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1、第第1616课时等腰三角形课时等腰三角形赣赣 考考 解解 读读赣赣 考考 解解 读读考考 点点 聚聚 焦焦考考 点点 聚聚 焦焦赣赣 考考 探探 究究赣赣 考考 探探 究究第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣赣 考考 解解 读读赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究第第16课时等腰三角形课时等腰三角形考考 点点 聚聚 焦焦赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究考点考点1 1垂直平分线的性质和判定垂直平分线的性质和判定1 1如图如图16161 1所示，在所示，在ABCABC中，边中，边ABAB的垂直平分线的垂直平分线DEDE交交ACAC于点于点E E，ABCABC的周长为的
2、周长为28 cm28 cm，ABAB10 cm10 cm，则，则BCEBCE的周长为的周长为 ( () )A A10 cm B10 cm B18 cm18 cmC C28 cm D28 cm D38 cm38 cm图图161B第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究2 2如如图图16162 2所所示示，用用两两根根钢钢索索加加固固直直立立的的电电线线杆杆ADAD，若若要要使使钢钢索索ABAB与与ACAC的的长长度度相相等等，需需使使BD_CDBD_CD，理理由由是是_图图16162 2 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上
3、的点到这条线段两个端点的距离相等 第第16课时等腰三角形课时等腰三角形【归纳总结归纳总结】赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究垂直平分线的性质垂直平分线的性质垂直平分线的判定垂直平分线的判定线段垂直平分线上的点到这条线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离线段两个端点的距离_到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的的点，在这条线段的_上上相等相等 垂直平分线垂直平分线 第第16课时等腰三角形课时等腰三角形考点考点2 2等腰三角形的定义及性质等腰三角形的定义及性质 赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究1 1已已知知等等腰腰三三角角形形的的
4、一一个个底底角角为为8080，则则这这个个等等腰腰三三角角形形的顶角为的顶角为( () )A A2020 B B4040 C C5050 D D8080A A第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究2 2等等腰腰三三角角形形的的两两条条边边长长分分别别为为5 5 cmcm和和6 6 cmcm，则则它它的的周周长长是是_3 3已已知知等等腰腰三三角角形形ABCABC的的腰腰ABABACAC10 10 cmcm，底底边边BCBC12 12 cmcm，则，则ABCABC的角平分线的角平分线ADAD的长是的长是_ cm._ cm.2.16 2.16 cmcm
5、或或17 17 cmcm 8 第第16课时等腰三角形课时等腰三角形【归纳总结归纳总结】赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究1 1等等腰腰三三角角形形的的定定义义：_的的三三角角形形是是等等腰三角形腰三角形2 2等腰三角形的性质等腰三角形的性质(1)(1)等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角_；(2)(2)等等腰腰三三角角形形的的顶顶角角平平分分线线、底底边边上上的的中中线线、底底边边上上的高相互重合，简称的高相互重合，简称_；(3)(3)等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴条对称轴有两条边相等有两条边相等 相等相等 三线合一三线合一 1 第第16课时等
6、腰三角形课时等腰三角形考点考点3 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究1 1根据下列条件，能判断根据下列条件，能判断ABCABC是等腰三角形的是是等腰三角形的是( () )A AAA8080，BB6060B BAA7070，BB4040C CAA3030，BB9090D DAA5050，BB7070B B第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究2 2如如图图16163 3所所示示，在在ABCABC中中，ADBCADBC于于点点D.D.请请你你再再添添加加一一 个个 条条 件件 ， 使使 ABCABC是是
7、等等 腰腰 三三 角角 形形 你你 添添 加加 的的 条条 件件 是是_图图163答案不唯一，如答案不唯一，如BDBDCDCD或或BADBADCADCAD第第16课时等腰三角形课时等腰三角形考点考点4 4等边三角形的性质及其判定等边三角形的性质及其判定 赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究1 1边边长长为为6 6 cmcm的的等等边边三三角角形形中中，其其一一边边上上的的高高的的长长度度为为_2 2如如图图16164 4，在在ABCABC中中，点点D D是是ABAB上上的的一一点点，且且ADADDCDCDBDB，BB3030. .求证：求证：ADCADC是等边三角形是等边三角形图图
8、164第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究证证明明：DCDCDBDB，B BDCBDCB3030.ADC.ADCDCBDCBB B6060. .又又ADADDCDC，ADCADC是等边三角形是等边三角形第第16课时等腰三角形课时等腰三角形【归纳总结归纳总结】赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的判定等边三角形的判定(1)(1)等边三角形的各角都等边三角形的各角都_，并且每，并且每个角都个角都等于等于_；(2)(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，有有_条对称轴条对称轴(1)(1
