2022年二次函数与四边形的动点问题

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1、学习必备欢迎下载72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 二次函数与四边形的动点问题一 二次函数与四边形的形状例 1. 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（ A点在 B点左侧），直线l与抛物线交于A 、C两点，其中C点的横坐标为2（ 1）求 A、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标； 如果不存在，请说明理

2、由练习 1.(如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（ 1）求抛物线解析式及顶点坐标；（ 2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎

3、下载练习 2. 如图，已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B，的抛物线1l的顶点为(3 4)C，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C（ 1）求抛物线2l的函数关系式；（ 2）已知原点O，定点(0 4)D，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？（ 3）在2l上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由练习 3.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A，( 2 0)B，(0 8)E，（ 1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（

4、 2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（ 3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（ 4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由543211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC1O2l1lxy精

5、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载二 二次函数与四边形的面积例 1. 如图 10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a 0) 与 x 轴交于 A、B两点 ( 点 A在 x 轴的正半轴上 ) ，与 y 轴交于点C，矩形 DEFG的一条边DE在线段 AB上，顶点F、G分别在线段BC 、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -520 (1) 求 A、B、C三点的坐标；(2) 若点 D的坐标为 (m，0) ，矩形 DEFG 的面积为S，求 S与 m的函数关

6、系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S取最大值时， 连接 DF并延长至点M ， 使 FM=k DF，若点 M不在抛物线P上，求 k 的取值范围 . 练习 1.如图， 平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为 （ 8，0），点N的坐标为 （6， 4）（ 1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（ 2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（ 3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并

7、写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（ 4）在（3）的情况下， 四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在， 请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由图 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载练习 3.如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，

8、设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（ 1）当01x时，求y与x之间的函数关系式；（ 2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（ 3）当12x时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围；（ 4）当02x时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象练习 4.如图，已知抛物线l1：y=x2-4 的图象与x 轴相交于A、C 两点， B 是抛物线l1上的动点 (B 不与 A、C 重合 )，抛物线l2与 l1关于 x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D. (1) 求 l2的解析式；(2) 求证：点D 一定在 l2上；(3) ABCD能否为

9、矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由 . 注：计算结果不取近似值. B C P O D Q A B P C O D Q A y321O12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载三二次函数与四边形的动态探究例 1. 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点 (与点 O、A 不重合 )现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB ；再在 O

10、C 边上选取适当的点E，将 POE 沿 PE 翻折，得到PFE，并使直线PD 、PF 重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点D 落在 BC 边上，求过点P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标例 2.已知抛物线yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（ OBOC）是方程x21

11、0x16 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 2（ 1）求 A、B、C 三点的坐标；（ 2）求此抛物线的表达式；（ 3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），过点E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为S，求 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（ 4）在（ 3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由图 2 OCABxyDPEF图 1 FEPDyxBACO精选学习资料 - - - - -

12、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载例 3.如图，矩形 ABCD 中，AB3， BC4， 将矩形 ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH（ A、E、C、G 始终在同一条直线上），当点E 与 C 重时停止移动平移中EF 与 BC 交于点 N，GH与 BC 的延长线交于点M，EH 与 DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点Q设 S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC 的面积（ 1） S与S相等吗？请说明理由（ 2）设 AEx，写出 S和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S有最大值，最大值是多少？（ 3）

13、如图 11，连结 BE，当 AE 为何值时，ABE是等腰三角形练习 1. 如图 12， 四边形 OABC 为直角梯形， A（4，0）， B（3，4）， C（0，4）点M从O出发以每秒2 个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1 个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC 交 NP 于 Q，连结 MQ（ 1）点（填 M 或 N）能到达终点；（ 2）求 AQM 的面积 S与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，当t 为何值时， S的值最大；（ 3）是否存在点M，使得 AQM 为直角三角形？若存在，求出点

14、M 的坐标，若不存在，说明理由xNMQPHGFEDCBA图 11 QPNMHGFEDCBA图 10 图 12 yxPQBCNMOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载练习 2.实验与探究（ 1）在图 1，2，3 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示），写出图1，2，3 中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；（ 2）在图4 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含abcdef， ， ， ， ，的代数式表示）；归纳与发现（

15、3）通过对图1，2，3，4 的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef，（如图 4）时，则四个顶点的横坐标acme， ，之间的等量关系为； 纵坐标bdnf， ， ，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（ 4） 在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个点15192222GccScc，(20)Hc，（其中0c）问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标yC()A(4 0)D，(12)B ，Ox图 1 yC()

