡量质量量优劣劣时又可分出若干个不同的子准又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、，如制冷性能、结霜情况、耗霜情况、耗电量大小量大小等等。等等。建立建立层次次结构模型是构模型是进行行层次分析的基次分析的基础，它将思，它将思维过程程结构化、构化、层次次化，化，为进一步分析研究一步分析研究创造了条件。造了条件。步步2 构

10、造判断矩构造判断矩阵层次次结构反映了因素之构反映了因素之间的关系，例如的关系，例如图7.7中目中目标层利利润利用是否合理可利用是否合理可由准由准则层中的各准中的各准则反映出来。但准反映出来。但准则层中的各准中的各准则在目在目标衡量中所占的衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。各占有一定的比例。在确定影响某因素的在确定影响某因素的诸因子在因子在该因素中所占的比重因素中所占的比重时，遇到的主要困，遇到的主要困难是是这些比重常常不易定量化。些比重常常不易定量化。虽然你必然你必须让决策者根据决策者根据经验提供提供这些数据，但假如你提

11、出些数据，但假如你提出“调动职工工积极性在判断利极性在判断利润利用是否合理中利用是否合理中占百分之几的比例占百分之几的比例”之之类的的问题，不，不仅会会让人感到人感到难以精确回答，而以精确回答，而且且还会使人感到你会使人感到你书生气十足，不能生气十足，不能胜任任这一工作。此外，当影响某一工作。此外，当影响某因素的因子因素的因子较多多时，直接考，直接考虑各因子各因子对该因素有多大程度的影响因素有多大程度的影响时，常常会因考常常会因考虑不周全、不周全、顾此失彼而使决策者提出与他此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组

12、隐含矛盾的数据。含矛盾的数据。为看看清清这一点，可作如下一点，可作如下设想：将一想：将一块重重为1千克的石千克的石块砸成成n小小块，你可，你可以精确称出它以精确称出它们的的质量，量，设为w1, wn。现在，在，请人估人估计这n小小块的重的重量占量占总重量的比例（不能重量的比例（不能让他知道各小石他知道各小石块的重量），此人不的重量），此人不仅很很难给出精确的比出精确的比值，而且完全可能因，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。此失彼而提供彼此矛盾的数据。 设现在要比在要比较n个因子个因子X = x1,xn对某因素某因素Z的影响大小，怎的影响大小，怎样比比较才才能提供可信的数据呢？能提供可

13、信的数据呢？Saaty等人建等人建议可以采取可以采取对因子因子进行两两比行两两比较建立建立成成对比比较矩矩阵的的办法。即每次取两个因子法。即每次取两个因子xi和和xj，以，以aij表示表示xi和和xj对Z的影的影响大小之比，全部比响大小之比，全部比较结果用矩果用矩阵A=(aij)nn表示，称表示，称A为ZX之之间的成的成对比比较判断矩判断矩阵（简称判断矩称判断矩阵）。容易看出，若）。容易看出，若xi和和xj对Z的影响之比的影响之比为aij，则xj和和xi对Z的影响之比的影响之比应为 。定定义 7.4 若矩若矩阵A=(aij)nn满足足（i）aij 0，（ii） （i, j = 1,2,n），）

14、， 则称之称之为正互反矩正互反矩阵（易（易见aii =1, i = 1, , n）。）。关于如何确定关于如何确定aij的的值，Saaty等建等建议引用数字引用数字19及其倒数作及其倒数作为标度。他度。他们认为，人，人们在成在成对比比较差差别时，用，用5种判断种判断级较为合适。即使用相等、合适。即使用相等、较强强、强强、很、很强强、绝对地地强强表示差表示差别程度，程度，aij相相应地取地取1,3,5,7和和9。在成。在成对事物的差事物的差别介于两者之介于两者之间难以定以定夺时，aij可分可分别取取值2、4、6、8。从心理学从心理学观点来看，分点来看，分级太多会超越人太多会超越人们的判断能力，既增