9、)三边都相等的三角形是等三边都相等的三角形是等边三角形；边三角形；(2)(2)三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形；(3)(3)有一个角等于有一个角等于_的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形相等相等 60 3 60 第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣赣 考考 探探 究究探究一探究一 线段垂直平分线的有关计算题线段垂直平分线的有关计算题赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究例例1 1 如图如图16165 5所示，所示，ABABACAC，ABAB的垂直平分线的垂直平分线MNMN交交ACAC于点于点D D，且，且ABAB15 15 cmcm，B
10、DCBDC的周长为的周长为25 25 cmcm，求，求BCBC的长的长图图165 解析解析 根据根据MNMN是是ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，可得可得BDBDAD.AD.故故ACACADADCDCDBDBDCD.CD.而而BCDBCD的周长为的周长为25 25 cmcm，ABABACAC15 15 cmcm，由此可求由此可求BCBC的长的长第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究解：因为解：因为MNMN是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，所以所以BDBDAD.AD.又因为又因为ABABACAC15 cm15 cm，所以所以ACACA
11、DADCDCDBDBDCDCD15 cm.15 cm.又因为又因为BCDBCD的周长的周长BDBDCDCDBCBC25 cm25 cm，所以所以BCBC2525151510(cm)10(cm)第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究这这里里没没有有单单独独求求BDBD，CDCD的的长长度度，而而是是求求BDBDCDCD的的长长度度，这这是是数数学学中中常常用用的的整整体体求求解解法法同同时时，利利用用线线段段垂垂直直平平分分线线的性质将的性质将BDBDCDCD转化为转化为ACAC，体现了转化思想的应用，体现了转化思想的应用第第16课时等腰三角形课时等
12、腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究探究二探究二 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例2 2 20142014扬州扬州 若等腰三角形的两条边长分别为若等腰三角形的两条边长分别为7 7 cmcm和和14 14 cmcm，则它的周长为，则它的周长为_cmcm. .35 解析解析 分两种情况讨论：分两种情况讨论：(1)(1)若等腰三角形的两条腰长为若等腰三角形的两条腰长为7 7 cmcm，底边长为，底边长为14 14 cmcm，因为，因为7 77 71414，所以这个三角形不存在；，所以这个三角形不存在；(2)(2)若等腰三角形的两条腰长为若等腰三角形的两条腰长为14
13、14 cmcm，底边长为，底边长为7 7 cmcm，因为，因为1414147147，所以该三角形存在，其周长为，所以该三角形存在，其周长为35 35 cmcm. .第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究当当已已知知等等腰腰三三角角形形的的两两条条边边长长时时，若若没没有有明明确确边边的的类类型型，要要分分已已知知边边是是底底边边还还是是腰腰两两种种情情况况进进行行讨讨论论，再再根根据据三三角角形形三三边边关关系系：三三角角形形的的任任意意两两边边之之和和大大于于第第三三边边；三三角角形形的的任任意两边之差小于第三边，作出判断意两边之差小于第三边，作
14、出判断第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究变式题变式题20142014 吉安模拟吉安模拟 已知等腰三角形的一个内角为已知等腰三角形的一个内角为7070，则，则另外两个内角的度数是另外两个内角的度数是( () )A A5555，5555 B B7070，4040C C5555，5555或或7070，4040 D D以上都不对以上都不对C第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究探究三探究三 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 例例3 3 20142014 苏州苏州 如图如图16166 6所示，在所示，在ABC
15、ABC中，点中，点D D在在BCBC上，上，ABABADADDCDC，B B8080，则，则C C的度数为的度数为( () )A A3030B B4040C C4545D D6060图图166B第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究 解析解析 在在ABDABD中，中，ABABADAD，则，则ADBADBB B8080. .在在ADCADC中，中，ADADDCDC，则，则DACDACC.C.又又ADBADBDACDACC C，所以，所以B B2C2C，即，即C C4040，故选择，故选择B.B.第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点
16、聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究解解这这类类题题的的关关键键是是灵灵活活运运用用等等腰腰三三角角形形的的性性质质，同同时时要要结合三角形内角和及平行线的性质结合三角形内角和及平行线的性质第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究探究四探究四 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 例例4 4 20142014 襄阳襄阳 如图如图16167 7所示，在所示，在ABCABC中，点中，点D D，E E分分别在边别在边ACAC，ABAB上，上，BDBD与与CECE交于点交于点O O，给出下列三个条件：，给出下列三个条件：EBOEBODCODCO；BEBECDCD；OBO