16、A(0)D e ，()B cd，Ox图 2 yC()A ab，()D eb，()B cd，Ox图 3 yC()A ab，()D ef，()Bc d，Ox图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 答案：一 二次函数与四边形的形状例 1.解：（ 1）令 y=0，解得11x或23xA（-1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标x=2 代入223yxx得 y=-3， C （2，-3） 直线 AC 的函数解析式是y=-x-1 （ 2）设 P 点的横坐标为x（-

17、1 x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2( ,23)x xxP 点在 E 点的上方， PE=22(1)(23)2xxxxx当12x时， PE的最大值 =94（ 3）存在 4 个这样的点F，分别是1234(1,0),( 3,0),(470),(47,0)FFFF，练 习1. 解 ： （ 1 ） 由 抛 物 线 的 对 称 轴 是72x， 可 设 解 析 式 为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（ 2）点( , )E x y在抛

18、物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx， y0, y 表示点 E到 OA的距离 OA 是OEAF的对角线，2172264()2522OAESSOAyy因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（ 6，0），所以，自变量x的取值范围是1x6根据题意，当S = 24 时，即274()25242x化简，得271().24x解之，得123,4.xx故所求的点E 有两个，分别为E1（3， 4）， E2（4， 4）点 E1（3， 4）满足 OE = AE，所以OEAF是菱形；点 E2（4， 4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形当 OA EF，且 OA = EF 时，OEAF是正方

19、形，此时点E的坐标只能是（3， 3）1 2 3 4 5 E2ly精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载543211 2 3 D5 5 4 3 2 1 ACEMBC1O2l1lxy而坐标为（ 3， 3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形练习 2.解： （1）由题意知点C的坐标为(34)，设2l的函数关系式为2(3)4ya x又点(10)A ，在抛物线2(3)4ya x上，2(13)40a，解得1a抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）（ 2）P与P始终关于x轴对称，

20、PP与y轴平行设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265mm，4OD，22654mm，即2652mm 当2652mm时 ， 解 得36m 当2652mm时 ， 解 得32m当点P运动到(36 2)，或(36 2)，或(322)，或(322)，时，P POD，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形（ 3）满足条件的点M不存在理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM112122EBBM，3EM，4OE点M的坐标为(43)，但是，当4x时，246451624533y不存在这样的点M构成满足

21、条件的直角三角形练习 3. 解 （1）点( 4 0)A，点( 2 0)B，点(0 8)E，关于原点的对称点分别为(4 0)D，(2 0)C，(08)F， 设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc，解得168abc，所以所求抛物线的解析式是268yxx（ 2）由（ 1）可计算得点( 31)(31)MN，过点N作NHAD，垂足为H精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt根据中心对称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA是

22、平行四边形所以2ADNSS所以，四边形MDNA的面积2(82 )(12 )4148Stttt 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t（ 3）781444St，（04t）所以74t时，S有最大值814提示：也可用顶点坐标公式来求（ 4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由 （2） 知四边形MDNA是平行四边形， 对角线是ADMN， 所以当ADMN时四边形MDNA是矩形所以ODON所以2222ODONOHNH所以22420tt解之得126262tt，（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t点评 本题以二次函数为背

23、景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二 二次函数与四边形的面积例 1. 解： （1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取 x,y 的三组值代入，求出解析式2142yxx=+-，令 y=0，求出124,2xx= -=；令 x=0，得 y=-4 ， A、B、 C三点的坐标分别是A(2，0) ，B(-4 ，0) ，C(0， -4) . 解法二：由抛物线P过点 (1 ，-52) ，(-3 ，52-) 可知，抛物线 P的对称轴方程为x=-1 ，又抛物线 P过(2 ，0)、 (-2 ，-4) ，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C的坐标分别为 A(2 ，0) ，

24、B(-4 ，0) ，C(0，-4) . （ 2）由题意，ADDGAOOC=，而 AO=2 ，OC=4 ，AD=2-m ，故 DG=4-2m ，又BEEFBOOC=， EF=DG ，得 BE=4-2m ， DE=3m，DEFGs=DG DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0 m 2) . 注：也可通过解RtBOC及 Rt AOC ，或依据 BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3) SDEFG=12m-6m2 (0 m 2) ， m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 1

25、9 页学习必备欢迎下载当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0) ，G(1， -2) ，F(-2 ，-2) ，E(-2 ，0) ，设直线 DF的解析式为y=kx+b，易知， k=23，b=-23，2233yx=-，又可求得抛物线P的解析式为：2142yxx=+-，令2233x-=2142xx+-，可求出3611x. 设射线 DF与抛物线P相交于点N ，则 N的横坐标为1613-，过 N作 x 轴的垂线交x 轴于 H，有FNHEDFDE=161233-=5619-+，点 M不在抛物线P上，即点 M不与 N重合时，此时k 的取值范围是k5619-+且 k0. 说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.