15、加了作判断的判断能力，既增加了作判断的的难度，又容易因此而提供虚假数据。度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人等人还用用实验方法比方法比较了在了在各种不同各种不同标度下人度下人们判断判断结果的正确性，果的正确性，实验结果也表明，采用果也表明，采用19标度度最最为合适。合适。如果在构造成如果在构造成对比比较判断矩判断矩阵时，确，确实感到感到仅用用19及其倒数及其倒数还不不够理想理想时，可以根据情况再采用因子分解聚，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比的方法，先比较类，再比，再比较每一每一类中的元素。中的元素。步步3 层次次单排序及一致性排序及一致性检验上述构造成上述构造成对比比较判断

16、矩判断矩阵的的办法法虽能减少其他因素的干能减少其他因素的干扰影响，影响，较客客观地反映出一地反映出一对因子影响力的差因子影响力的差别。但。但综合全部比合全部比较结果果时，其中，其中难免免包含一定程度的非一致性。如果比包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，果是前后完全一致的，则矩矩阵A的元素的元素还应当当满足：足： i、j、k = 1,2,n 定定义7.5 满足（足（7.5）关系式的正互反矩）关系式的正互反矩阵称称为一致矩一致矩阵。如前所述，如果判断者前后完全一致，如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成构造出的成对比比较判断矩判断矩阵应当是一个一致矩当是一个一致矩阵。但构

17、造成。但构造成对比比较判断矩判断矩阵A共共计要作要作次比次比较（设有有n个因素要两两比个因素要两两比较），保），保证A是正互反矩是正互反矩阵是是较容易容易办到到的，但要求所有比的，但要求所有比较结果果严格格满足一致性，在足一致性，在n较大大时几乎可以几乎可以说是无法是无法办到的，其中多少到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了采用了19标度，已度，已经接受了一定程度的接受了一定程度的误差，就不差，就不应再要求最再要求最终判断矩判断矩阵的的严格一格一致性。如何致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩构造出来的（正互反）判断矩阵A是否是否严重地非一致，

18、重地非一致，以便确定是否接受以便确定是否接受A，并用它作，并用它作为进一步分析研究的工具？一步分析研究的工具？Saaty等人在等人在研究正互反矩研究正互反矩阵和一致矩和一致矩阵性性质的基的基础上，找到了解决上，找到了解决这一困一困难的的办法，法，给出了确定矩出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的中的非一致性是否可以允忍的检验方法。方法。定理定理7.7 正互反矩正互反矩阵A的最大特征根的最大特征根max必必为正正实数，其数，其对应特征向量的所特征向量的所有分量均有分量均为正正实数。数。A的其余特征根的模均的其余特征根的模均严格小于格小于max。（。（证明从略）明从略）现在来考察一致矩在来考察一

19、致矩阵A的性的性质，回复到将，回复到将单位重量的大石位重量的大石块剖分成重量剖分成重量为 1, n的的n块小石小石块的例子，如果判断者的判断的例子，如果判断者的判断结果完全一致，果完全一致，则构构造出来的一致矩造出来的一致矩阵为容易看出，一致矩容易看出，一致矩阵A具有以下性具有以下性质：定理定理7.87.8 若若A A为一致矩一致矩阵，则（1）A必必为正互反矩正互反矩阵。（2）A的的转置矩置矩阵AT也是一致矩也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从）大于零，从而而rank（A）=1（同（同样，A的任意两列也成比例）。的任意两列也