17、BOC.OC.(1)(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABCABC是等腰是等腰三角形？三角形？( (用序号写出所有成立的情形用序号写出所有成立的情形) )(2)(2)请选择请选择(1)(1)中的一种情形，写出证明过程中的一种情形，写出证明过程第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究图图167第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究 解析解析 由条件由条件，加上对顶角相等，可证，加上对顶角相等，可证BOECODBOECOD，得，得OBOBOCOC，进而可得，进而可得
18、OBCOBCOCBOCB，所以，所以ABCABCACBACB，故，故ABCABC是等腰三角形是等腰三角形由条件由条件得得1 12 2，由条件，由条件EBOEBODCODCO，可得，可得ABCABCACBACB，所以，所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究判判定定一一个个三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形的的方方法法：直直接接证证明明三三角角形
19、形的的两两条条边边相相等等；证证明明三三角角形形的的两两个个角角相相等等本本题题属属于于条条件件开开放放型型问问题题，按按照照题题目目要要求求，选选择择两两个个条条件件，使使得得结结论论成成立立这这种种问问题题一一般般应应将将所所给给条条件件进进行行组组合合，看看有有几几种种不不同同的的组组合合，再再看看哪哪些些组组合合可可以以满满足足要要求求，然然后后将将符符合合要要求求的的组组合合挑出来作为答案挑出来作为答案第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究变式题变式题20132013 萍乡模拟萍乡模拟 如图如图16168 8，已知，已知ACBCACBC，
20、BDADBDAD，ACAC与与BDBD交于点交于点O O，ACACBD.BD.求证：求证：(1)BC(1)BCADAD；(2)OAB(2)OAB是等腰三角形是等腰三角形图图168第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究证明：证明：(1)ACBC(1)ACBC，BDADBDAD，D DC C9090. .在在RtRtACBACB和和RtRtBDABDA中，中，ABABBABA，ACACBDBD，RtRtACBACBRtRtBDA(BDA(HLHL) )BCBCAD.AD.(2)(2)由由RtRtACBACBRtRtBDABDA，得，得CABCABDBA
21、DBA，OAOAOBOB，OABOAB是等腰三角形是等腰三角形第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究探究五探究五 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定例例5 5 如图如图16169 9，点，点C C为线段为线段ABAB上一点，上一点，ACMACM，CBNCBN是等是等边三角形，边三角形，ANAN交交CMCM于点于点E E，BMBM交交CNCN于点于点F.F.求证：求证：(1)CE(1)CECFCF；(2)EFAB.(2)EFAB.图图169第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究 解析解析 (1)
22、 (1)由等边三角形的性质证得由等边三角形的性质证得ACNACN与与MCBMCB全等，全等，得到相等的角，再通过证得到相等的角，再通过证ACEACE与与MCFMCF全等，证得结论；全等，证得结论；(2)(2)先先证证CEFCEF是等边三角形，通过特殊角证明角相等，得到平行线是等边三角形，通过特殊角证明角相等，得到平行线第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究证明：证明：(1)ACM(1)ACM，CBNCBN是等边三角形，是等边三角形，ACACMCMC，CNCNCBCB，ACMACMNCBNCB6060，MCNMCN6060，ACNACNMCB.MCB
23、.ACNMCBACNMCB，CANCANCMB.CMB.由由“角边角角边角”易得易得ACEMCFACEMCF，CECECF.CF.(2)CE(2)CECFCF，ECFECF6060，CEFCEF是等边三角形，是等边三角形，EFCEFC6060NCBNCB，EFAB.EFAB.第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究变式题变式题如图如图161610(a)10(a)，在等边三角形，在等边三角形ABCABC的边的边ACAC的延长线上取一的延长线上取一点点E E，以，以CECE为边作等边三角形为边作等边三角形CDECDE，使它与，使它与ABCABC位于直线位
24、于直线AEAE的同的同侧，连接侧，连接ADAD，EBEB，交于点，交于点R R，ADAD交交BCBC于点于点P P，BEBE交交CDCD于点于点Q.Q.(1)(1)同学们对图同学们对图(a)(a)进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有你认为正确的有_( (填序号填序号) )ACDBCEACDBCE；ACPBCQACPBCQ；DCPECQDCPECQ；ARBARB6060；CPQCPQ是等边三角形是等边三角形第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究(2)(2)当等边三角形当等边三角形CEDCED绕点绕点C C
25、旋转一定角度后旋转一定角度后( (如图如图(b)(b)，(1)(1)中有哪些结论仍成立？并选择其中一个成立的结论进行证明中有哪些结论仍成立？并选择其中一个成立的结论进行证明图图1610第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究解：解：(1)(1)(2)(2)仍成立证明如下：仍成立证明如下：由已知由已知ACACBCBC，CDCDCECE，ACPACPECQECQ6060，ACDACDBCE.BCE.ACDBCEACDBCE，PBRPBRPACPAC，又又BPRBPRAPCAPC，第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究在在BPRBPR和和APCAPC中有两对角相等，中有两对角相等，由由三三角角形形内内角角和和为为定定值值180180，可可得得ARBARBACBACB6060. .第第16课时等腰三角形课时等腰三角形赣考解读赣考解读考点聚焦考点聚焦赣考探究赣考探究等等边边三三角角形形的的三三边边相相等等并并且且每每个个角角都都等等于于6060，所所以以要要充分利用等边三角形的性质，证明全等或者构造全等充分利用等边三角形的性质，证明全等或者构造全等
