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1、1 行列式一、二阶行列式概念： 形如11122122aaaa的式子称为二阶行列式；数学规定1112112212212122aaa aa aaa；二、三阶行列式： 形如111213212223313233aaaaaaaaa的式子称为三阶行列式。规定111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a
2、222323212122111213323333313132aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A三、n 阶行列式的定义定义： n 阶行列式111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212nppnpaaaL的代数和，其中 p1 p2 pn是 1， 2， ，n 的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDa aaa aaaLLLL
3、LMMOML也可简记为 detija，其中ija为行列式 D 的（i，j 元） 。根据定义，有121212111212122212121LLLLLMMOMLnnnnt p ppnppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM四、行列式按行（列）展开精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 余子式在 n阶行列式中，把元素ija所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM。代数余子式1ijijijAM记
4、，叫做元素ija的代数余子式。确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式； 而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列) 有关，其代数余子式的正负号是“( 1)ij” 引理一个 n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（ i，j）( , )i j 元外ija都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDa A。定理 n阶行列式111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行 （列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDa Aa
5、Aa AL，(1,2, )inL1122jjjjnjnjDa AaAa AL或，(1,2, )jnL。五、行列式的性质定义行列互换，行列式不变即nnaaaaaaaaaaaaaaaaaan2n1n22212n12111nnn2n12n22211n1211 . 记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOM，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML，行列式TD 称为行列式 D 的转置行列式。性质 1行列式与它的转置行列式相等。TDD性质 2 行列式的两行对换，其值变号。即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
6、- - - - -第 2 页，共 5 页3 nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211=-nnnniniiknkknaaaaaaaaaaaa21212111211. 性质 3一个数乘行列式的一行（或列） ，等于用这个数乘此行列式即nnn2n1ini2i1n11211kkkaaaaaaaaaknnaaaaaaaaan2n1ini2i1n11211. 性质 4行列式中的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面 ;性质 5行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零即00000nn1-nn,n2n1n11-n, 11211aaaaaaaa. 性质 6如果行列式中有两
7、行（或列）对应元素相同或成比例 ，那么行列式为零即kaaakakakaaaaaaannnniniiiniin21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa21212111211=0. 性质 7若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和。1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaaLLLLMMMMLL1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
8、LL性质 8把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 列式的值不变。nnnnknkkkninkikinaaaaaacaacaacaaaaa2121221111211nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211. 性质 9 行列式中按任一行展开，其值相等，按任一列展开也一样。六、几个特殊的行列式： 主对角行列式：主对角元素的乘积； 副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n； 上、下三角行列式（）：主对角元素
9、的乘积；形如nnnnnaaaaaaaaaa333223221131211，nnnnnaaaaaaaaaa321333231222111这样的行列式， 形状像个三角形， 故称为“三角形”行列式推论 1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDa aaa aaaLLLLLMMOML推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于121n n乘以其副对角线上各元的乘积。即1212nnLO，1122121n nnnLN七、行列式的计算：利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 . 该方法适用于低阶行列式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nnnnnaaaaaaaaaaaaa2211nn333223221131211000000，nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa2211321333231222111000000. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