20、成比例）。（4）A的最大特征根的最大特征根max=n，其中，其中n为矩矩阵A的的阶。A的其余特征的其余特征根均根均为零。零。（5）若）若A的最大特征根的最大特征根max对应的特征向量的特征向量为W=（w1, wn）I，则aij=wi /wj， i,j = 1,2,n。（注：（注：（1 1）、（）、（2 2）可由一致矩阵定义得出，（）可由一致矩阵定义得出，（3 3）（5 5）均容易由）均容易由线性代数知识得到，证明从略）。线性代数知识得到，证明从略）。定理定理7.9 n阶正互反矩正互反矩阵A为一致矩一致矩阵当且当且仅当其最大特征根当其最大特征根 max=n，且当正互反矩，且当正互反矩阵A非一致非

21、一致时，必有，必有maxn。证明：明：设正互反矩正互反矩阵A的最大特征根的最大特征根为max， 对应的特征向量的特征向量为W=（w1, wn）T。 由定理，由定理，max0且且wi 0，i=1，n。又由特征根和特征向量。又由特征根和特征向量的性的性质知，知，AW=max W, 故故 , i = 1,n (7.7)（8.7）式两）式两边同除同除wi且关于且关于i从从1到到n相加，得到相加，得到即即（8.8）式的括号内共有）式的括号内共有 项。 （7.8） 现证明必要性，由一致矩明必要性，由一致矩阵性性质（5），有），有 ，故由（故由（7.8）式，得）式，得max=n。再再证明充分性。由于明充分性

22、。由于(7.9) 当且当且仅当当 =1（即（即 ）时（7.9）式中的等号成立，）式中的等号成立，故由（故由（7.8）式）式max=n。因而当。因而当max=n时必有必有 =1，于是于是aijajk=aik i,j,k = 1,2,n成立，成立，A为一致矩一致矩阵。当当A非一致矩非一致矩阵时，（，（7.9）式中的等号不能）式中的等号不能对一切一切i，j成立，从而必有成立，从而必有maxn。 根据定理根据定理7.9，我，我们可以由可以由max是否等于是否等于n来来检验判断矩判断矩阵A是否是否为一致一致矩矩阵。由于特征根。由于特征根连续地依地依赖于于aij，故，故max比比n大得越多，大得越多，A的

23、非一致的非一致性程度也就越性程度也就越为严重，重，max对应的的标准化特征向量也就越不能真准化特征向量也就越不能真实地反地反映出映出X=x1,xn在在对因素因素Z的影响中所占的比重。因此，的影响中所占的比重。因此，对决策者提决策者提供的判断矩供的判断矩阵有必要作一次一致性有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。，以决定是否能接受它。 为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下等人采用了如下办法：法：（1）求出）求出 ，称，称CI为A的一致性指的一致性指标。容易看出，当且容易看出，当且仅当当A为一致矩一致矩阵时，CI = 0。CI的的值

24、越大，越大，A的非一的非一致性越致性越严重。利用重。利用线性代数知性代数知识可以可以证明，明，A的的n个特征根之和等于其个特征根之和等于其对角角线元素之和（即元素之和（即n）故）故CI事事实上是上是A的除的除max以外其余以外其余n1个特征个特征根的平均根的平均值的的绝对值。若。若A是一致矩是一致矩阵，其余，其余n1个特征根均个特征根均为零，故零，故CI=0；否；否则，CI0，其，其值随随A非一致性程度的加重而非一致性程度的加重而连续地增大。当地增大。当CI略大于零略大于零时（对应地，地，max稍大于稍大于n），），A具有具有较为满意的一致性；否意的一致性；否则，A的一致性就的一致性就较差。差

25、。（2）上面定）上面定义的的CI值虽然能反映出非一致性的然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明重程度，但仍未能指明该非一致性是否非一致性是否应当被当被认为是可以允是可以允许的。事的。事实上，我上，我们还需要一个度量需要一个度量标准。准。为此，此，Saaty等人又研究了他等人又研究了他们认为最不一致的矩最不一致的矩阵用从用从19及及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子，取充分大的子样，求得最大，求得最大特征根的平均特征根的平均值 ， 并定并定义称称RI为平均随机一致性指平均随机一致性指标。对n =1,11,，Saaty给出了出了RI的的值，