26、若选择另一问题：(2) ADDGAOOC=，而 AD=1 ，AO=2 ，OC=4 ，则 DG=2 ，又FGCPABOC=， 而 AB=6 ， CP=2 ，OC=4 ，则 FG=3 ，DEFGs=DG FG=6.练习 1. 解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1 分A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（ 6，4），C（8，0） 3 分（写错一个点的坐标扣1 分）（ 2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4），则抛物线关系式为 4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19

27、页学习必备欢迎下载将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5 AB，垂足为G，则 sinFEG sinCAB分解得 6 分所求抛物线关系式为： 7 分（ 3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8 分OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA（ 0 4） 10分 当时，S的取最小值又 0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12 分（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG 14 分练习 3.解 （1）当01x时，2APx，AQx，212yAQ APx，即2yx（ 2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx，43

28、x（ 3）当413x时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习必备欢迎下载即32yx作OEAB，E为垂足当423x时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x，即32yx90180POQ或180270POQ（ 4）如图所示：练习 4.解 (1)设 l2的解析式为y=ax2+bx+c(a0)， l1与 x 轴的交点为A(- 2，0)，C(2，0)，顶点坐标是 (0，- 4)，l2与 l1关于 x 轴对称， l

29、2过 A(- 2,0),C(2,0)，顶点坐标是 (0，4)，420,420,4.abcabcc a=- 1,b=0,c=4，即 l2的解析式为y= - x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点 B(m，n)为 l1：y=x2- 4 上任意一点，则n= m2- 4 (* ). 四边形 ABCD 是平行四边形，点A、C 关于原点 O 对称， B、 D 关于原点O 对称， 点 D 的坐标为 D(- m,- n) . 由 (*)式可知，- n=-( m2- 4)= -(-m)2+4，即点 D 的坐标满足y= - x2+4， 点 D 在 l2上. (3) ABCD 能为矩形

30、 . 过点 B 作 BHx 轴于 H，由点 B 在 l1：y=x2- 4 上，可设点B 的坐标为(x0，x02- 4)，则 OH=| x0|，BH=| x02- 4| . 易知，当且仅当BO= AO=2 时，ABCD 为矩形 . 在 RtOBH 中，由勾股定理得，| x0|2+| x02- 4|2=22，(x02- 4)( x02- 3)=0， x0= 2(舍去 )、x0= 3 . 所以，当点B 坐标为 B(3 ，- 1)或 B(-3 ，- 1)时，ABCD 为矩形，此时，点D 的坐标分别是D(-3 ， 1)、D ( 3 ，1). 因此，符合条件的矩形有且只有2 个，即矩形ABCD 和矩形 A

31、BCD . 设直线 AB 与 y 轴交于 E ，显然， AOEAHB，EOAO= BHAH，1223EO. EO=4- 23 . 由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形 ABCD 重合部分是菱形，其面积为S=2S ACE=212AC EO =2 12 4 (4-23 )=16 - 8 3 . 三 二次函数与四边形的动态探究321O12xy43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习必备欢迎下载例 1.解： (1)由已知 PB 平分 APD， PE 平分 OPF，且 PD、PF 重合，则 BPE=90 OPE APB

32、=90 又 APB ABP=90 ， OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyx y=2114(4)333xxxx(0x4)且当 x=2 时， y 有最大值13(2)由已知， PAB、 POE 均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abcy=213122xx(3)由(2)知 EPB=90 ，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点 (0， 1)将 PB 向上平移2 个单位则过点E(0，1)，该直线为y=x1由21,131,22y

33、xyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件例 2.解：（ 1）解方程x210x160 得 x1 2，x281 分点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0，8）又抛物线yax2bxc 的对称轴是直线x 2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0）4 分（ 2）点 C（0，8）在抛物线yax2 bxc 的图象上 c8，将 A（ 6，0）、 B（2，0）代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为yx2 x87 分（ 3）依题意， AEm，则 BE8m，精选学习资料 - - -