26、如表，如表7.10所示。所示。表表7.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（3）将）将CI与与RI作比作比较，定，定义称称CR随机一致性比率。随机一致性比率。经大量大量实例比例比较，Saaty认为，在，在CR0.10时可以可以认为判断矩判断矩阵具有具有较为满意的一致性，否意的一致性，否则就就应当重新当重新调整判断矩整判断矩阵，直至具有直至具有满意的一致性意的一致性为止。止。综上所述，在步上所述，在步3中中应先求出先求出A的最大特征的最大特征根根max及及max对应的特征向量的特征向量W=（w1, wn）T，进行行标准化

27、，准化，使得使得 。再再对A作一致性作一致性检验：计算算 ，查表得到表得到对应于于n的的RI值，求，求 ，若若CR0.1，则一致性一致性较为满意，以意，以 i作作为因子因子xi在上在上层因子因子Z中所具有中所具有的的权值。否。否则必需重新作比必需重新作比较，修正，修正A中的元素。只有在一致性中的元素。只有在一致性较为满意意时，W的分量才可用作的分量才可用作层次次单排序的排序的权重。重。现对本本节例例7.13（即合理利用利（即合理利用利润问题的例子）的例子）进行行层次次单排序。排序。为求出求出C1、C2、C3在目在目标层A中所占的中所占的权值，构造，构造OC层的成的成对比比较矩矩阵，设构造出的成

28、构造出的成对比比较判断知判断知阵A=311153C1C2C3C1 C2 C30于是于是经计算，算，A的最大特征根的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得表得RI = 0.58，故，故CR = 0.033。因。因CR0.1，接受矩，接受矩阵A，求出，求出A对应于于max的的标准化准化特征向量特征向量W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以，以W的分量作的分量作为C1、C2、C3在在目目标O中所占的中所占的权重。重。类似求措施似求措施层中的中的P1、P2在在C1中的中的权值，P2、P3在在 C2中的中的权值及及P1、P2在在C1中的中的权值： 1P231P1P2P1

29、C113max=2，CI = CR = 0W = (0.75, 0.25)T15P31P2P3P2C215max=2，CI = CR = 0W = (0.167, 0.833)T1P221P1P2P1C312max=2，CI = CR = 0W = (0.66, 0.333)T经层次单排序，得到图经层次单排序，得到图7.8。合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P0.1050.637

30、0.2580.750.250.1670.8330.6670.3332设上一上一层次（次（A层）包含）包含A1,Am共共m个因素，它个因素，它们的的层次次总排序排序权值分分别为a1,am。又。又设其后的下一其后的下一层次（次（B层）包含）包含n个因素个因素B1,Bn，它，它们关于关于Aj的的层次次单排序排序权值分分别为b1j,bnj（当（当Bi与与Aj无关无关联系系时，bij = 0）。）。现求求B层中各因素关于中各因素关于总目目标的的权值，即求，即求B层各因素的各因素的层次次总排排序序权值b1,bn，计算按表算按表7.11所示方式所示方式进行行,即即 ，i =1,n。表表7.11bn mbn2

31、bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B层总排序排序权值Ama m A2a 2A1a1层A层B步步4 层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验最后，在步骤（最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。例如，例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施的例子，措施层层次次单排排序序权值的的计算如表算如表7.12所示。所示。 层C层PC1C2C3层P的的总排序排序权值0.1050.6370.258

32、P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层次次总排序也需作一致性排序也需作一致性检验，检验仍象仍象层次次总排序那排序那样由高由高层到低到低层逐逐层进行。行。这是因是因为虽然各然各层次均已次均已经过层次次单排序的一致性排序的一致性检验，各成各成对比比较判断矩判断矩阵都已具有都已具有较为满意的一致性。但当意的一致性。但当综合考察合考察时，各，各层次的非一致性仍有可能次的非一致性仍有可能积累起来，引起最累起来，引起最终分析分析结果果较严重的非一致重的非一致性。性。设B层中与中与Aj相关的因素的成相关的因素的成对比比较判断矩判断矩阵在在

33、单排序中排序中经一致性一致性检验，求得求得单排序一致性指排序一致性指标为CI(j)，(j =1,m)，相，相应的平均随机一致性指的平均随机一致性指标为RI(j) (CI(j)、RI(j)已在已在层次次单排序排序时求得求得)，则B层总排序随机一致性比排序随机一致性比率率为CR = 当当CR0，k=0。（步（步2）迭代计算）迭代计算 ，k = 0,1,。若若 ，i = 1,n，则取则取W= 为为A的对应于的对应于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2。（步（步3） 将将 标准化，即求标准化，即求 其中其中 为为 的第的第i个分量。个分量。（步（步4）求）求max的近似的近似值

34、对前面例子中的对前面例子中的OC判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ， =0.001，利用幂法求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：（第一次迭代）（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）（第二次迭代） (2) = (0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)T（第三次迭代）（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T， = 3.02，求得，求得W(3) = (0.105,0

35、.637,0.258)T（第四次迭代）（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)T因因 ，取，取W = W(4)。进而，可求得。进而，可求得 。3、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列标准化，即令的每一列标准化，即令 , i, j =1, ,n令令 。（步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i = 1, , n。（步（步3）将）将 标准化，得到准化，得到W，即，即 ，i = 1, , nW即为即为A的（对应于的（对应于ma

36、x的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步（步4）求最大特征根近似值）求最大特征根近似值 。仍以前面例子中的仍以前面例子中的OC判断矩阵为例：判断矩阵为例：按列标准化按列标准化 标准化标准化，以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一的非一致性越弱相差越小，而当致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。为一致矩阵时两者完全相同。按行相加按行相加三、层次分析法应用举例三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如何）如何根据实际情

37、况抽象出较为贴切的层次结构；（根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性的量）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思

38、维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现

39、再在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。例例7.14 招聘工作人员招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图7.9所示。所示。招聘人员综合情况招聘人员综合情况知识知识能力能力外表外表经经济济知知识识外外语语知知识识法法律律知知识识组组织织能能力力

40、公公关关能能力力计计算算机机操操作作气气质质身身高高体体形形C层层B层层A层层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成对层成对比较判断矩阵比较判断矩阵 求得求得max =3，CR = 0。1211121B1B2B3B3B2B1A类似建立似建立BC层

41、之之间的三个成的三个成对比比较矩矩阵: 注：注：权系数是根据后面的系数是根据后面的计算添加上去的算添加上去的 1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W = (0.186,0.737,0.077)T = 3.047, = 3.047, CRCR = 0.08 = 0.08W = ( , , )TW = (0.738,0.168,0.094)T = 3.017, = 3.017, CRCR = 0.08 = 0.08经层次次总排序，可求得排序，可求得C层中各因子中各因子Ci在在总目目标中的中的权重分重分别为：0

42、.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作九项指标作19级评分。设其得分为级评分。设其得分为X= (x1,x9)T，用公式，用公式y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 )+ 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9 计算总得分，以计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。作为应试者的综合指标，按高到低顺序录

43、用。例例7.15 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示所示。工作满意程度工作满意程度研究研究课题课题发展发展前途前途待待遇遇同事同事情况情况地理地理位置位置单位单位名气名气工作工作1工作工作2工作工作3目标层目标层A准则层准则层B方案层方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：133222B611

44、311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案（方案层） 12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3(层次次总排序排序)如表如表7.13所示。所示。 表表7.13准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330

45、.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限。（由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）止，本例省略了一致性检验）例例7.16 作品作品评比。比。 电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为由此可求得由此可求得W = (0.158,0.187,0.656)T，CR = 0.048 (