34、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习必备欢迎下载 OA6，OC 8， AC10 EFAC BEF BAC即 EFFG8m SSBCESBFE（8m） 8（8m）（ 8m）（8 m）（ 8 8m）（8m） mm2 4m 10 分自变量 m 的取值范围是0m811 分（ 4）存在理由： Sm24m（m4） 28且0，当 m4 时， S有最大值， S最大值 812 分 m4，点 E 的坐标为（2，0） BCE 为等腰三角形14 分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）例 3 解: （1）相等理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是

35、矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习必备欢迎下载所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS即：SS（ 2）AB3，BC4，AC5，设 AEx，则 EC5 x，34(5),55PCxMCx所以12(5)25SPC MCxx，即21212(05)255Sxxx配方得：2125()3252Sx，所以当52x时，S有最大值3 （ 3）当 AEAB3 或 AE BE52或 AE3.6 时，ABE是等腰三角形练习 1 解：（ 1）点M1 分（ 2）经过

36、 t 秒时，NBt，2OMt则3CNt，42AMtBCA=MAQ=453QNCNt1PQt11(42 )(1)22AMQSAM PQtt22tt2219224Sttt02t 当12t时， S的值最大（ 3）存在 设经过 t 秒时， NB=t，OM= 2t 则3CNt，42AMtBCA=MAQ=45若90AQM，则PQ是等腰 RtMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线12PQAPMA11(42 )2tt12t点M的坐标为（ 1，0）若90QMA，此时QM与QP重合QMQPMA142tt1t点M的坐标为（ 2，0）练习 2.解：（ 1）()ecd，()cead，（ 2）分别过点ABCD， ， ，

37、作x轴的垂线，垂足分别为1111ABCD，分别过AD，作1AEBB于E，1DFCC于点F在平行四边形ABCD中，CDBA，又11BBCC，180EBAABCBCFABCBCFFCDEBAFCD又90BEACFD，BEACFDAFDFac，BECFdb设()C xy，由exac，得xecayC()A ab，()D ef，()B cd，EF1B1A1C1DOx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习必备欢迎下载由yfdb，得yfdb()C ecafdb，（ 3）mcea，ndfb或mace，nbdf（ 4）若GS为平行

38、四边形的对角线，由（3）可得1( 2 7 )Pcc，要使1P在抛物线上，则有274(53)( 2 )ccccc，即20cc10c（舍去），21c此时1( 2 7)P，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32 )Pcc，同理可得1c，此时2(3 2)P，若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得(2 )cc，同理可得1c，此时3(12)P，综上所述， 当1c时，抛物线上存在点P，使得以GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有1( 2 7)P，2(3 2)P，3(12)P，练习 3.解：由RtAOB RtCDA得OD=2+1=3,CD=1 C 点坐标为 (3,1), 抛物线经过

39、点C, 1= (3)2 a(3) 2，21a。抛物线的解析式为221212xxy. 在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。以 AB 边在 AB 右侧作正方形ABPQ 。过 P 作 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证 PBE AQG BAO ， PEAG BO 2，BEQG AO1， P 点坐标为（ 2,1）， Q 点坐标为（ 1,1）。由（ 1）抛物线221212xxy。当 x2 时， y1，当 x,1 时， y 1。 P、Q 在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、 Q（1, 1），使四边形ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右

40、侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。延长 CA 交抛物线于Q，过 B 作 BPCA 交抛物线于P，连 PQ，设直线 CA 、BP 的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载 A（ 1,0）， C（ 3,1）， CA 的解析式2121xy，同理 BP 的解析式为2121xy，解方程组2212121212xxyxy得 Q 点坐标为（ 1,1），同理得P 点坐标为（ 2,1）。由勾股定理得AQ BPAB5，而 BAQ 90，四边形ABPQ 是正方

41、形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、 Q（1, 1），使四边形 ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。如图，将线段CA 沿 CA 方向平移至AQ， C（ 3,1）的对应点是A（ 1,0）， A（ 1,0）的对应点是Q（1,1），再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP，同理可得P（2,1） BAC 90， ABAC 四边形ABPQ 是正方形。经验证P（2,1）、 Q（1,1）两点均在抛物线221212xxy上。结论AGBGAFBF成立，证明如下：连EF，过 F作 FM BG交 AB的延长线于M ，则 AMF ABG ，AGBGAFMF。由知 ABC是等腰直角三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载 1 245。 AF AE ， AEF 145。 EAF 90， EF是 O的直径。 EBF 90。 FM BG ， MFB EBF 90， M 245， BFMF ，AGBGAFBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页