46、EV1, EV2 EV3，所以，剪掉状态结点V1和V3所对应的方案分枝，保留状态结点V2所对应的方案分枝。即该问题的最优决策方案应该是从国外引进生产线。例例4 4:某企业，由于生产工艺较落后，产品成本高，在价格保持中等水平的情况下无利可图，在价格低落时就要亏损，只有在价格较高时才能盈利。鉴于这种情况，企业管理者有意改进其生产工艺，即用新的工艺代替原来旧的生产工艺。 现在，取得新的生产工艺有两种途径：一是自行研制，但其成功的概率是0.6；二是购买专利，估计谈判成功的概率是0.8。 如果自行研制成功或者谈判成功，生产规模都将考虑两种方案：一是产量不变；二是增加产量。 如果自行研制或谈判都失败，则仍

47、采用原工艺进行生产，并保持原生产规模不变。 据市场预测，该企业的产品今后跌价的概率是0.1，价格保持中等水平的概率是0.5，涨价的概率是0.4。 表9.2.3给出了各方案在不同价格状态下的效益值。 试问，对于这一问题，该企业应该如何决策？ 解：解：这个问题是一个典型的多级（二级）风险型决策问题，下面仍然用树型决策法解决该问题。 (1)画出决策树（图9.2.3）。表9.2.3 某企业各种生产方案下的效益值(单位：万元) 方案效益价格状态（概率） (2) 计算期望效益值，并进行剪枝： 状态结点V7的期望效益值为 EV7(-200)0.1+500.5+1500.465（万元） 状态结点V8的期望效益

48、值为 EV8(-300)0.1+500.5+2500.495（万元） 由于EV8EV7，所以，剪掉状态结点V7对应的方案分枝，并将EV8的数据填入决策点V4，即令EV4EV895（万元）。 状态结点V3的期望效益值为 EV3(-100)0.1+00.5+1000.430（万元）。 所以，状态结点V1的期望效益值为 EV1=300.2+950.8=82(万元)。 状态结点V9的期望效益值为 EV9(-200)0.1+00.5+2000.460（万元）； 状态结点V10的期望效益值为 EV10(-300)0.1+(-250)0.5+6000.485（万元）。 由于EV10EV9，所以，剪掉状态结点

49、V9对应的方案分枝，将EV10的数据填入决策点V5。 即令EV5EV1085（万元）。状态结点V6的期望效益值为 EV6(-100)0.1+00.5+1000.430（万元）， 所以，状态结点V2期望效益值为 EV2=300.4+850.6=63(万元)。 由于EV1EV2, 所以，剪掉状态结点V2对应的方案分枝将EV1的数据填入决策点EV，即令 EVEV182（万元）。 综合以上期望效益值计算与剪枝过程可知，该问题的决策方案应该是：首先采用购买专利方案进行工艺改造，当购买专利改造工艺成功后，再采用扩大生产规模（即增加产量）方案进行生产。问题问题 某邮局要求当天收寄的包裹当天处理完毕。根据以往

50、统计记录，每天收寄包裹的情况见表收寄包裹收寄包裹数（个）数（个）41505160617071808190占的比例占的比例10%15%30%25%20%收寄包裹情况表收寄包裹情况表已知每个邮局职工平均每小时处理4个包裹，每小时工资为5元，规定每人每天实际工作7小时。如加班工作，每小时工资额增加50%，但加班时间每人每天不得超过5小时（加班时间以小时计，不足1小时按1小时计算）。试确定该邮局最优雇佣工人的数量。假设假设 设d1 表示方案“雇佣2个工人”； d2 表示方案“雇佣3个工人”。 表示收寄的包裹数位于区间 建模建模 因为每人每天最多处理的包裹数量为 （个)正常处理包裹数为47=28（个），

51、而每天需要处理的包裹数最多为90个。故我们只考虑两个方案d1，d2。将在不同状态不同方案下，邮局支付工人的工资数列成下表支付工资支付工资方案方案状态概率状态概率状态概率状态概率状态概率状态概率支付工资支付工资方案方案支付工资支付工资方案方案求解求解 根据期望值准则，若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为E(d1)=0.1070+0.1577.5+0.30100+ 0.25115+0.20137.5=104.875（元）若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为E(d2)=0.10105+0.15105+0.30105+ 0.25105+0.20120=108（元）因为E(d1) E(d2)，故从邮

52、局的角度看，最优雇佣工人的数量为2. 期望值准则可以借助“决策树”使决策问题形象直观，便于讨论。1 0.103 0.304 0.255 0.201 0.102 0.153 0.304 0.255 0.202 0.15d1d2104.875104.8757010877.5100115137.5105105105105120问题问题： 某土木工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，工程可确保在30天内按期完工，但是根据天气预报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气而不影响工期，有50%的可能遇到小风暴而使工期推迟15天，另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于可能出现的情况，

53、可虑两种方案：（1）提前紧急加班，确保工程在15天内完成，实施此方案将增加工资支付18千元。（2）先维持原定的施工进度，到15天后根据实际出现的天气状况再作对策。若遇到阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用；若遇到小风暴，则有两个备选方案（a）维持正常进度，支付工程延期损失费20千元；（b）采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24千元；有30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18千元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12千元。若遇到大风暴，则仍有两个方案可供选择（c）维持正常进度，支付工程延期损失费

54、用50 千元；（d）采用应急措施，实施此措施可能出现三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用54千元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用46千元； 有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费和应急费用38千元。试确定最佳方案。假设假设 设d1表示方案“提前紧急加班，确保工程在15天内完成”； d2表示方案“按原定速度施工15天，再根据实际出现的天气状况作决策”； d3表示方案“15天后遇到小风暴采取应急措施”； d4表示方案“15天后遇到小风暴仍维持正常度”；d5表示方案“15天后遇到大风暴采取应急措施”； d6表示方案“15天后遇到大风暴仍维持正

55、常进度”。i 表示“减少误工期i天”，i=1,2,3,4. 5表示“阴雨天气”， 6表示“小风暴”，7表示“大风暴”。 为解决这个复杂的决策问题，我们采用期望值准则。现在可能遇到的各种情况用决策树表示，如图所示（见下页）d1d2d3d4d5d6765 0.41 0.52 0.33 0.22 0.73 0.24 0.114.914.90.50.15019.850.8180241812205446385019.8求解求解 根据决策树，自右向左，计算各方案的期望值 E(d3)=0.524+0.318+0.212=19.8, E(d5)=0.754+0.246+0.138=50.8, E(d2)=0.

56、40+0.519.8+0.150=14.9. 因为E(d3) E(d6)=50， E(d2)0.33时，新建生产线（B1）为最佳方案； 当P0.375时方案d1是最优方案；当p0.656.5-0.351.2解之得x8.44，即在天气好的状况下，方案d1获得的利润大于8.44万元时，则方案d1仍为最佳方案，否则方案d2为最佳方案。五、效用分析法五、效用分析法 决策是由决策者自己做出的，决策者个人的主观因素不能不对决策过程产生影响。如果完全采用期望益损值作为决策准则，就会把决策过程变成机械地计算期望益损值的过程，而排除了决策者的作用，这当然是不科学的。 面对同一决策问题，不同的决策者对相同的利益和

57、损失的反应不同。即便是对于相同的决策者，在不同的时期和情况下，这种反应也不相同。这就是决策者的主观价值概念，即效效用值用值概念。效用值准则效用值准则效用值是风险决策中损益值在决策者心目中满意程度的度量尺度，它的大小反映了决策者对风险态度的数量指标。在一个决策过程中，习惯上把各种结局中最大收益值的效用定为1（最满意），把最小收益值的效用定为0（最不满意），并可通过与决策者对话来确定决策者对每个收益值的效用值，从而确定一个决策者的效用函数u（x），它满足0u（x）1. 在利用效用函数进行决策时，选用使效用值最大的方案为最优方案，称该准则为效用值准则。n画出效用曲线画出效用曲线 将效用理论应用于决策

58、过程的主要步骤: 以益损值为横坐标，以效用值为纵坐标。规定：益损值的最大效用值为1，益损值的最小效用值为0，其余数值可以采用向决策者逐一提问的方式确定。 曲线A是保守型决策者的效用曲线，不求大利，尽量避免风险，谨慎小心；曲线C是风险型决策者的效用曲线，谋求大利，不惧风险；曲线B是中间型决策者的效用曲线。n按效用值进行决策按效用值进行决策 找出每一个行动方案在不同状态下的益损值的效用值； 计算各个行动方案的期望效用值； 选择期望效用值最大的方案作为最佳决策方案。 可见，效用分析法对于方案的选择，不但考虑了决策问题的客观情况，还考虑了决策者的主观价值，即效用值，是一种更符合实际的决策分析方法。效用

59、函数效用函数（曲线），是对决策问题进行效用分析的关键。 问题问题 设某工厂正在考虑是现在还是明年扩大生产规模问题。由于可能出现的市场需求情况不一样，预期利润也不同。已知市场需求为高（1），中（2），低（3）的概率以及不同方案时的预期利润（单位：万元）见下表：现在扩大明年扩大1，p(1)=0.21082，p(2)=0.5863，p(3)=0.3-11状态及概率状态及概率方案方案利润利润决策收益表决策收益表对该厂来说，损失1万元的效用值为0，获利10万元的效用值为1，对以下事件效用值无差别：（1）肯定得8万元和以概率0.9得10万元，以概率0.1损失1万元。（2）肯定得6万元和以概率0.8得10万

60、元，以概率0.2损失1万元。（3）肯定得1万元和以概率0.25得10万元，以概率0.75损失1万元。试确定最佳方案。0.655d1 d2 0.650.6551 0.22 0.53 0.31 0.22 0.53 0.310 (1)8 (0.9)-1 (0)8 (0.9)6 (0.8)6 (0.25)假设假设 设d1表示方案“现在扩大”； d2表示方案“明年扩大”。各种状态出现的概率及利润如下图求解求解 根据效用值准则，由条件知， u(-1)=0，u(10)=1所以 u(8)=0.9u(10)+0.1u(-1)=0.9 u(6)=0.8u(10)+0.2u(-1)=0.8 u(1)=0.25u(1

61、0)+0.75u(-1)=0.25将这些效用值标在利润值右边的括号内，因为方案“现在扩大”的效用值为 0.21+0.50.9+0.30=0.65方案“明年扩大”的效用值为 0.20.9+0.50.8+0.30.250.65所以“明年扩大”是最佳方案。效用值准则充分体现了决策者的意愿，不同的决策者由于对风险的态度不同，选择的最佳方案不同。 若根据期望值准则，因为方案d1的平均利润为E(d1)=0.210+0.58+0.3(-1)=5.7（万元） 方案d2的平均利润为E(d2)=0.28+0.56+0.31=4.9（万元）因为E(d1)E(d2)，所以选择方案d1“现在扩大”为最佳方案。n作业作业 有一种游戏分两个阶段进行。第一阶段，参加者需先付10元，然后从含45%白球和55%红球的罐子中任摸一球，并决定是否继续第二阶段。如继续需再付10元，根据第一阶段摸到的球的颜色在相同颜色罐子中再摸一球。已知白色罐子中含有70%蓝球和30%绿球，红色罐子中含10%蓝球和90%绿球。当第二阶段摸到蓝球时，参加者可获奖50元，如摸到的是绿球或不参加第二阶段游戏的均无所得。试用决策树法确定参加者的最优策略。演讲完毕，谢谢观看！